Cơ sở Grobner của đại số toàn phương đối chiều thấp.

Lúc này, ta nói R được xác định bởi một cơ sở Gr¨obner các phần tử thuần nhất bậc hai hay R là G-toàn phương.. Chương 2: Xây dựng định nghĩa cơ sở Gr¨obner của iđêan và nêu một số tính c

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN DUY ÁI NHÂN

PHƯƠNG ĐỐI CHIỀU THẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP

Chuyên ngành: Đại số

Giảng viên hướng dẫn

TS PHAN VĂN THIỆN

Huế, Khóa học 2007 - 2011

Mục lục

1.1 Vành phân bậc, môđun phân bậc 4

1.2 Đại số phân bậc chuẩn 4

1.3 Iđêan phân bậc 6

1.4 Chuỗi Hilbert 7

1.4.1 Hàm Hilbert 7

1.4.2 Chuỗi Hilbert 7

Chương 2 Cơ sở Gr¨obner của Iđêan 9 2.1 Thứ tự đơn thức trên K [x1, , xn] 9

2.1.1 Định nghĩa 9

2.1.2 Một số thứ tự đơn thức 9

2.1.3 Bậc của đa thức 10

2.2 Thuật toán chia trong K[x1, , xn] 11

2.3 Iđêan đơn thức và bổ đề Dickson 12

2.4 Định lí cơ bản Hilbert và cơ sở Gr¨obner 16

2.5 Tính chất của cơ sở Gr¨obner 19

2.6 Thuật toán Buchberger 23 Chương 3 Cơ sở Gr¨obner của đại số toàn phương đối chiều

thấp 273.1 Một số kết quả mở đầu 273.2 Định lí chính 323.3 Chứng minh định lí chính 32

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ sở Gr¨obner là cơ sở có những ứng dụng quan trọng trong đại số giaohoán và đại số máy tính

Đối với đại số toàn phương đối chiều thấp dạng

R = K[x1, , xn]/Ithì iđêan xác định I của R luôn tồn tại cơ sở Gr¨obner gồm các phần tửthuần nhất bậc hai trừ trường hợp I = (x2, xy, y2− xz, yz) Lúc này, ta nói

R được xác định bởi một cơ sở Gr¨obner các phần tử thuần nhất bậc hai hay

R là G-toàn phương Trường hợp này là nội dung nghiên cứu chính của khóaluận

Nội dung của khóa luận được chia thành 3 chương:

1 Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức liên quan đến đại số phân bậc,iđêan phân bậc, chuỗi Hilbert

2 Chương 2: Xây dựng định nghĩa cơ sở Gr¨obner của iđêan và nêu một

số tính chất

3 Chương 3: Chứng minh trường hợp đặc biệt được nêu ra ở trên

Phương pháp nghiêu cứu chung của khóa luận là nghiên cứu các tài liệu liênquan, tổng hợp và trình bày lại theo cách hiểu của bản thân

Do trình độ chuyên môn và kinh nghiệm còn hạn chế nên khóa luận nàykhông tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự cảm thông và những

ý kiến nhận xét từ phía người đọc

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô và bạn bè

đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận, đặc biệt là thầy giáo PhanVăn Thiện đã giúp đỡ tôi chọn đề tài, hướng dẫn nghiên cứu và cho nhữngnhận xét đánh giá quý báu

Huế, tháng 05 năm 2011

Nguyễn Duy Ái Nhân

2 Môđun phân bậc.

Cho A là vành phân bậc, A-môđun phân bậc M là A-môđun M có sựphân tích thành tổng trực tiếp

M = ⊕n≥0Mn

thỏa mãn AnMm ⊆ Mn+m với mọi n, m

3 Mỗi phần tử của An hoặc Mn được gọi là thuần nhất bậc n

4 Một môđun con N của M được gọi là môđun con phân bậc nếu N =

với A0 = K và AiAj ⊆ Ai+j (∀i, j ≥ 0) thì A được gọi là K-đại số phânbậc và ta viết A =L

n≥0An

 Ví dụ:

