Phương trình số phức

I. CĂN BẬC HAI SỐPHỨC Cho sốphức z= a+ bi, sốphức w= x+ yi được gọi là căn bậc hai của sốphức z nếu w 2 = zhay (x+ yi) 2 = a+ bi. Chú ý : Khi b= 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau : + TH1 : 0 ω a a > ⇒ = ± + TH2 : 2 0 ω a z i a i a < ⇒ = ⇒ = ± Khi b ≠0, đểtìm căn bậc 2 của zta giải hệphương trình từ đồng nhất thức: (x+ yi) 2 = a+ bi hay 2 2 2 2 2 2 x y a x y xyi a bi xy b  − = − + = + ⇔  =  Ví dụ1. Tìm các căn bậc hai của các sốphức sau

Trang 1

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95

I CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z hay

(x + yi)2 = a + bi

Chú ý :

Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :

+ TH1 : a>0⇒ω= ± a

+ TH2 : a<0⇒z=i a2 ⇒ω= ±i a

Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)2 = a + bi

hay

2

x y xyi a bi

xy b

 − =

− + = + ⇔

=



Ví dụ 1 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau

a z = 5 b z = –7 c z= − −1 2 6i

Hướng dẫn giải: a z=5⇒ω= ± 5 b z= − =7 7i2⇒ω= ±i 7 c Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức z= − −1 2 6i, ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 1 2 6 2 1 2 6 6 6 2 2 6 1 y x x x y x yi i x y xyi i xy y x x x  =−   =  − = −    + = − − ⇔ − + = − − ⇔ = − ⇔ −  ⇔ = −     −  = −     Hệ phương trình trên có 2 nghiệm ( 2;− 3 ;) (− 2; 3) Vậy có 2 căn bậc hai của 1 2 6i− − là 2− 3i và − 2+ 3i Ví dụ 2 Tính căn bậc hai của các số phức sau : a z= − +1 4 3i b z= +4 6 5i c z = –18i d z = 4i e z= − −5 12i f z= +11 4 3i g z= − +40 42i h 1 2 4 2 z= + i i z = −8 + 6i Ví dụ 3 Viết các số phức sau dưới dạng chính phương ? a) z = −21 + 20i =

b) z= +1 4 3i=

c) z = −15 + 8i =

d) z= − −1 2 2i=

e) z = 5 − 12i =

f) z= +13 8 3i=

g) z=22 10 2− i=

Tài liệu bài giảng:

03 PHƯƠNG TRÌNH PHỨC

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

II PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2

Xét phương trình phức bậc 2 : Az2 + Bz + C = 0 có ∆∆∆∆ = B2 – 4AC

TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực Tính 2

4

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có nghiệm thực

2

B z

A

− ± ∆

=

2

B i

A

TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức

Tính ∆ = B2−4AC= + = +a bi (x yi)2

2

B x yi z

A

− ± +

=

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

a z2+2z 5+ =0 b z2−4z+20=0

c (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0 d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

Hướng dẫn giải:

a z2+2z+ =5 0.

Ta có ∆ = − =' 4 4i2⇒ ∆ = ±2i⇒z= − ±1 2i

b Ta có ∆ = − =' 16 16i2⇒ ∆ = ±4i⇒z= ±2 4i

c

2

z iz

 = −



i





−



TH2 : z2−2iz− = ⇔1 0 z2−2iz+ = ⇔ −i2 0 (z i)2 = ⇔ =0 z i

z = − i z = − + i z =i

Nhận xét :

Ngoài các cách giải chuẩn mực ở trên, chúng ta có thể giải tắt mà không cần tính toán ∆ hay ∆’ như sau

z + z+ = ⇔ +z + = ⇔ +z − i = ⇔ +z = i ⇒z= − ± i

d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0

Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là

1

2

2 2

1 2

− + +





− − −



Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

a)

2

b) z3− =8 0

c) 4z4−3z2− =1 0

a)

2

Trang 3

4 2

t iz

t

z i

= −



=

2

i i

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là 1 4 35 ; 2 1 5

b) z3 – 8 = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + 4 ) = 0

TH1 : z – 2 = 0 ⇔z = 2

TH2 : z2+2z+ = ⇔ +4 0 (z 1)2 = − =3 3i2 ⇒z= − ±1 i 3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là z1=2; z2 = − −1 i 3; z3= − +1 i 3

c) 4z4−3z2− =1 0

Đặt z2 = t Phương trình đã cho tương đương với 2

1

4

t

=





= −



Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc t 1

4

−

Với t = 1 ta được z2 = 1 ⇒ z = ± 1

Với

2 1

0

2

i

z= ± z= ±

Ví dụ 3. Gọi z1, z2 là các nghiệm của các phương trình z2 + 2z + 5 = 0 Tính giá trị các biểu thức sau

A= z + z B= z + z − z z

2

1 2

= − +



+ + = ⇔ + = − = ⇒ 

= − −

Khi ta có 1

2

z

 = + =





= + =

1 1

5

1 2

z

⇒

A= z12+ z22 = + =5 5 10

B= z12+ z22−4 z z1 2 = + −5 5 4 5 5= −10

Vậy A = 10 và B = –10

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

e) 2

3z − + =z 2 0 f) z2− 3z 1 0+ =

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

Trang 4

a) 2

z +2(i−2)z 3 2i+ − =0 b) 2

z − +(i 3)z− − =2 2i 0 c) 2

z − +(3 i)z+ + =4 3i 0 d) 2

iz − + + =z 3 i 0 e) 2

iz +2iz− =4 0 f) 2

z − −(3 i)z+ − =4 3i 0 g) 2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

z − − =z 12 0

4z −3z − =1 0

z − =16 0

(z−i)(z +1)(z + =i) 0

z +z +4 z + − =z 12 0

2

c) ( 2 )2 ( )2

z +9 z − + =z 1 0

z+3i z −2z+ =5 0 b) z4+16=0 c)

4

z i

1

z 2i

+

=

(z +3z+6) +2z(z +3z+ −6) 3z =0

(z 1)+ +2(z 1)+ + +(z 4) + =1 0

a) 2

2(1 2 ) 7 4 0

Đ/s: a) z= −5 i z; = +2 i b) z= +1 2 ;i z= − +3 2i

c) 2

z − +i z+ + =i

Đ/s: c) z= +3 i z; = −1 3i d) z=1;z= +1 i

a) z3− +(2 i z) 2+ +(2 2 )i z− =2i 0 biết phương trình có một nghiệm là z = i

Đ/s: z=i z; = ±1 i

z + z + +i z+ + =i biêt phương trình có một nghiệm là z = – i

Trang 5

Đ/s: z= −i z; = − +1 i z; = −3

c) z3− + −z2 (2 2 )i z+ + =2 4i 0 biết phương trình có một nghiệm là z = 1 – i

Đ/s: z= +3 i z; = −1 3i d) z=1;z= +1 i

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	193,16 KB