B ất Đ ẳng Thức
1 Bất đẳng thức CauChy cho hai số:
a+b
0, b 0
2
2 Bất đẳng thức CauChy cho n số:
1 , 2 , , n 0
a a a Với n số không âm
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 an
www.hsmath.net
Trang 2Bài toán : Chứng minh rằng a 0, b 0, c 0 và , m n
m n m n
m n m n
m n
ma nb
a b
m n
Ta có: am n bm n cm n a bm n b cm n c am n
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số không âm
m n
a và n số không âm bm n ta có:
m n
(1)
m n
a b
Tương tự: Ta cũng có
(2)
m n m n
m n
b c
(3)
mc na
c a
m n
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh
www.hsmath.net
Trang 3Ví dụ 1: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
5
2 3
a
ab a
b
5
2
b
c
5
c
a
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 2 thì ta có:
(**)
Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh
www.hsmath.net
Trang 4Ví dụ 2 : Với a 0, b 0, c 0 CMR:
a b c
a b c
bc ca ab
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
5
3 2
a
bc
5
3 , b bca 2 b ca
5
3
ab
(ĐHNN 2000)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác: a3 b3 c3 3 abc (**)
Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh
www.hsmath.net
Trang 5Ví dụ 3 : Với a 0, b 0, c 0 CMR: a53 b35 c53 a3 b3 c3
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
2
2
2
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
( a b c ) 2( ab bc ca ) (**)
Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh
Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 1 thì ta có:
www.hsmath.net
Trang 6Ví dụ 4 : Với a 0, b 0, 0 CMR: c
1
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
2
9
2
a
a a b a
a b
3
2
9
2
b
b b c b
b c
3
2
9
2
c
c c a c
c a
(ĐH Mở HN 1999)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
a b c
a b c ab bc ca a b c
a b b c c a
( a b c ) 2( ab bc ca ) (**)
Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh
Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 1 thì ta có:
www.hsmath.net
Trang 7Ví dụ 5: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
1
4
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
2
8
a
b c
3
2
8
b
c a
3
2
8
( ) ( ) 6 ( )
c
a b a b c
0, 0, 0 CMR:
1
2
a b c
Ví dụ 6 : Với
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
4
a
b c a a
b c a
3
4 , 2 ( ) 6 , ( )
b
c a b b
c a b
3
4
c
a b c c
a b c
Cộng vế với vế ta được:
a b c a b c
b c a c a b a b c
Suy ra điều phải chứng minh.
www.hsmath.net
Trang 8Ví dụ 7: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
4
a
bc
4
b
ca
4
c
ab
Cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh
(ĐHBKĐN 2001)
Ví dụ 8: Với a 0,b 0,c 0 CMR:
1
4
a b c
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
8
a
a b b c
3
8
b
b c c a b
b c c a
3
8
a
c a a b c
c a a b
Cộng vế với vế ta được ĐPCM
www.hsmath.net
Trang 9Ví dụ 9: Với a 0, b 0, c 0 CMR:
9
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
b
a a b a
3
c
b
3
a
c
b c a
a b c
a b c
1 1 1
(Bổ đề) Áp dụng bổ đề cho biểu thức:
Suy ra
www.hsmath.net
Trang 10Ví dụ 10: Nếu a 0, b 0, c 0, a b c 3 abc
a c b b a c c b a
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
2
9
( 2 ) 6 2
a
a b c a
b c
Thì
3(a b c ) 3(ab bc ca)
Và
3
2
9
2
b
b c a b
c a
3
2
9
2
c
1
a b c
b c c a a b
a b c
b c c a a b
1
a b c
BĐT được chứng minh
www.hsmath.net