mở rộng t và không gian các đạo hàm phản xứng của một số đại số lie toàn phương 6 chiều

Câu hỏi liên quan đến sự tồn tại của các đại số Lie toàn phương đã được đặt ra từ lâu nhưng gần đây mới được quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện nhiều công cụ dành cho chúng xem [3], [9],

Nguyễn Phi Long

MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN

ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG 6 CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Phi Long

PGS.TS LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Anh Vũ và TS Dương Minh Thành Những kết quả trong luận văn này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được

Nguyễn Phi Long

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Mục lục

Danh mục các ký hiệu

M Ở ĐẦU 1

C hương 1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 5

1.1 Đại số Lie 5

1.2 Đại số Lie toàn phương 9

C hương 2 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP CỦA MỘT ĐẠI SỐ LIE BỞI BIỂU DI ỄN ĐỐI PHỤ HỢP 12

2.1 Các định nghĩa 12

2.2 Các ví dụ 14

C hương 3 MỞ RỘNG T* CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 3 CHIỀU 18

3.1 Định nghĩa 3.1 18

3.2 Mở rộng T* của các đại số Lie giải được 3 chiều 21

3.3 Không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được 5 và 6 chiều bất khả phân 24

K ẾT LUẬN 39

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 40

Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V

Aut g : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên g.

 : trường số phức

( , )

k

C g V : không gian các ánh xạ k tuyến tính phản xứng từ g g× × × g vào V

End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V

g* : không gian đối ngẫu của đại số Lieg .

GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực

Lie(g) : đại số Lie của nhóm Lie g

Span{X,Y} : không gian sinh bởi X,Y

*

( )

Tθ g : mở rộng T* của g bởi θ

lý đóng vai trò trung tâm trong bài toán phân loại các quỹ đạo phụ hợp của

các đại số Lie cổ điển o(m) và sp(2n) (xem tài liệu [4], [9] để biết thêm chi

tiết) Một câu hỏi đặt ra ở đây rằng liệu có tồn tại những đại số Lie mà trên đó

có một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến và không suy biến không? Ta

gọi các đại số Lie đó là các đại số Lie toàn phương Tất nhiên theo Tiêu

chuẩn Cartan ta chỉ xét câu hỏi này cho lớp các đại số Lie giải được và câu trả lời là có, một ví dụ cho chúng là đại số Lie kim cương g=span Z P Q X{ , , , } với tích Lie được xác định: [ , ]X P =P, [ , ]X Q = −Q và [ , ]P Q =Z, dạng song tuyến tính đối xứng được cho bởi B X Z( , ) =B P Q( , ) 1 = , các trường hợp khác bằng 0 Đây là một đại số Lie giải được bốn chiều đã được nghiên cứu khá nhiều trong Lý thuyết Lie Chúng ta sẽ thấy trong luận văn thực chất đại số Lie kim cương là một mở rộng T* của đại số Lie giải được không giao hoán 2 chiều Một ví dụ khác cũng khá quen thuộc trong Lý thuyết các đại số Lie như sau: cho g là một đại số Lie và *

g là không gian đối ngẫu của g Biểu diễn đối

ad X f = − f ad X

hoặc tương đương: [X + f Y, +g] [= X Y, ]g+ f ad Y( ) −g ad ( )X

Khi đó h trở thành một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến được định nghĩa bởi :

) ( ) ( ) , (X f Y g f Y g X

B + + = + với mọi X Y, ∈ g và f g, ∈ g*

Lưu ý rằng, có những đại số Lie không có tính chất như thế, ví dụ đại số

Lie giải được 2 chiều g = span{X, Y} với [X,Y] = Y , đại số Lie Hersenberg 3 chiều hoặc kiểu tổng quát 2n+1 chiều, hoặc đại số Lie filiform

Câu hỏi liên quan đến sự tồn tại của các đại số Lie toàn phương đã được đặt ra từ lâu nhưng gần đây mới được quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện nhiều công cụ dành cho chúng (xem [3], [9], [11],[13] ) trong đó mở rộng T*

là một công cụ khá hữu dụng để làm việc trên các trường hợp giải được Bản thân khái niệm đại số Lie toàn phương và công cụ mở rộng T* hoàn toàn có thể tổng quát lên cho trường hợp các siêu đại số Lie toàn phương [2] hoặc áp dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác [3]