Xét K[x] là vành đa thức một biến x trên trường K

Một đa thức thuộc K[x] có thể viết dưới dạng

a0+ a1x + a2x2+ + anxn, n ≥ 0, ai ∈ K ∀i = 1, , n

Như vậy K[x] = A0 + A1 + A2 + A3 + với A0 = {a0|a0 ∈ K},

A1 = {a1x|a1 ∈ K},

Mặt khác, Ai∩ Aj = {0} với i 6= j nên suy ra K[x] = A0⊕ A1⊕ A2⊕

Ta có A0 = K và với mọi aixi ∈ Ai, ajxj ∈ Aj thì (aixi)(ajxj) =(aiaj)(xi+j) ∈ Ai+j

⇒ AiAj ⊆ Ai+j

Như vậy, K[x] là một K-đại số phân bậc

2 Mỗi a ∈ An được gọi là thuần nhất bậc n và viết deg(a) = n

Chú ý: 0 có bậc tùy ý

3 Một K-đại số phân bậc A được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tậphữu hạn các phần tử thuần nhất {ai}1≤i≤m thỏa mãn A được sinh nhưmột không gian vectơ bởi các đơn thức

(b) AiIj ⊆ Ii+j, ∀i, j ≥ 0

2 Cho A =L

n≥0An là một K-đại số phân bậc, a1, , am là các phần tửcủa A, iđêan

n≥0(An/In).(Xem [5, Định lí 2.3.6])

 Ví dụ: Cho A = K[x, y] là K-đại số phân bậc và I = (x2, xy) là iđêanphân bậc Ta có, A/I = ⊕n≥0An/In trong đó

A0/I0 = K, A1/I1 = A1, A2/I2 = hy2i, A3/I3 = hy3i,

 Ví dụ: Xét K-đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh S = K[x1, , xn],deg(xi) = 1 với 1 ≤ i ≤ n, S = L

 Ví dụ:

Xét K-đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh A = K[x],

A =L

i≥0Ai và H(A, i) = dimKAi = 1, ∀i ≥ 0

Lúc này, chuỗi Hilbert của A = K[x] là

F (A/I, t) = F (A, t) − F (I, t)(Xem [3, Định lí 2.2.2])

Ta viết xα >lex xβ nếu α >lex β.

0 đầu tiên bên phải là số dương.

Ta viết xα >invlex xβ nếu α >invlex β

 Ví dụ:

(a) (1, 0, 3) >invlex (0, 1, 2) vì (1, 0, 3) − (0, 1, 2) = (1, −1, 1)

(b) (0, 0, 1) >invlex (0, 1, 0) vì (0, 0, 1) − (0, 1, 0) = (0, −1, 1)

3 Thứ tự từ điển phân bậc (>grlex)

Cho α, β ∈ Zn≥0 Ta nói, α >grlex β nếu

4 Thứ tự từ điển ngược phân bậc (>grevlex)

Cho α, β ∈ Zn≥0 Ta nói, α >grevlex β nếu

2.1.3 Bậc của đa thức

Định nghĩa 2.1.1 Cho f =P

aαxαlà một đa thức khác 0 trong K[x1, , xn]

và > là một thứ tự đơn thức

LM (f ) = x3

LT (f ) = −2x3

Bổ đề 2.1.2 Cho f, g là hai đa thức khác 0 trên K[x1, , xn], khi đó

1 multideg(f g) = multideg(f ) + multideg(g)

2 Nếu f + g 6= 0 thì

multideg(f + g) ≤ max{multideg(f ), multideg(g)}

Dấu = xảy ra khi multideg(f ) 6= multideg(g)

2.2 Thuật toán chia trong K[x1, , xn]

Định lí 2.2.1 Với > là một thứ tự đơn thức trên Zn

≥0, F = {f1, , fs}

là tập s đa thức đã được sắp thứ tự trong K[x1, , xn] Khi đó mỗi f ∈

K[x1, , xn] đều có thể viết dưới dạng

f = a1f1+ a2f2+ + asfs+ rvới ai, r ∈ K[x1, , xn], i = 1, s trong đó r = 0 hoặc r là tổ hợp tuyến tínhcác đơn thức và r không chia hết cho bất kì LT (fi) nào

Nếu aifi 6= 0 ta luôn có multideg(f ) ≥ multideg(aifi)

