Giới thiệu về máy tính Casio f x-570ES
Giới thiệu về máy tính Casio
Máy tính Casio fx-570ES là sản phẩm mới nhất dành cho học sinh trung học, nổi bật với nhiều tính năng ưu việt Đây là dòng máy tính Casio được ưa chuộng hiện nay, đặc biệt với khả năng hiển thị biểu thức và căn bậc 2 một cách xuất sắc.
• Nhiều tính năng ưu việt
Máy tính Casio fx-570ES là phiên bản nâng cấp của dòng fx-570ES, được trang bị nhiều tính năng mới giúp giải quyết hầu hết các dạng toán khó trong chương trình học phổ thông Ngoài việc xử lý các bài toán cơ bản, máy còn có khả năng giải quyết các vấn đề cao cấp như tích phân, đạo hàm, thống kê, tổ hợp và chỉnh hợp Đặc biệt, fx-570ES có tính năng tính tổng P mà các máy khác không có, cùng với khả năng tính logarit với cơ số bất kỳ.
• Hiển thị dạng biểu thức tự nhiên
Máy tính này nổi bật với khả năng hiển thị biểu thức dạng tự nhiên giống như trong sách giáo khoa, cùng với việc cung cấp đáp số dưới dạng căn thức hoặc phân số, mang lại sự tiện lợi tối ưu cho quá trình tính toán.
• Kiểu dáng hiện đại, bắt mắt
Máy tính f x-570 ES nổi bật với thiết kế nắp trượt hiện đại và màu xám bạc tinh tế, thể hiện đẳng cấp vượt trội so với các dòng máy khác Điểm đáng chú ý trong thiết kế của máy là phím plastic cực nảy và nhạy, giúp quá trình nhập liệu tính toán nhanh chóng hơn Ngoài ra, màn hình hiển thị 4 dòng và khả năng xử lý nhanh cũng là những điểm nổi bật của dòng máy này.
Máy tính CASIO f x-570EX là loại máy rất tiện lợi cho học sinh từ Trung học đến Đại học vì
• Máy giải quyết hầu hết các bài toán ở Trung học và một phần ở Đại học.
• Máy theo quy trình ấn phím mới (hiện biểu thức, tính thuận).
• Máy gọn nhẹ và giá cả cũng phù hợp với học sinh, sinh viên.
Với các tính năng ấy, chắc chắn loại máy này sẽ giúp cho ta rất nhiều trong học tập hay tính toán trong cuộc sống.
Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio f x-570ES
TRƯỚC KHI SỬ DỤNG MÁY TÍNH
MODE TÍNH TOÁN VÀ CÀI ĐẶT MÁY
NHẬP BIỂU THỨC VÀ GIÁ TRỊ
HIỂN THỊ KẾT QUẢ Ở CÁC DẠNG π, √
SỬ DỤNG BỘ NHỚ MÁY TÍNH
SỬ DỤNG CHỨC NĂNG CALC
Các kiến thức chuẩn bị
Một số vấn đề về đa thức
Vành đa thức một ẩn (Xem [3])
Đa thức là một khái niệm quen thuộc trong toán học, được biểu diễn dưới dạng tổng a₀ + a₁x + + aₘxᵐ, trong đó các hệ số aᵢ (i = 0, 1, , m) là các số thực và x là biến Phép cộng và phép nhân đa thức là hai phép toán cơ bản trong việc xử lý và tính toán với đa thức.
+ .+a k b 0 )x k + .+a m b n x m+n trong đó ta giả sửn ≥m Ở đây, chúng ta hãy định nghĩa đa thức một cách tổng quát hơn và chính xác hơn.
Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1 GọiP là tập hợp các dãy
(a 0 , a 1 , , a n , ) trong đó cáca i ∈A với mọi i∈N và bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân trong P như sau
(a0, a1, , an, )(b0, b1, , bn, ) = (c0, c1, , cn) (1.2) với c k =a 0 b k +a 1 bk−1+ .+a k b 0 = X i+j=k a i b j , k= 0,1,2,
Vì các a_i và b_i bằng 0 ngoại trừ một số hữu hạn, nên tổng a_i + b_i và c_i cũng bằng 0 ngoại trừ một số hữu hạn Điều này cho thấy (1.1) và (1.2) tạo ra hai phép toán trong P Chúng ta cần chứng minh rằng P là một vành giao hoán có đơn vị Đầu tiên, phép cộng trong P rõ ràng là giao hoán và kết hợp, trong khi phần tử không được định nghĩa là một dãy.