Trong luận văn này chúng tôi sẽ tiếp cận các đại số Lie toàn phương theo hướng quen thuộc, đó là tiếp cận theo hướng thấp chiều Vì mở rộng T* đối với trường hợp 1 chiều và 2 chiều khá tầm thường nên chúng tôi sẽ bắt đầu từ trường hợp 3 chiều Cách tiếp cận này có lợi điểm ở chỗ có thể xem xét nhiều khái niệm khá phức tạp của lớp các đại số Lie toàn phương trên những ví dụ

cụ thể ở chiều thấp và sau đó tổng quát trở lại các khái niệm đó Điều này sẽ giúp cho việc nghiên cứu các đại số Lie toàn phương dễ dàng hơn Một lợi điểm khác là thông qua việc phân loại hoặc nghiên cứu các tính chất đáng chú

ý trên các đại số Lie toàn phương thấp chiều, chúng ta sẽ đưa ra được nhiều ví

dụ cho lớp các đại số Lie toàn phương để từ đó hi vọng sẽ tìm thấy những đối tượng hoặc công cụ nghiên cứu mới Vì những lý do trên cho nên bài toán phân loại ở các chiều thấp rồi sau đó tăng dần số chiều luôn được giải quyết song song với bài toán nghiên cứu các tính chất tổng quát trong nghiên cứu các đại số hữu hạn chiều Ví dụ các đại số Lie toàn phương giải được đến 4 chiều đã được phân loại trong [14], trường hợp 5 chiều đã được xét trong [6], phân loại các đại số Lie toàn phương lũy linh đến 7 chiều có thể được tìm

thấy trong [7]

Vì các đạo hàm phản xứng đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu các đại số Lie toàn phương, cụ thể là trong phương pháp mở rộng kép Do đó trong luận văn này chúng tôi sẽ tính toán một cách cụ thể không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie giải được 6 chiều thu được từ mở rộng T* của các đại số Lie giải được 3 chiều Từ những tính toán này, chúng tôi hi vọng sẽ thu được toàn bộ những mở rộng kép của những đại số Lie toàn phương này

Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương Chương 1 chủ yếu dành để nhắc lại một số khái niệm và những kết quả cần thiết liên quan đến các đại số Lie toàn phương Ở đây chúng tôi sẽ trình bày thêm kết quả phân loại đến đẳng cấu đẳng cự các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều

đã được thực hiện trong [10] Phân loại này dựa theo phương pháp mở rộng kép (xem [9] và [11]) khác với mở rộng T* được đề cập trong luận văn Chương 2 dành cho việc liệt kê trường hợp đặc biệt của mở rộng T*, đó là tích nửa trực tiếp của một đại số Lie giải được 3 chiều bởi biểu diễn đối phụ hợp Chương 3 sẽ giới thiệu khái niệm mở rộng T* được đưa ra đầu tiên trong [3] Bằng cách tính toán cụ thể các 2-đối chu trình cyclic, chúng tôi đã liệt kê toàn bộ các mở rộng T* của các đại số toàn phương giải được 3 chiều Từ kết

quả này chúng tôi nhận được phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều như trong Chương 1 Tiếp theo của chương là những tính toán chi tiết

để thu được một mô tả cụ thể không gian các đạo hàm phản xứng của các đại

số toàn phương giải được 6 chiều bất khả phân Phần cuối của luận văn dành

để bình luận các kết quả và đề xuất một vài bài toán mở

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Anh Vũ và TS Dương Minh Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới

2 thầy Lê Anh Vũ và Dương Minh Thành Xin chân thành cám ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Vĩnh Kim cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Chương 1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN

Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm và những kết quả cần thiết liên quan đến các đại số Lie toàn phương như: định nghĩa đại số Lie, đại

số Lie con, ideal, đại số Lie toàn phương …đồng thời trình bày thêm kết quả phân loại đến đẳng cấu đẳng cự các đại số Lie toàn phương dựa theo phương pháp mở rộng kép

(iii) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi:

[[ , ], ] [[ , ], ] [[ , ], ]x y z + y z x + z x y = 0 , ∀x y z, , ∈ g

Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian véctơ g

Cho g là một không gian hữu hạn chiều trên trường  Giả sử số chiều

của g là n Cấu trúc đại số Lie trên g có thể được cho bởi móc Lie của từng

cặp véctơ thuộc cơ sở {e e1 , 2 , ,e n} đã chọn trước trên g như sau:

1

n k

Các hệ số c ij k, 1 ≤ < ≤i j n được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie g

trong cơ sở được chọn

Ví dụ 1.1.2

a Không gian n với móc Lie [ ]x y, ≡ 0 (tầm thường) hiển nhiên là một đại số Lie Đại số Lie mà móc Lie tầm thường, được gọi là đại số Lie giao hoán

b Không gian  3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3 chiều

c Cho A là một đại số kết hợp trên trường  Với mọi cặp ( )x y, ∈ A,

ta định nghĩa [ ]x y, = xy−yx, khi đó A trở thành một đại số Lie Nói riêng, đại

số Lie Mat(n,) các ma trận vuông cấp n trên  là một đại số Lie với móc Lie [A B, ]= AB−BA, ∀A B, ∈Mat n( , ), và được kí hiệu là gl(n,)

d Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên -không gian véctơ V Khi đó, End V( ) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau: [A B, ]= A B −B A , ∀A B, ∈End V( ) Đại số Lie này được gọi là đại số

Lie tuyến tính tổng quát và được kí hiệu là gl(V)

Định nghĩa 1.1.3 Đại số Lie con, ideal, ideal dẫn xuất [g,g] và ideal tâm

(i) Không gian con h của đại số Lie g được gọi là đại số Lie con của g, nếu [ ]x y, ∈h với mọi x y, ∈h

(ii) Không gian con i của đại số Lie g được gọi là ideal của g nếu [ ]x y, ∈i với mọi x∈ g và y∈i

(iii) [ ] [ ]g g , ={ x y, | ,x y∈ g} gọi là ideal dẫn xuất của g

là không gian các ma trận vuông cấp n có vết bằng không (trong đó vết của

ma trận vuông là tổng của các phần tử trên đường chéo chính) trong gl(n,)

là không gian các ma trận tam giác trên chặt chẽ trong gl(n,)

Khi đó sl(n,), b(n,) và n(n,) đều là các đại số Lie con của gl(n,)

Đặc biệt, sl(n,) là một ideal của gl(n,) và n(n,) là một ideal của b(n,) (ii) Đại số Lie các toán tử vi phân Der( )A là đại số Lie con của gl(A)

(iii) Kí hiệu Z( )g là tập hợp tất cả các phần tử giao hoán với g, tức là

Định nghĩa 1.1.6 Biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối phụ hợp

Cho G là nhóm Lie tùy ý và g = Lie(G) l à đại số Lie của G Ký hiệu *

được gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong g

Tác động (được cảm sinh bởi biểu diễn phụ hợp Ad của G trong g)

tại trường véctơ (bất biến trái) X ∈ g

1.2 Đại số Lie toàn phương

Định nghĩa 1.2.1 Cho một đại số Lie phức hữu hạn chiều g Một dạng song tuyến tính B: g × →  g được gọi là:

(i) đối xứng nếu B X Y( , ) =B Y X( , ) với mọi X Y, ∈ g,

(ii) không suy biến nếu B X Y( , ) = 0, ∀ ∈ gY thì X = 0,

(iii) bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu B( [X Y, ],Z)=B X Y Z( ,[ , ] ) với

mọi X Y Z, , ∈ g

Một đại số Lie trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính, đối xứng, không

suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương

Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương và V là một không gian vector con của g Ta kí hiệu thành phần trực giao của V bởi

V⊥ = X∈ g B X Y = ∀ ∈Y V Khi đó ta có đẳng thức:

dim( ) dim(V + V⊥) = dim( ).gMột phần tử X trong g được gọi là tự đẳng hướng nếu B X X( , ) = 0 Một không gian con V của g được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu B X Y( , ) = 0với mọi X Y, ∈V Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V ⊂V⊥

Từ tính chất bất biến và không suy biến của dạng song tuyến tính xác định trên g, ta dễ dàng chứng minh được [ ]g g , =Z( ) g ⊥ Do đó Z( ) g tự đẳng hướng hoàn toàn khi và chỉ khi Z( ) g ⊂[ ]g g , Một kết quả trong [12] nói rằng nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể quy về nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn (sai khác một ideal tâm không suy biến) Bên cạnh đó, nghiên cứu các đại số Lie toàn phương cũng có

thể quy về nghiên cứu các đại số Lie toàn phương bất khả phân bởi phân tích

trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.2 [3]

Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương và I là một ideal của g Khi

đó I⊥ cũng là một ideal của g Hơn nữa, nếu thu hẹp của B trên I×I không suy biến thì thu hẹp của B trên I⊥×I⊥ cũng không suy biến, I I, ⊥ = { }0 và

(g,B) và (g ',B') đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie

A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự Cuối cùng trong phần này chúng tôi nhắc lại kết quả phân loại các đại số Lie toàn giải được 6 chiều bằng phương pháp mở rộng kép được đưa ra trong [11] như sau:

