Khai triển nhị thức Newton

BÀI 2. CÁC BÀI TOÁN VỀKHAI TRIỂN NEWTON Bài 1. Cho nnguyên, 2 n ≥ . Chứng minh: ( ) ( ) 1 1 ) 1 2 ) 1 3 n n a b n n + > + < Giải a.Khai triển nhịthức: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 . ... 1 1 ... 2 n n k k n n n k C C C n n b n = + = = + + = + + > ∑ (Vì ( ) 1 . 0 i i n C n > ) b.Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 1 1 1 1 1 . 1 1 ... 2 2 3 3 n n k k n k n n C n n n n n n = + = = + + ⋅ + ⋅ + − − ∑ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 ... 2 ... 2 3 2 3 1 1 2 n n n n n n = + ⋅ + ⋅ + < + + + + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ... 2 ... 3 3 1.2 2.3 1 2 2 3 1 1 n n n n n < + + + + = + − + − + + − = − < − − Bài 2. Cho số a, bthỏa mãn: 1 a b + = . Chứng minh: 1 1 2 n n n a b − + ≥ , n ∀

BÀI 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ KHAI TRIỂN NEWTON

Bài 1. Cho n nguyên, n ≥2 Chứng minh:

Giải

a Khai triển nhị thức:

0

k

+ =∑ = + + = + + > (Vì .( )1 i 0

i n

C

n > )

0

n

k n k

C

∑

( ) ( ) ( )

2! n n 1 3 n n 1 n 2 2! 3! n!

( ) ( ) ( ) ( )

−

−

2

n n

n

a +b ≥ − , n∀ ∈ »

Giải

a= +x b= −x thì (1 ) (1 )

n n

a +b = +x + −x

2n n 2n n 2n 2n n 2n n 2n

2n n 2n n 2n 2n 2n

2

n n

n

a +b ≥ −

Giải

(1 2)n 0 1.2 2.22 n.2n 243 3n 243 5

Bài 4 Cho khai triển nhị thức

( 1 ) ( 1) ( 1) ( )1 ( 1)( ) 1 ( )

−

−

−

Biết rằng trong khai triển đó C n3 =5C n1 và số hạng thứ tư bằng 20 Tìm n và x

Giải

Ta có C n3 =5C1n (với n≥3, n∈ »)

( )

3 !3!

n

−

( 1) ( 2) 5

6

n

(n 1) (n 2) 30

⇔ − − = ⇔n2 −3n−28 0= ⇔(n−7) (n+4)=0 ⇒ n =7

Khi đó số hạng thứ tư là ( 1) ( )4 3

x x

C

−

−

= 20 ⇔ 35 22 (x 1 ) x 140 4

x

− −

Bài 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:

( ) ( 2 )15 ( ) 4 3 17

Giải

k

x

Số hạng không chứa x tương ứng với 30 3− k= ⇒0 k =10 là 10

k k

x

−

17

k

k k

− −

Số hạng không chứa x tương ứng với 17 k−136 0= ⇒k=8 là 8

17 24310

Bài 6 Tìm hệ số của số hạng chứa 26

x trong khai triển nhị thức Newton của

7

4

1 x n

x

C + +C + + +C + = −

Giải

( )2 1

C + +C + +C + + +C + +C ++ = + + = + Do 0 2 1

n n

C + =C ++ =

2 1 2 1 2n 1 2n 1 2n1 2 n 2 2 20 1

C + +C + + +C + +C ++ + +C + = + − = −

+

⇔ = ⇔ + = ⇔ = Xét biểu thức

10 4

0

k

x

−

=

k k k k k

Xét 11k −40 26= ⇔11k=66⇔k=6 Vậy hệ số của x26 là 6

Bài 7 Trong khai triển nhị thức ( 1)n

x x

+ , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ

số của số hạng thứ hai là 35

Giải

k n k k n k

Hệ số của số hạng thứ i ứng với k= −i 1 là: 1

1

i

i n

a− =C − Theo giả thiết: C n2 −C1n =35; n2 −3n−70 0= ⇔(n+7) (n−10)= ⇒0 n=10∈ »

b Số hạng không chứa x ứng với n−2k=0; 10 2− k=0⇔k =5 là 5

4

1

x x

  với x >0

Giải

7

4

1

x

Xét 28 7 0 4

− = ⇔ = Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 4

C =

n

x x +x− , biết rằng:

n n n

n n n

C +C − +C − =

Giải

Ta có: n n 1 n 2 79

n n n

C +C − +C − = (n nguyên, n ≥2)