(0,0, ,0, ) phần tử đối của dãy (a 0 , a 1 , , a n , )là dãy (−a 0 ,−a 1 , ,−a n , ) Vậy P là một nhóm cộng giao hoán VìA là giao hoán nên
Phép nhân trong đại số có tính chất giao hoán, tức là X i+j=k aibj = X i+j=k bjai Bên cạnh đó, phép nhân cũng có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng, vì vậy với mọi m = 0, 1, 2, chúng ta có thể áp dụng những tính chất này trong các phép toán.
(X h+i=l a h b i )c j từ đó ta có phép nhân trong P là kết hợp Dãy(1,0, ,0, ) là phần tử đơn vị của
P VậyP là một vị nhóm nhân giao hoán Cuối cùng, luật phân phối trong A cho phép ta viết
X i+j=k a i (b j +c j ) = X i+j=k a i b j + X i+j=k a i c j với mọik = 0,1,2, ta suy ra từ đó luật phân phối trong P.
Bây giờ, ta hãy xét dãy x= (0,1,0, ,0, )
Ta có, theo quy tắc nhân (1.2) x 2 = (0,0,1,0, ,0, ) x 3 = (0,0,0,1,0, ,0, ) x n = (0,0, ,0
Ta quy ước viết x 0 = (1,0, ,0, ) Mặt khác, ta xét ánh xạ
Ánh xạ A→P với a7→(a,0, ,0, ) cho thấy rằng đây là một đơn cấu (vành) Do đó, chúng ta có thể đồng nhất phần tử a∈A với dãy (a,0, ,0, )∈P, từ đó suy ra rằng A là một vành con của vành P Mỗi phần tử của P đều được biểu diễn dưới dạng một dãy.
(a 0 , a 1 , , a n , ,) trong đó cáca i bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, cho nên mỗi phần tử của P có dạng
(a 0 , a 1 , , a n ,0,0, ) trong đó a 0 , a 1 , , a n ∈A không nhất thiết khác 0 Việc đồng nhất a với
(a,0, ,0, ) và việc đưa vào dãyx cho phép ta viết
Vành P được định nghĩa là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, ký hiệu là A[x] Các phần tử của vành này được gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A Một đa thức f(x) có dạng a0 + a1x + + anxn, trong đó các ai (i = 0, 1, , n) là các hệ tử của đa thức Các ai xi được gọi là các hạng tử của đa thức, trong đó a0 x0 = a0 là hạng tử tự do.
Bậc của một đa thức
(a 0 , a 1 , , a n , ) thuộc vành P Vì các a i bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên nếu
(a 0 , a 1 , , a n , )6= (0,0, ,0, ) thì bao giờ cũng có một chỉ sốn sao cho a n 6= 0 và a i = 0, i > n Theo như trên, ta viết
(a 0 , a 1 , , a n ,0, ) =a 0 x 0 +a 1 x+ã ã ã+a n x n Định nghĩa 1.2 (Xem [3]) Bậc của một đa thức khác 0 f(x) = a0+a1x+ã ã ã+an−1x n−1 +anx n với a n 6= 0, n≥0, là n Hệ tử a n gọi là hệ tử cao nhất của f(x)
Bậc của một đa thức khác 0 được định nghĩa rõ ràng, trong khi đa thức 0 được coi là không có bậc Theo định lý 1.1, bậc của tổng hai đa thức không vượt quá bậc cao nhất trong hai đa thức đó, tức là bậc (f(x) + g(x)) ≤ max[bậc f(x), bậc g(x)].
Chứng minh(Xem [2]) Thật vậy, giả sử f(x) =a 0 + .+a m x m (a m 6= 0) g(x) = b 0 + .+b n x n (b n 6= 0)
Nếun =m thì f(x) +g(x) = (a 0 +b 0 ) + .+ (a m +b m )x m do đó bậc (f(x) +g(x))≤m, và bậc (f(x) +g(x))< m khi (a m +b m ) = 0
Còn nếu n < m thì f(x) +g(x) = (a 0 +b 0 ) + .+ (a n +b n )x n +a n+1 x n+1 + .+a m x m do đó bậc (f(x) +g(x)) = m= max(m, n) = max[bậc f(x), bậc g(x)] Định lý 1.2 (Xem [3]) Nếu A là một miền nguyên, f(x) và g(x) là hai đa thức khác
0 của vành A[x], thì f(x)g(x) 6= 0 và bậc (f(x)g(x)) = bậc f(x) + bậc g(x)
Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0 trong A[x], với f(x) = a0 + + am xm (am ≠ 0) và g(x) = b0 + + bn xn (bn ≠ 0) Theo quy tắc nhân đa thức, tích f(x)g(x) sẽ có dạng a0b0 + + (a0bk + + akb0)xk + + ambn xn+m Vì am và bn đều khác 0, nên ambn ≠ 0, điều này dẫn đến f(x)g(x) ≠ 0 Do đó, bậc của tích f(x)g(x) là m+n, tương đương với bậc của f(x) cộng bậc của g(x).