2.3 Iđêan đơn thức và bổ đề Dickson

Định nghĩa 2.3.1 Iđêan I ⊂ K[x1, , xn] được gọi là iđêan đơn thức nếu

có một tập con hữu hạn A ⊂ Zn≥0 sao cho I chứa tất cả các đa thức có dạng

P

α∈A

hαxα với hα ∈ K[x1, , xn]

Lúc này ta viết I = (xα|α ∈ A)

Bổ đề 2.3.2 Cho I = (xα|α ∈ A) là một iđêan đơn thức Khi đó, đơn thức

xβ thuộc I khi và chỉ khi xβ chia hết cho một vài xα, α ∈ A

j xα(i))

Mỗi hạng tử ở vế phải của phương trình trên đều chia hết cho F ={xα(i), i = 1, s}

Do đó, ta có xβ chia hết cho {xα(i), i = 1, s}

2 ⇐) Giả sử xβ chia hết cho một vài xα, α ∈ A, theo định nghĩa I ta có

xβ ∈ I

Bổ đề 2.3.3 Cho I = (xα|α ∈ A) là một iđêan đơn thức, f ∈ K[x1, , xn].Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

1 f ∈ I

2 Mỗi hạng tử của f đều nằm trong I

3 f là tổ hợp K tuyến tính các đơn thức của I

Như vậy mỗi hạng tử của f đều thuộc I

2 2 ⇒ 1) Giả sử mỗi hạng tử của f đều thuộc I, ta có

hixα(i) với α(i) ∈ A

Do α(i) ∈ A nên ta có xα(i) ∈ I

Vì vậy f là tổ hợp k tuyến tính các đơn thức của I

Hệ quả 2.3.4 Hai iđêan đơn thức bằng nhau khi và chỉ khi chúng chứa cácđơn thức giống nhau

≥0 hữu hạn sao cho I = (xαym|(α, m) ∈ A).

Đặt J là iđêan trong K[x1, , xn−1] sinh bởi các xα mà xαym ∈ I với

m ≥ 0

Theo giả thiết quy nạp thì J có cơ sở hữu hạn: J = (xα(1), , xα(s))Với mỗi 1 ≤ i ≤ s ta có xα(i)ymi ∈ I, ((α(i), mi) ∈ A) Đặt m =max{mi}, với mỗi k ∈ {0, 1, , m − 1} xét iđêan Jk ⊂ K[x1, , xn−1]sinh bởi các xβ(β ∈ Zn−1≥0 ) thỏa xβyk ∈ I

Theo giả thiết quy nạp thì Jk cũng có tập sinh hữu hạn:

(b) p ≤ m − 1 thì theo cách xây dựng Jp ta có xαyp chia hết cho mộtvài xαp (j)yp.

Theo Bổ đề 2.3.2 ta có các đơn thức của I nằm trong iđêan sinh bởicác đơn thức ở trên Như vậy, iđêan sinh bởi các đơn thức ở trên và Ichứa các đơn thức giống nhau, theo Hệ quả 2.3.4 ta có hai iđêan nàybằng nhau

Viết lại các biến dưới dạng x1, , xn Lúc này I = (xα|α ∈ A) ⊂K[x1, , xn] Theo chứng minh trên ta có

Theo giả thiết ta có γ ≥ 0 nên suy ra α ≥ α(1).

Vậy α(1) là phần tử bé nhất của A hay > là thứ tự tốt

2.4 Định lí cơ bản Hilbert và cơ sở Gr¨obner

Định nghĩa 2.4.1 Cho I ⊂ K[x1, , xn] là một iđêan đơn thức khác {0}

1 Kí hiệu LT (I) là tập các hạng tử dẫn đầu của các phần tử của I

LT (I) = {cxα| ∃f ∈ I : LT (f ) = cxα}

2 (LT (I)) là iđêan sinh bởi các phần tử của LT (I)

Mệnh đề 2.4.2 Cho I ⊂ K[x1, , xn] là một iđêan

1 (LT (I)) là một iđêan đơn thức

2 Tồn tại g1, , gt ∈ I sao cho (LT (I)) = (LT (g1), , LT (gt))

Chứng minh

1 Do I là iđêan nên ta có iđêan đơn thức (LM (g) | g ∈ I\{0})

Vì LM (g) và LT (g) sai khác nhau một hằng số khác 0 nên ta có

(LM (g) | g ∈ I\{0}) = (LT (g) | g ∈ I\{0}) = (LT (I))