( 1) 2 ( ) ( )

2

n n

Với n =12 thì ( ) ( 28)

12

12

k k

k k

−

Số hạng không chứa x tương ứng với 240 48− k=0⇔k=5 là 5

Bài 10 Tìm các hạng tử hữu tỉ trong khai triển: a ( 2+33)5 ; b.( 3+ 32)9

Giải

k k

k k

k

−

−

Để T k+1 hữu tỉ thì 5

2k

− và

3

k nguyên với k =0, 5 ⇒ k =3 ⇒ 3

4 5.2.3 60

k k k

k

k

−

−

Để T k+1 hữu tỉ thì 9 ,

2k 3k

− nguyên với k =0, 9 ⇒ k=3 ;k=9 Vậy có 2 hạng tử hữu tỉ là: 3 2 9 0 3

4 9.3 2 4536 ; 10 9.3 2 8

Bài 11 Tìm hệ số của 31

x trong khai triển nhị thức Newton x 12 40

x

 + 

Giải

40

  ∑   ∑ ; 40 3− k=31⇔k=3; 3

3

x x

n n

n n

C ++ −C + = n+

Giải

( )

1

n n

n n

n n

C ++ n

⇔ = + ( 2) ( 3) 7( 3)

2

12 3

0

1

k k k

k

x

−

=

−

−

Xét 11 72 8 8

2

k− = ⇔k= Vậy số hạng chứa x8 trong khai triển là 8

Bài 13 Tìm hệ số của x9 khi khai triển: P x( )=(1+x)9 +(1+x)10 + +(1+x)14

Giải

( ) (1 )9 (1 )10 (1 )14

k k k k k k

Hệ số theo x9 ứng tất cả k =9 là:

9 10 11 14 1 10 55 220 715 2002 3003

Bài 14 a Tìm hệ số của x15 trong (1+x)+2 1( +x)2 +3 1( +x)3 + 20 1+ ( +x)20

b Tìm hệ số của 5

x khi khai triển: (2x+1)4 +(2x+1)5 +(2x+1)6 +(2x+1)7

Giải

a Với biểu thức: (1 )k

k +x chứa số hạng ax15 khi k ≥15, lúc đó:

( )

0

k

k i i

k i

=

+ = ∑ thì hệ số theo x15 ứng với i =15 là k C k15

Suy ra hệ số theo x15 của khai triển: (1+x)+2 1( +x)2 + 20 1+ ( +x)20 là:

15

a =15 16+ C1615 +17C1715+18C1815+19C1915 +20C1520 =400995

b Ta có: P x( )=(2x+1)4 +(2x+1)5 +(2x+1)6 +(2x+1)7

( )4 5 ( ) 6 ( ) 7 ( )

Hệ số theo x5 ứng với i= j=k=5 là: 5 5 5 5 5 5

Bài 15 Tìm hệ số theo 3

x khi khai triển P x( )=(x+1 3)2 ( −x)10

Giải

Ta có: P x( )=(x+1 3)2 ( −x)10 =x2(3−x)10 +2 3x( −x)10 +(3−x)10

( ) ( )

Hệ số theo x3 ứng với i=1, j=2, k =3 là: 1 9 2 8 3 7

10.3 2 10.3 10.3 131220

Bài 16 Tìm hệ số của 5

x trong khai triển biểu thức P=x(1 2− x)5 +x2(1 3+ x)10

Giải

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

( ) ( )

Vậy từ (1) suy ra số hạng chứa x5 là: 1( )4 2 7 ( )3

x C − x +x C x

Do đó, hệ số của x5 là ( )4 1 ( )3 7

2 C 3 C 16.5 27.120 80 3240 3320

Vậy hệ số của x5 trong biểu thức P đã cho là 3320

Bài 17 Tìm hệ số theo k

x của khai triển (1 )n 1( )m, ,

Giải

( ) ( )

1 n 1 m n i i m j j

n m

i i

+ + =∑ ∑ Vì ,m n≥k nên k 0 k k1 k 0

x =x x =x x − = =x x

Do đó, hệ số theo k

x là: 0 k 1 k 1 k 0

k n m n m n m

a =C C +C C − + +C C

Bài 18 Trong khai triển nhị thức (x +2 1)n tìm hệ số theo 12

x , biết rằng tổng các hệ số bằng 1024

Giải

Đặt P x( )=(x2 +1)n thì tổng các hệ số là ( )1 0 1 n 2n 1024

⇒ n =10 Với n =10 thì ( ) ( 2 )10 10 ( 2)10 10 20 2

Hệ số theo 12

x ứng 20 2− k=12⇒ = là k 4 4

Bài 19 Tìm hệ số của n 1; n 2

x − x − của khai triển: ( ) ( 2) ( )