Hệ quả 1.1 Nếu A là miền nguyên, thì A[x] cũng là miền nguyên
Phương pháp hệ số bất định
Để biểu diễn một đa thức theo yêu cầu nhất định, ta cần hiểu rằng hai đa thức được coi là bằng nhau khi các hệ số tương ứng với cùng một lũy thừa của ẩn là giống nhau Điều này có nghĩa là hai đa thức phải tương đương về mặt cấu trúc và hệ số.
Bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp, chúng ta có thể tính toán các hệ số cần thiết cho sự biểu diễn trong hằng đẳng Phương pháp này được biết đến với tên gọi là phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1 Biểu diễn biểu thức f(x) = (x−1)(x−2)(x+ 3) + 5x+ 4 thành dạng chính tắc của một đa thức.
Ta thấy bậc của đa thức là 3, với hệ số của x 3 là 1, và số hạng tự do là
(−1)(−2)(3) + 4 = 10 Vậy có thể viết f(x) = x 3 +ax 2 +bx+ 10 Trong đẳng thức trên, lần lượt lấyx= 1, x= 2, ta được.
14 = 4a+ 2b+ 18 Giải hệ phương trình này, ta được a= 0, b=−2, và đa thức phải tìm là f(x) = x 3 −2x+ 10
Ví dụ 2 Biểu diễn biểu thức g(x) = (x 2 −5x+ 4)(x−1) dưới dạng chính tắc lùi của (x+1)
Lần lượt lấy x=−1, x= 1, x= 4, ta được
Giải hệ phương trình, ta đượcb =−9, c = 24, d=−20
Nghiệm của một đa thức được định nghĩa như sau: Giả sử c là một phần tử của vành A, f(x) = a0 + a1x + + anx^n là một đa thức trong A[x] Giá trị của f(x) tại c, ký hiệu là f(c) = a0 + a1c + + anc^n, thuộc A Nếu f(c) = 0, thì c được gọi là nghiệm của f(x) Việc tìm nghiệm của f(x) trong A là giải phương trình đại số bậc n, với a_n ≠ 0 Định lý Bezout khẳng định rằng nếu A là một trường và f(x) ∈ A[x], thì dư của phép chia f(x) cho x - c chính là f(c).
Khi chia f(x) cho x−c, dư sẽ là một đa thức bậc 0 hoặc bằng 0, do bậc của x−c là 1 Do đó, dư r là một phần tử trong A Ta có công thức f(x) = (x−c)q(x) + r.
Thay xbằng c, ta được f(c) = 0.q(c) +r Vậy r=f(c) Từ đây ta có hệ quả
Hệ quả 1.2 c là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x−c
Số nghiệm và hệ thức giữa các nghiệm Định lý 1.4 Mỗi đa thức f(x) bậc n≥1 trên trường số P đều có không quá n nghiệm phân biệt trên P
Chứng minh.(Xem [2]) Giả sử f(x) bậc n có n+ 1 nghiệm phân biệt là c 1 , c 2 , , c n , c n+1 Khi đó f(x) (x−c1)(x−c2) .(x−cn+1)
Do đó f(x) = (x−c 1 )(x−c 2 ) .(x−c n+1 )q(x) với q(x)6= 0 Từ đó suy ra bậcf(x)≥n+ 1, mâu thuẫn với giả thiết. Định lý 1.5 (Định lí Viète) Nếu đa thức f(x) =a 0 x n +a 1 x n−1 +ã ã ã+a n , a i ∈P, a 0 6= 0 cú n nghiệm trờn P là c 1 , c 2 ,ã ã ã , c n thỡ
c 1 +c 2 +ã ã ã+c n =−a 1 a 0 c 1 c 2 +ã ã ã+c 1 c n +c 2 c 3 +ã ã ã+cn−1c n = a2 a 0 c1c2c3+c1c2c4+ã ã ã+cn−2cn−1cn=−a 3 a 0 c 1 c 2 c n = (−1) n a n a 0 Chứng minh.(Xem [2]) Do c 1 , c 2 , , c n là n nghiệm của f(x) nên f(x) = a 0 (x−c 1 )(x−c 2 ) .(x−c n )
So sánh các hệ số tương ứng của các lũy thừa của xở hai vế, ta có được các hệ thức phải chứng minh.
