Phân tích các đa thức thành nhân tử.. Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.. d, Chứng minh
Trang 1Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012
Môn: Toán - lớp 8
Thời gian: 150 phút(Không tính thời gian giao đề) (Đề có 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử
a, A = 3x2 - 8x + 4
b, B = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
Câu 2 (4,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
2x 1 ư
2 2x + 3x + 3
P = có giá trị là một số nguyên
Câu 3 ( 4,0 điểm )
Cho a > b > 0 So sánh 2 số x, y với:
x = 1 a 2
1 a a
+ + + ; y = 2
1 b
1 b b
+ + +
Câu 4 ( 4,0 điểm )
a, Giải phương trình sau: x2 4x 1 2 x2 5x 1
b, Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 + 1 ≥ xy + x + y
Câu 5 ( 5,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S
a, Chứng minh rằng: ∆ AQR và ∆ APS là các tam giác cân
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật
c, Chứng minh P là trực tâm ∆ SQR
d, Chứng minh MN là trung trực của AC
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng
Đề chính thức
Hết
Trang 2Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1 Phân tích các đa thức thành nhân tử
Giải
a, A = 3x2 - 8x + 4 = 3x2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x - 2)
b, B = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = x2(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1)
= (3x - 1)(x2 - 2x + 5)
Câu 2 Tính giá trị của biểu thức:
2xư1
2
2x + 3x + 3
P = có giá trị là một số nguyên
Giải
Biểu thức P có nghĩa khi x 1
2
≠ Khi đó ta có:
P = 2x2 3x 3 x(2x 1) 2(2x 1) 5 x 2 5
⇒ P ∈ Z khi 5
2x 1ư ∈ Z ⇔ 2x - 1 ∈ Ư(5) = {±1; ± 5} ⇒ x = {- 2; 0; 1; 3}
Câu 3 Cho a > b > 0 So sánh 2 số x, y với:
x = 1 a 2
1 a a
+ + + ; y = 2
1 b
1 b b
+ + +
Giải
Giả sử x < y ⇔ 1 a 2
1 a a
+ + + < 2
1 b
1 b b
+ + + (Vì: 1 + a + a
2 > 0 và 1 + b + b2 > 0) ⇔ (1 + a)(1 + b + b2) < (1 + b)(1 + a + a2)
⇔ 1 + b + b2 + a + ab + ab2 < 1 + a + a2 + b + ab + a2b ⇔ a2 - b2 + a2b - ab2 > 0
⇔ (a - b)(a + b) + ab(a - b) > 0
⇔ (a - b)(a + b + ab) > 0 (đúng) (vì a > b > 0 ⇒ a - b > 0 và a + b + ab > 0)
Vậy x < y
Câu 4 a, Giải phương trình sau:
x 4x 1 x 5x 1
2
ư + + = ư ư + + + (*)
b, Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 + 1 ≥ xy + x + y
Giải
a, ĐKXĐ: x ≠ -1 và x ≠ 1
2
ư Khi đó ta có:
(*) ⇒ (2x + 1)(x2 - 4x + 1) + 2(x + 1)(2x + 1) = - (x + 1)(x2 - 5x + 1)
⇔ 2x3 - 8x2 + 2x + x2 - 4x + 1 + 4x2 + 6x + 2 + x3 - 5x2 + x + x2 - 5x + 1 = 0
⇔ 3x3 - 7x2 + 4 = 0 ⇔ 3x2(x - 1) - 4(x2 - 1) = 0
⇔ (x - 1)(3x2 - 4x - 4) = 0 ⇔ (x - 1)(3x + 2)(x - 2) = 0
⇔
(Thoả men điều kiện bài toán)
Trang 3Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
Vậy S = 2; 1; 2
3
ư
b, x2 + y2 + 1 ≥ xy + x + y ⇔x2 - xy + y2 - x - y + 1 ≥0
⇔ x2 - xy +
2 y
4 - (x - y
2) + 1
4 +
2 3y
4 - 3y
2 + 3
4 ≥0 ⇔ y 2 y 1 3( 2 )
⇔ y 1 2 3( )2
2 2 4
(đúng với mọi x, y) Dấu "=" xấy ra khi x = y = 1
Câu 5 Cho hình vuông ABCD Qua A kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và
R, cắt CD tại Q và S
a, Chứng minh rằng: ∆AQR và ∆APS là các tam giác cân
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật
c, Chứng minh P là trực tâm ∆SQR
d, Chứng minh MN là trung trực của AC
e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng
Giải
HS tự ghi GT/KL
a, Chứng minh rằng ∆∆∆∆AQS và ∆∆∆∆APS là các tam giác cân
+) Xét ∆DAQ và ∆BAR có:
D= =B 90 (gt)
BA = DA (cạnh hình vuông ABCD)
2 4
A =A (cùng phụ với A ) 3
⇒ ∆DAQ = ∆BAR(g.c.g)
⇒ AQ = AR (cạnh tương ứng)
⇒ ∆AQR cân tại A
+) Xét ∆AQS và ∆ARP có:
QAS=RAP=90
AQ = AR (vì ∆AQR cân tại A)
AQS=ARS(cùng phụ với góc APR) ⇒ ∆AQS = ∆ARP (g.c.g) ⇒ AS = AP ⇒ ∆APS cân tại A
b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS C/m tứ giác AMHN là hình chữ nhật
+) Vì SA ⊥ QP và PC ⊥ QS
⇒ R là trực tâm của ∆PQS ⇒ QH ⊥ PS ⇒ MHN = 900 (1)
+) Vì ∆AQS vuông cân tại A mà M là trung điểm của QR
⇒ AM cũng là đường cao trong ∆AQR ⇒ AM ⊥ QR
AMH=90 (2)
+) Vì AN là đường trung tuyến trong ∆APS vuông cân tại A
⇒ AN ⊥ PS ⇒ 0
ANH=90 (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ AMHN là hình chữ nhật
c, Chứng minh P là trực tâm ∆∆∆∆SQR.
Xét ∆SQR có:
+) SH là đường cao từ đỉnh S xuống cạnh QR
+) RC là đường cao từ đỉnh R xuống cạnh QS
Mà SH ∩ RC = {P}
⇒ P là trực tâm của ∆RQS
N
M
H
S Q
R P
B A
4 3 2 1 A
B
C D
P
R
Trang 4§ç V¨n L©m - THCS TT T©n Uyªn
d, Chøng minh MN lµ trung trùc cña AC
+) AM = MQ = MR (T/c ®−êng trung tuyÕn trong ∆ vu«ng c©n AQR)
+) MC = MQ = MR (T/c ®−êng trung tuyÕn trong ∆ vu«ng CQR)
⇒ MA = MC ⇒ M thuéc trung trùc cña AC
T−¬ng tù:
+) NA = NP = NS (T/c ®−êng trung tuyÕn trong ∆ vu«ng c©n APS)
+) NC = NP = NS (T/c ®−êng trung tuyÕn cña ∆CPS)
⇒ NA = NC ⇒ N thuéc trung trùc cña AC
VËy MN lµ ®−êng trung trùc cña AC
e, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng
+) V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BD lµ tr−ng trùc cña AC
+) MN còng lµ trung trùc cña AC (c/m trªn)
⇒ §−êng th¼ng MN trung víi ®−êng th¼ng BD ⇒ M, B, N, D th¼ng hµng