Giải

2

n

P x = x+ x+ x+ =x +A x − +B x − + +Rx+S

Hệ số của n 1

1 1 2

1_ 1 1 1 1 1 1 1. 1 1

2

n

−

−

b Hệ số của n 2

x − là: 1 12 1 13 11 1

2 2 2 2 2n 2n

1 1 4

4

n

−

−

Do đó 1 2 1(1 1 ) 4 3.2 2

n n

Bài 20 Tìm hệ số của x50 trong khai triển của các đa thức sau đây:

a P x( )=(1+x)1000 +x(1+x)999 +x2(1+x)998+ +x1000

b Q x( )=(1+x)1 +2 1( +x)2 + 1000 1+ ( +x)1000

Giải

a Để ý: (x+1)1000 −x1001=(x+ −1 x P x) ( )=P x( )

Do đó hệ số của x50 trong khai triển P x( ) cũng là hệ số theo x50 trong khai triển của nhị thức ( )1001 ( )1001 1001

1001 0

i

=

1001

C

b ( ) ( )1000 ( ) 1

1

i

=

( )

1000 1000

1

1 1

1 1

i i

x

x

=

′

− +

( )1001 ( )1001 ( )

2

x là: 51 52

1000.C −C

Bài 21 Tìm hệ số theo x8 của khai triển: P x( )=(1+x2 −x3)9

Giải

( ) ( 2) 3 9 ( 2)9 1( 2)8 3 2( 2)7 6 3( 2) 9

P x = +x −x  = +x −C +x x +C +x x −C +x x +

Vì 8

x có mũ chẵn nên các số hạng theo 8

x chỉ xuất hiện ở hai đa thức sau:

( 2)9 9 ( 2)

9 0

i

=

+ =∑ ứng với i =4, tức là có hệ số 4

9

C

0

i

=

+ = ∑ ứng với j =1, tức là có hệ số 2 1

9 7

C C

Vậy hệ số theo x8 của khai triển P(x) là: 4 2 1

C +C C =

x+ y+z tìm số hạng chứa k m ( )

x y k+m≤n

b Tìm hệ số theo 6 5 4

x y z của khai triển (2x−5y+z)15

Giải

0

n

n k k n k

n k

=

0

n k

k k m m n k m

n n k m

−

− −

−

=

Vậy số hạng cần tìm là !

! ! !

k m l

k m l với l n k m= − −

1

n m

n

n n

m i

n

=

=

n +n + +n =n

b Áp dụng (2x−5y+z)15 =((2x)+ −( 5y)+z)15

Hệ số theo x y z6 5 4 là: 26( 5)5 15! 126.126.106

6!5!4!

Chú ý:

( )

( )

!

k m

n n k

n k

C C

−

−

Bài 23 Cho nhị thức ( ) (3 2 )n

P x = − x , n tự nhiên Sau khi khai triển, tính:

a Tổng tất cả các hệ số theo lũy thừa lẻ

b Tổng tất cả các hệ số theo lũy thừa chẵn

Giải

n

P x = − x =a +a x+a x +a x + +a x

( ) ( )

n

n

P − =a −a +a −a + + − a

n

n

Bài 24 Tìm hệ số lớn nhất của khai triển tổng quát: ( )n

a+b

Giải

Ta có ( )

0

n

n k n k k

n k

=

+ =∑ Các hệ số là k, 0

n

C ≤k≤n

Xét

( ) ( ) ( )

2

k k

n n

Do đó:

0,

Max k

n

k n

C

=

= 2

n n

C nếu n chẵn và

0,

Max k n

k n

C

=

=

1 2

n n

C

+

nếu n lẻ

Bài 25 Tìm hạng tử lớn nhất trong khai triển của ( )n

a+b với ,a b>0;n∈ »

Giải

Ta có: ( )

0

n

n k n k k

n k

=

0,

k n k k k n k k

k n

=

Khi đó

( )

( )

1

1

1

k n k k k n k k

k n k k k n k k

k

k

a b

+

≤



+

 Vậy, nếu (n 1)b

a b

+

+ nguyên thì có 2 số hạng ứng với k (n 1)b

a b

+

= + hay (n 1)b 1

a b

+ Còn nếu (n 1)b

a b

+

+ không nguyên thì chỉ có 1 số hạng ứng với k (n 1)b

a b

=  + 