⇒ (LT (I)) là iđêan đơn thức

2 Theo Định lí 2.3.5, tồn tại g1, , gt ∈ I sao cho

(LM (g) | g ∈ I\{0}) = (LM (g1), , LM (gt))

⇒ (LT (I)) = (LM (g1), , LM (gt))

Do LM (gi) = cLT (gi) nên ta có

(LM (g1), , LM (gt)) = (LT (g1), , LT (gt))Vậy nên (LT (I)) = (LT (g1), , LT (gt))

Định lí 2.4.3 ( Định lí cơ bản Hilbert)

Mọi iđêan I ⊂ K[x1, , xn] đều có một tập sinh hữu hạn, tức là

I = (g1, , gt) gi ∈ I, i = 1, t

{g1, , gt} được gọi là một cơ sở của I

Chứng minh 1 I = {0} Tập sinh hữu hạn là {0}

2 Nếu I chứa đa thức khác 0 thì theo Mệnh đề 2.4.2 tồn tại g1, , gt ∈ Isao cho

Theo Bổ đề 2.3.2 ta có LT (r) chia hết cho {LT (g1), , LT (gt)} điềunày mâu thuẫn với r là phần dư

⇒ r = 0 ⇒ f = a1g1+ + atgt+ 0 ∈ (g1, , gt) ⇒ I ⊂ (g1, , gt).Vậy I = (g1, , gt)

Định nghĩa 2.4.4 Cố định một thứ tự đơn thức Một tập con hữu hạn

G = {g1, , gt} của iđêan I được gọi là một cơ sở Gr¨obner của I nếu

Định lí 2.4.6 Cho I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ là một dây chuyền tăng các iđêantrong K[x1, , xn] Khi đó, tồn tại N ≥ 1 thỏa mãn

IN = IN +1 = IN +2 = Chứng minh Đặt I =

∞

S

i=1

Ii, ta chứng minh I cũng là một iđêan của K[x1, , xn]

Do 0 ∈ Ii, ∀i nên ta suy ra 0 ∈ I

Lấy f, g ∈ I bất kì, theo định nghĩa I =

Như vậy I là một iđêan

Theo Định lí 2.4.3 , iđêan I có một tập sinh hữu hạn Đặt I = (f1, , fs).Với mỗi fi, i = 1, , s tồn tại số ji nhỏ nhất sao cho fi ∈ Iji

Đặt N = max{ji|i = 1, , s}, ta có fi ∈ IN, ∀i = 1, , s

Suy ra I = (f1, , fs) ⊂ IN ⊂ IN +1 ⊂ ⊂ I

Vậy tồn tại N ≥ 1 thỏa mãn IN = IN +1 = IN +2 =

2.5 Tính chất của cơ sở Gr¨obner

Mệnh đề 2.5.1 Cho G = {g1, , gt} là một cơ sở Gr¨obner của iđêan

I ⊂ K[x1, , xn] và f ∈ I Khi đó, tồn tại duy nhất r ∈ K[x1, , xn] thỏamãn hai tính chất sau

1 Mọi hạng tử của r đều không chia hết cho bất kì LT (gi), i = 1, , n

2 Tồn tại g ∈ I sao cho f = g + r

Chứng minh Sử dụng thuật toán chia đa thức f cho G ta có được

f = a1g1+ + atgt+ rtrong đó r là phần dư, r thỏa mãn điều kiện thứ nhất

Theo Bổ đề 2.3.2 ta có LT (r2− r1) chia hết cho một vài LT (gi)

Mặt khác, không có hạng tử nào của r1, r2 chia hết cho bất kì LT (gi) với

⇐) Giả sử phần dư của phép chia f cho G bằng 0, ta có f = Pt

i=1

higi, hi ∈K[x1, , xn] Như vậy f ∈ I

Định nghĩa 2.5.3 Cho f, g ∈ K[x1, , xn] là các đa thức khác 0

1 Nếu multideg(f ) = α và multideg(g) = β, ta đặt γ = (γ1, , γn) với(γi = max{αi, βi}, i = 1, , n) Khi đó, xγ được gọi là bội chung nhỏnhất của LM (f ) và LM (g) và viết xγ = LCM (LM (f ), LM (g))

