Bài giảng An toàn và bảo mật thông tin - Chương 2: Cơ sở toán học của lý thuyết mật mã - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

[r]

Ch ươ ng 2. C  s  toán h c c a lý  ơ ở ọ ủ thuy t m t mã  ế ậ

 Cho a, b≠0 là các s  nguyên. Ta nói a chia h t cho b ố ế

n u t n t i 1 s  c sao cho:ế ồ ạ ố

 a=b.c

 Ký hi u b|aệ

 a là b i s  c a b (divisor), b là ộ ố ủ ước s  c a a ( mutiple)ố ủ

 Ví d : 2| 6ụ

Tính chia h t c a s  nguyên ế ủ ố

toán Euclide

 V i a, b, c, d, e  Z, ta có:ớ ∈

 ­ N u a|b và b|c   a|cế ⇒

 ­ N u a|b, thì ac|bc  cế ∀

 ­ N u c|a và c|b, thì c| da+ be  d, eế ∀

 ­ N u a|b và b≠0, thì |a|≤|b|ế

 ­ N u a|b và b|a, thì |a|=|b|ế

Tính chia h t c a các s  nguyên ế ủ ố

qĐ i v i m i s  n, d\{0}, luôn t n t i duy nh t các s  q, ố ớ ọ ố ồ ạ ấ ố

r Z sao cho:∈

n=qd+r    v i 0<r<|d| ớ

qn là s  b  chia (divident), d là s  chia (divisor), q ố ị ố

thương s  (quotient), r là s  d  (remainder), ký hi u ố ố ư ệ

Rd (n)

q  ví d :ụ

q       R7 (16)=2

q       R7 (­16)=?

Đ nh lý phép chia c a Euclid ị ủ

 Cho hai s  a, b  Z\{0}, c Z đố ∈ ∈ ược g i là ọ ước chung c a ủ

a và b n u c|a và c|bế

 C được g i là ọ ước chung l n nh t, ký hi u gcd(a, b), ớ ấ ệ

n u nó là s  nguyên l n nh t a, b chia h t. ế ố ớ ấ ế

c chung l n nh t(greatest 

common divisor­ gcd)

 Cho hai s  a, b  Z\{0}, c Z đố ∈ ∈ ược g i là b ichung c a ọ ộ ủ

a và b n u a|c và b|cế

 C được g i là b ichung nh  nh t, ký hi u lcm(a, b), ọ ộ ỏ ấ ệ

n u nó là s  nguyên nh  nh t chia h t cho a, b. ế ố ỏ ấ ế

B i chung nh  nh t(Least  ộ ỏ ấ

common multiple)

Ø Input: hai s  không âm a, b, a>=bố

Ø Output: gcd(a, b)

Trong khi b>=0  th c hi n: ự ệ

 r a mod b  a b

 b r Cho k t qu  (a) ế ả

 Thu t toán Euclid m  r ng dùng đ  tìm hai s  x, y ậ ở ộ ể ố

th a mãn phỏ ương trình sau:

 ax + by = gcd(a, b)

Thu t toán Euclid m  r ng ậ ở ộ

Euclide m  r ng ở ộ

 Cho a=4864, b= 3458, tìm (d, x, y)

Ví dụ

(38, 32, ­45)