Mệnh đề 1.2.5 Cho (g, B) là đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều Giả

sử g bất khả phân và g =span Z Z Z X X{ 1 , 2 , 3 , 1 , 2 ,X3}, ở đây dạng song tuyến tính đối xứng B được xác định bởi B X Z( i, j) = δij , 1 ≤i j, ≤ 3, các trường hợp còn lại bằng 0 Khi đó g đẳng cấu với một trong các đại số Lie sau đây:

và [Z X1 , 1] [= Z2 ,X2] [= Z2 ,X1]=Z3

Chương 2 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP CỦA MỘT ĐẠI SỐ

LIE BỞI BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP

2.1 Các định nghĩa

Cho g là một đại số Lie, V là một không gian véctor và ϕ : g × → g V là một ánh xạ song tuyến tính Trên không gian véctor g= ⊕g V ta định nghĩa phép toán

Trong trường hợp này V sẽ chứa trong tâm của g nên người ta gọi g là

mở rộng tâm của g bởi V (theo ánh xạ ϕ)

[X +u Y,[ +v Z, +w] [ + Y+v Z,  +w X, +u] [ + Z+w X,  +u Y, +v]] =

[X +u Y Z,[ , ] + ϕ(Y Z, ) ] [+ Y+v Z X,[ , ]+ ϕ(Z X, )] +[Z+w X Y,[ , ] + ϕ(X Y, )] =

[ [X Y Z, , ]] + ϕ(X Y Z,[ , ] )+[ [Y Z X, , ]] + ϕ(Y Z X,[ , ] )+[ [Z X Y, , ]] + ϕ(Z X Y,[ , ] )=

[X Y Z,[ , ] [ [+ Y Z X, ] [ [+ Z X Y, , ]] + ϕ(X Y Z,[ , ] )+ ϕ(Y Z X,[ , ] )+ ϕ(Z X Y,[ , ] )= 0  Vậy gcùng với móc Lie được định nghĩa như trên tạo thành 1 đại số Lie

Cho g là một đại số Lie, V là một không gian vector và π : g →End V( )

là một ánh xạ tuyến tính Trên không gian véctor g = ⊕ g V ta định nghĩa phép toán

hiển nhiên Lấy X Y Z, , ∈ g và u v w V, , ∈ , ta có:

Nói một cách khác, không gian véctor g là một đại số Lie nếu và chỉ nếu

π là một biểu diễn của g trong V Trong trường hợp này ta nói g là tích nửa trực tiếp của g với V bởi biểu diễn π

Bây giờ ta xét trường hợp cụ thể *

g bởi biểu diễn đối phụ hợp có tích Lie được xác định như sau:

Ví dụ 2.2.1 Xét đại số Lie giải được 2 chiều g =span X Y{ , } với tích Lie

[X Y, ]=Y Khi đó biểu diễn đối phụ hợp * ( )*

Đây chính là đại số Lie kim cương giải được 4 chiều

Ví dụ 2.2.2 Cho g là một đại số Lie giải được 3 chiều Như ta đã biết, phân loại của các đại số Lie giải được 3 chiều được cho như sau:

(i) g3,1: [X Y, ]=Z,

ad cho từng trường hợp trên như sau

* * ,

có tích Lie được cho bởi [X Y, ]=Y , [X Z, ]= µZ, * *

Đây là đại số g 6,2 ( ) µ trong Mệnh đề 1.2.5

Một tính chất quen thuộc đáng chú ý của tích nửa trực tiếp g g g = ⊕ * bởi biểu diễn đối phụ hợp như sau

Mệnh đề 2.3 Cho g g g= ⊕ * là tích nửa trực tiếp của g với *

g bởi biểu diễn đối phụ hợp Khi đó g là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính B được xác định bởi:

Giả sử X ≠ 0 Ta chọn g sao cho g X( )≠ 0 đồng thời chọn Y = 0 , suy ra f( − =Y) 0 Điều này vô lý nên ta suy ra X = 0

Lập luận tương tự ta được f = 0

B X + f Y+g Z+h = B X + f Y +g Z+h hay Bbất biến 

Chương 3 MỞ RỘNG T* CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE

GIẢI ĐƯỢC 3 CHIỀU

Tiếp theo đây, ta xét trường hợp tổng quát hơn những gì ta đã làm ở Chương 2

chứa các đồng cấu trên V Trong trường hợp này, V được gọi là một g

-module Với mỗi số nguyên k≥ 0, kí hiệu C k( , ) gV là không gian các ánh xạ

k-tuyến tính phản xứng từ g × g × × g vào V nếu k ≥ 1 và 0

k i

i

i k

Ta có thể kiểm tra δ thỏa mãn tính chất 2