Chứng minh rằng đường thẳng d luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m Câu 3.. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD CD ≠ AB.. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đườ
Trang 1Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện
Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012
Môn: Toán - lớp 9
Thời gian: 150 phút(Không tính thời gian giao đề)
(Đề có 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm)
5 2 7 + ư 5 2 7 ư
b, Cho dy số: a1; a2; a3; … , thảo mn: a2 = 1; a50 = 2012, và an + an+1 = an+2 với
mọi số tự nhiên n ≥ 1 Tính tổng S = a1 + a2 + + a48
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + m - 1 (m là tham số) Chứng minh
rằng đường thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
Câu 3 (6,0 điểm)
a, Giải phương trình sau: x 4 ư + 6 x ư = x2 - 10x + 27
x + 2x 1 + + x ư2x 1 +
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD (CD ≠ AB) Gọi H, K theo thứ
tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến đường thẳng CD
a, Chứng minh rằng CH = DK
b, Chứng minh rằng SAHKB = SACB + SADB
c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
Câu 5 (2,0 điểm)
Không dùng bảng số, máy tính hy tính sin150
Đề chính thức
Hết
Trang 2Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1 a, Không dùng máy tính, hy tính: A = 3 3
5 2+ ư7 5 2ư7
b, Cho dy số: a1; a2; a3; … , thảo mn: a2 = 1; a50 = 2012, và an + an+1 = an+2 với mọi số tự nhiên
n ≥ 1 Tính tổng S = a1 + a2 + + a48
Giải
a, A = 3 3
5 2+ ư7 5 2ư7
⇔ A3 = 5 2+7 - (5 2ư7) - 33
(5 2+7)(5 2ư7) (3 3 )
5 2+ ư7 5 2ư7
⇔ A3 = 14 - 3A ⇔ A3 + 3A - 14 = 0 ⇔ (A - 2)(A2 + 2A + 7) = 0
A 2A 7 0 (A 1) 6 0 (VN)
Vậy: A = 2
b, Vì: an+2 = an+1 + an ⇒ a50 = a49 + a48 = a48 + a47 + (a47 + a46)
= a48 + a47 + a46 + (a46 + a45)
= a48 + a47 + a46 + a45 + (a25 + a44)
= a48 + a47 + a46 + a45 + a44 + + a3 + (a3 + a2)
= a48 + a47 + a46 + a45 + a44 + + a3 + a2 + (a2 + a1)
⇒ a50 - a2 = a48 + a47 + a46 + a45 + a44 + + a3 + a2 + a1 = S
⇒ S = 2012 - 1 = 2011
Câu 2 Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + m - 1 (m là tham số) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luông đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
Giải
Gọi A(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m khi đó ta có:
y0 = mx0 + m - 1 ⇔ m(x0 + 1) = y0 + 1 Vì phương trình này luôn đúng mới mọi m nên:
x 1 0 x 1
y 1 0 y 1
⇔
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định A(-1; -1) với mọi m ⇒ (đpcm)
Câu 3 a, Giải phương trình sau: x 4ư + 6 xư = x2 - 10x + 27
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 2
x +2x 1+ + x ư2x 1+
Giải
a, ĐKXĐ: 4 ≤ x ≤ 6
+) VT = x 4ư + 6 xư (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có)
⇒ VT2≤ (12 + 12) ( ) (2 )2
= 2.2 ⇒ VT ≤ 2 +) VP = x2 - 10x + 27 = (x - 5)2 + 2 ≥ 2 ⇒ VP ≥ 2
⇒ VT = VP = 2 ⇔ x 4 6 x x 4 6 x x 5
x 5
x 5 0
ư = ư ư = ư
=
ư =
Vậy: S = {5}
x +2x 1+ + x ư2x 1+ = 2 2
(x 1)+ + (x 1)ư = + + ư = + + ưx 1 x 1 x 1 1 x
áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ta có:
M = x 1+ + ư1 x ≥ x 1 1 x+ + ư = 2 Dấu "=" xẩy ra khi (x + 1)(1 - x) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤1
Vậy Min M = 2 khi -1 ≤ x ≤1
Câu 4 (HS tự ghi GT/HL)
Giải
a, Chứng minh rằng CH = DK
Gọi M là trung điểm của CD ⇒ OM ⊥ CD (T/c đường kính và dây cung)
Trang 3Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên ⇒ MO // AH // BK (cùng vuông góc với HK)
mà OA = OB (gt)
⇒ M là trung điểm của HK
(định lý 1 về đường trung bình của hình thang)
⇒ MH = MK mà MC = MD
⇒ CH = DK
b, Chứng minh rằng S AHKB = S ACB + S ADB
Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt
AH tại I và cắt BK tại Q
+) ∆HMI và ∆KMQ có:
0
H= =K 90 (gt)
MH = MK (c/m trên)
HMI=KMQ(đối đỉnh)
⇒ ∆HMI = ∆KMQ(g.c.g) ⇒ SAHKB = SAIQB (Với AIQB là hình bình hành)
⇒ SAHKB = IQ AB MN AB.MN
2
+
=
(với N là hình chiếu của M trên AB) (1) +) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của C và D trên cạnh AB
⇒ S ACB + SADB = 1CE.AB 1DF.AB 1(CE DF)AB MN.AB
2 +2 = 2 + = (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SAHKB = S ACB + SADB (đpcm)
c, Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
Vì SAHKB = MN.AB ⇒ SAHKB lớn nhất khi MN là
đường kính của đường tròn hay CD // AB
⇒ MN ⊥ CD và N trùng O
⇒ MO = 2 2 2 2
OC ưCM = 15 ư9 =12(cm)
⇒ SAHKB = MO.AB
= 12.30
= 360 (cm2)
Vậy: Max SAHKB = 360(cm2)
Khi CD //AB và cạnh AB một khoảng 12cm
Câu 5 Không dùng bảng số, máy tính h'y tính sin15 0
Giải
Vẽ ∆ABC vuông tại A và BC = 2a, AB = a (a > 0)
⇒ AC = 3 a ⇒ 0 0
C=30 , B=60 Kẻ phân giác CD áp dụng tính chất đường phân giác:
⇒ DA CA DA 3 DA DB DA DB
+
+
⇒ DA a
3 = 3 2
+ ⇒ DA =
a 3
3+2 = (2 3 -3)a
⇒ DC = 6 ( 3 -1)a
⇒ sin 150 = AD 2 3 3 (2 3)( 3 1) 3 1
ư
⇒ sin150 = 6 2
4
ư
Q I
F N
M
K
H
D
C
B A
M H
O
K D
C
B A
a D
C
B A
60 0
15 0
15 0