2 S-đa thức của f và g được định nghĩa như sau

cidi = 0 và LM (gi) = xβ(i) là ước của xδ

Như vậy xγjk = LCM (LM (gj), LM (gk)) cũng là ước của xδ Suy ra xδ−γjk

Định lí 2.5.5 Cho I là một iđêan đa thức, một cơ sở G = {g1, , gt} của

I là một cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi phần dư của phép chia S(gi, gj)cho G bằng 0 với mọi i 6= j

Chứng minh ⇒) Giả sử G là cơ sở Gr¨obner của I Do S(gi, gj) ∈ I nên ápdụng Hệ quả 2.5.2 ta có phần dư của phép chia S(gi, gj) cho G bằng 0

⇐) Với mỗi đa thức f 6= 0 thuộc I = (g1, , gt) tồn tại các đa thức

P

i=1

higi sao cho δ nhậnđược là nhỏ nhất

Ta viết lại f dưới dạng

Do đó, ta có f được biểu diễn qua tổ hợp các gi mà tất cả các hạng

tử của biểu diễn đều có bậc nhỏ hơn δ Điều này mâu thuẫn với δ =max{m(1), , m(t)}

Suy ra multideg(f ) = δ = multideg(higi), ∀i = 1, , t hay LT (f ) ∈(LT (g1), , LT (gt))

Vậy (LT (I)) = (LT (g1), , LT (gt)) Do đó, G là cơ sở Gr¨obner của I

2.6 Thuật toán Buchberger

Ta kí hiệu fF là phần dư của phép chia f cho F

Định lí 2.6.1 (Thuật toán Buchberger)

Cho I = (f1, , fs) 6= {0} là một iđêan đa thức Đặt G = F = {f1, , fs}.Khi đó, ta sẽ xác định được một cơ sở Gr¨obner của I bằng thuật toán sau

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh G ở mỗi lần thực hiện thuật toánđều nằm trong I

Đầu tiên, ta xét G0 = F = {f1, , fs} ⊂ I Do p 6= q ∈ G0 nên ta cóS(p, q) ∈ I Suy ra S = S(p, q)G

0

∈ I và G = {G0∪ {S}} ⊂ I

Tương tự, với G0 ⊂ I ta cũng có G = {G0 ∪ {S}} ⊂ I trong đó S =S(p, q)G

0

, (p 6= q ∈ G0)

Hơn nữa, ta luôn có F ⊂ G0 cho nên G0 cũng là một cơ sở của I

1 Nếu G = G0 tức là S(p, q)G = 0, ∀p, q ∈ G, theo Định lí 2.5.5 ta có G là

cơ sở Gr¨obner của I

2 Nếu xuất hiện S 6= 0 thì xét G = G0∪ {S}, ta có (LT (G0)) ⊂ (LT (G)).Lúc này, LT (S) /∈ (LT (G0)) nhưng LT (S) ∈ (LT (G)) cho nên (LT (G0))

là tập con thật sự của (LT (G))

Như vậy nếu tiến hành liên tục thuật toán ở định lí thì ta sẽ có đượcmột dây chuyền tăng các iđêan trong K[x1, , xn] Theo Định lí 2.4.6sau một số hữu hạn lần thực hiện thì sẽ xảy ra trường hợp (LT (G)) =(LT (G0)) Lúc này, S = 0 và G = G0

Vậy thuật toán sẽ kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện và ta thuđược một cơ sở Gr¨obner của I

