Hệ phương trình đại số

Chứng tỏ rằng hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2x y 1 y 1 2y x 2 x  = +    = +   có nghiệm duy nhất x y 1 = = Cách 1 : Lấy ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 : x y 2x 2y 1 0 xy   − − + + − =     Vì : 1 y; y và 1 x; x cùng dấu nên x 0; y 0 > > Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có : 2 2 1 1 2x y 2 y. 2 x 1 y y 1 1 1 2x 2y 1 0 y 1 xy xy 1 1 2y x 2 x. 2 x x  = + ≥ ≥  ≥   ⇒ ⇒ ≤ ⇒ + + − >   ≥   = + ≥ ≥   . Khi ñó ( ) x y ⇔ = , phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2x x x 1 2x x 1 0 x ⇔ = + ⇔ − + + = Dễ thấy 2 2x x 1 0, x + + > ∀ ; phương trình ( ) x 1 ⇔ = Vậy x y 1 = = là nghiệm duy nhất của hệ . Cách 2 : Vì : 1 y; y và 1 x; x cùng dấu nên x 0; y 0 > > Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có : 2 2 1 1 2x y 2 y. 2 x 1 y y y 1 1 1 2y x 2 x. 2 x x  = + ≥ ≥  ≥   ⇒   ≥   = + ≥ ≥   . Dấu ñ

Chứng tỏ rằng hệ phương trình

( ) ( )

2

2

1

y 1

x







có nghiệm duy nhất x= = y 1

Cách 1 :

Lấy ( ) ( ) (1 2 : x y) 2x 2y 1 1 0 *( )

xy

Vì : y;1

y và

1 x;

x cùng dấu nên x>0; y> 0 Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :

2

2







Khi ñó ( )* ⇔ =x y , phương trình ( ) 2 1 ( ) ( 2 ) ( )

x

Dễ thấy 2x2+ + > ∀ ; phương trình x 1 0, x ( )* ⇔ =x 1

Vậy x= = là nghiệm duy nhất của hệ y 1

Cách 2 :

Vì : y;1

y và

1 x;

x cùng dấu nên x>0; y> 0 Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :

2

2

y 1









Dấu ñẳng thức xảy ra khi x= = y 1

Các bạn nghĩ gì cách giải trên ; ñã xong chưa nhỉ? Nhiều bạn nhầm tưởng là ñã giải xong Thực ra tôi

mới chứng minh ñược dấu bằng xảy ra mà thôi , nghĩa là :

1

y

y 1 1

x





, còn nếu

1

y 1

x

 + >





 + >



thì hệ cho vẫn có thể có nghiệm x>1, y>1?

Ta lại tiếp tục giải bài toán này :

Xét hàm số f t( ) t 1 , t 1

t

1

t

= − > ∈ +∞ ⇒ ñồng biến trên nửa khoảng [1; +∞)

Nếu x > thì y ( ) ( ) 1 1 2 2

> ⇒ + > + ⇒ > , vì x≥1, y 1≥ nên y x> ⇒trái gt x >y

Nếu x< thì y ( ) ( ) 1 1 2 2

< ⇒ + < + ⇒ < , vì x≥1, y 1≥ nên y x< ⇒trái gt x <y

Vậy x= Khi ñó phương trình y ( ) 2 1 ( ) ( 2 ) ( )

x

Dễ thấy 2x2+ + > ∀ ; phương trình x 1 0, x ( )* ⇔ =x 1

Vậy x = y = là nghiệm duy nhất của hệ 1

Từ bài toán trên có thể mở rộng bài toán sau :

Chứng tỏ rằng với a≠ ,hệ phương trình 0

( ) ( )

2 2

2 2

a

y a

x



= +







có nghiệm duy nhất

Lấy ( ) ( ) (1 − 2 : x−y)(x+ +y 2xy)= 0 *( )

Vì :

2

a

y;

y và

2 a x;

x cùng dấu nên x >0; y> ⇒ + +0 x y 2xy> Khi ñó 0 ( )* ⇔ =x y Phương trình

1 ⇔2x −x =a ðặt ( ) 3 2

f x =2x −x , x>0 Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ñường thẳng 2

y=a cắt ñồ thị ( ) 3 2

f x =2x −x trên khoảng x>0 chỉ tại một ñiểm Phần còn lại dành cho ñộc giả

Giải hệ phương trình :

6 6







6 6

Phương trình 3 3

x −3x=y −3y dạng f x( )=f y( ) ( )*

f t = −t 3t, t ≤ ⇒1 f ' t =3t − <3 0, t < ⇒1 f t nghịch biến trên ñoạn [−1;1].Khi ñó phương trình ( )* ⇔ =x y

Vậy hệ cho viết lại 6 6

6

=



⇔ = = ±





Giải hệ phương trình : ( ) ( )

( )

2







3− y 1+ = x−y 1 ⇔ x− − = −y 3 y 1+ ≤ ⇔ ≤0 0 x− ≤ ⇔ ≤ − ≤y 3 0 x y 9 *

Phương trình :x 8y+ = x− − y 9 ( )2 có nghĩa khi x− − ≥ ⇔ − ≥ y 9 0 x y 9 **( )

Từ ( )* ( )** suy ra x− = y 9

Khi ñó phương trình x 8y+ = x− −y 9 ( )2 ⇔ + +y 9 8y= ⇔ = − ⇒ =0 y 1 x 8

Vậy hệ có nghiệm (x; y) (= 8; 1− )

Giải hệ phương trình :

2

2







Hệ xác ñịnh khi

2

2

y 1

x 1

 ≤

 − ≥

≤

Với ñiều kiện trên ; gợi tưởng ta ñặt [ ]

[ ]







Khi ñó hệ

( ) ( )

( )

2 2

2 2

0; , 0;





 Bình phương 2 vế phương trình ( )1 và ( )2 , rồi cộng vế theo vế , ta ñược

+ α + β = ⇒ α + β = ⇒ α + β = + π ⇒ β = + π − α ⇒ β = α

Khi ñó hệ ( )

1 sin cos

x

y

α ∈ π β∈ π 





Giải hệ phương trình :

3

6







Hướng dẫn :

6

Trường hợp 1 :

3 3

3

3

− ≥





− =

=



+ =



− =







Trường hợp 2 :

3

3

 − <







Lời bình :

( )3

6 x+y = x+y không làm thay ñổi miền xác ñịnh ; tương tự thì dễ dẫn ñến một sai lầm

( )2

6 x−y = 3 x−y !!!, ñiều này không ñúng với mọi x, y trong miền xác ñịnh , mà chỉ ñúng với x≥ y

Do ñó 6( ) (3 )2

3