⇒ S(f1, f2)F = −x2 6= 0Như vậy, F = {f1, f2} không phải là cơ sở Gr¨obner của I

Đặt f3 = −x2 và xét G = {f1, f2, f3}

Lúc này

S(f1, f2) = f3 ⇒ S(f1, f2)G = 0S(f1, f3) = −2xy ⇒ S(f1, f3)G = −2xy 6= 0

Đặt f4 = −2xy và xét G1 = {f1, f2, f3, f4} ta có

S(f1, f2)G1 = S(f1, f3)G1 = 0

S(f1, f4) = −2xy2 = yf4 ⇒ S(f1, f4)G1 = 0S(f2, f3) = −2y2+ x ⇒ S(f2, f3)G1 = −2y2+ x 6= 0Đặt f5 = −2y2+ x và xét G2 = {f1, f2, f3, f4, f5} ta có S(fi, fj)G2 = 0, ∀1 ≤

i < j ≤ 5

Như vậy ta có một cơ sở Gr¨obner của I là

{f1, f2, f3, f4, f5} = {x3− 2xy, x2y − 2y2+ x, −x2, −2xy, −2y2+ x}

Bổ đề 2.6.2 Cho G là một cơ sở Gr¨obner của iđêan đa thức I và p ∈ G làmột đa thức thỏa mãn LT (p) ∈ (LT (G − {p})) Khi đó, G − {p} cũng là cơ

sở Gr¨obner của I

Chứng minh Do G là cơ sở Gr¨obner của I nên ta có

(LT (G)) = (LT (I))Theo giả thiết ta có LT (p) ∈ (LT (G − {p})) nên (LT (G)) = (LT (G − {p}))

Do đó

(LT (G − {p})) = (LT (I))Như vậy, G − {p} cũng là một cơ sở Gr¨obner của I

Định nghĩa 2.6.3 Một cơ sở Gr¨obner cực tiểu của iđêan đa thức I là một

cơ sở Gr¨obner G của I sao cho với mọi p ∈ G ta có

1 LC(p) = 1

2 LT (p) /∈ (LT (G − {p}))

Định nghĩa 2.6.4 Một cơ sở Gr¨obner thu gọn của iđêan đa thức I là một

cơ sở Gr¨obner G của I thỏa mãn

1 LC(p) = 1, ∀p ∈ G

2 ∀p ∈ G, không có đơn thức nào của p thuộc (LT (G − {p})).

Mệnh đề 2.6.5 Cho I 6= {0} là một iđêan đa thức Với một thứ tự đơnthức, I có duy nhất một cơ sở Gr¨obner thu gọn

Chứng minh Xét G là một cơ sở Gr¨obner cực tiểu của I

Lấy g ∈ G , gọi g0 là phần dư trong phép chia g cho G − {g} và đặt G0 =(G − {g}) ∪ {g0}

Ta có LT (g0) = LT (g) do LT (g) /∈ (LT (G − {g})), suy ra (LT (G0)) =(LT (G))

Như vậy G0 cũng là một cơ sở Gr¨obner cực tiểu của I và các đơn thức của

g0 không thuộc (LT (G0− {g0}))

Tiếp tục quá trình trên cuối cùng ta sẽ thu được một cơ sở Gr¨obner thu gọncủa I

Ta chứng minh cơ sở Gr¨obner thu gọn này là duy nhất

Giả sử G và G là hai cơ sở Gr¨e obner thu gọn của I

Ta có (LT (I)) = (LT (G)) = (LT (G)).e

Lấype1 bất kì thuộcG ⇒ LT (e pe1) ∈ (LT (G)) ⇒ ∃p ∈ G : LT (pe1) = xαLT (p).Mặt khác ta có LT (p) ∈ (LT (G)) ⇒ ∃e pe2 ∈G : LT (p) = xe βLT (pe2)

⇒ LT (pe1) = xαxβLT (pe2)

Do LT (pe1) /∈ (LT (G − {e pe1})) nên ta có α = β = 0 và LT (pe1) = LT (pe2).Suy ra LT (pe1) = LT (p) và LT (G) ⊂ LT (G).e

Tương tự, ta có LT (G) ⊂ LT (G).e

Như vậy LT (G) = LT (G) tức là với mỗi g ∈ G tồn tại mộte eg ∈ G sao choe

LT (g) = LT (eg)

Xét g −eg ∈ I, do G là cơ sở Gr¨obner của I nên ta có g −geG = 0

Vì LT (g) = LT (g) nên trong g −e g những hạng tử này bị triệt tiêu, các hạnge

tử còn lại của g,g không nằm trong LT (G) = LT (e G), suy ra g −e geG = g −g.e

⇒ g −g = 0 ⇒ g =e g ⇒ G ≡e G.e

Vậy cơ sở Gr¨obner thu gọn của I là duy nhất