Trong trường hợp đặc biệt với n=2, ta có định lý Viète quen thuộc trong giáo trình trung học Định nghĩa 1.4 nêu rõ rằng, giả sử A là một trường và c∈A, thì f(x)∈A[x] có nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu f(x) chia hết cho (x−c) m và không chia hết cho (x−c) m+1 Khi m=1, c được gọi là nghiệm đơn, còn khi m=2, c là nghiệm kép.
Người ta coi một đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau.
Một số kiến thức khác liên quan
Trong bài viết này, chúng ta đã khám phá rằng nếu A là một miền nguyên, thì A[x] cũng là một miền nguyên Tuy nhiên, nếu A là một trường, A[x] không phải là một trường vì đa thức như x không có nghịch đảo Dù vậy, A[x] vẫn là một miền nguyên đặc biệt, cụ thể là một vành Euclid, tức là một vành cho phép chia với dư Định lý 1.6 chỉ ra rằng, với A là một trường và f(x), g(x) ≠ 0 là hai đa thức trong vành A[x], luôn tồn tại hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A[x] sao cho f(x) = g(x)q(x) + r(x), với bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x) nếu r(x) khác 0.
Sự tồn tại Nếu f(x) = 0 hoặc bậc f(x)< bậc g(x), ta lấyq(x) = 0 và r(x) = f(x), định lý được chứng minh Do đó, ta có thể giả thiết rằng bậc f(x)≥ bậc g(x), và giả sử f(x) = a 0 + .+a n x n (a n 6= 0) g(x) =b 0 + .+b m x m (b m 6= 0) và n ≥m
Xét đa thức \( q_1(x) = a_n b_m x^{n-m} \), khi đó \( q_1(x)g(x) \) có hạng tử cao nhất là \( a_n b_m x^{n-m} \) và \( a_n x^n \) Đa thức \( f_1(x) = f(x) - q_1(x)g(x) \) có bậc nhỏ hơn \( n \) Nếu \( f_1(x) = 0 \) hoặc bậc \( f_1(x) < \) bậc \( g(x) \), ta dừng lại với Đ.P.C.M Nếu không, thay \( f(x) \) bằng \( f_1(x) \) và tiếp tục, ta có \( f_2(x) = f_1(x) - q_2(x)g(x) \) với bậc nhỏ hơn bậc \( f_1(x) \) Quá trình này tạo ra dãy \( f(x), f_1(x), f_2(x), \ldots \) với bậc giảm dần Do đó, sẽ tồn tại chỉ số \( k \) sao cho \( f_k(x) \) có bậc nhỏ hơn bậc của \( g(x) \) hoặc \( f_k(x) = 0 \) Ta có \( f(x) = q_1(x)g(x) + f_1(x) \), \( f_1(x) = q_2(x)g(x) + f_2(x) \), và tiếp tục cho đến \( f_{k-1}(x) = q_k(x)g(x) + f_k(x) \) Cộng các đẳng thức theo vế, ta có \( f(x) = (q_1(x) + q_2(x) + \ldots + q_k(x))g(x) + f_k(x) \), trong đó nếu \( f_k(x) \neq 0 \) thì bậc \( f_k(x) < \) bậc \( g(x) \) Cuối cùng, chọn \( q(x) = q_1(x) + q_2(x) + \ldots + q_k(x) \) và \( r(x) = f_k(x) \).
Tính duy nhất Giả sử có f(x) =g(x)q(x) +r(x)và f(x) =g 0 (x)q 0 (x) +r 0 (x) với r(x), r 0 (x) nếu khác không thì bậc r(x) < bậc g(x)và bậc r 0 (x)< bậc g(x) Từ đây, ta suy ra
Nếur 0 (x)6=r(x) thì bậc (r 0 (x)−r(x))< bậc g(x) theo định lí (1.1), do đó bậc [g(x)(q(x)−q 0 (x))]< bậc g(x) Mà ta có, theo định lí (1.2), bậc [g(x)(q(x)−q 0 (x))]
= bậcg(x)+ bậc (q(x)−q 0 (x))> bậc g(x)(mâu thuẫn) Vậy phải có r 0 (x) = r(x), do đóq 0 (x) =q(x) (đ.p.c.m) Chú ý rằng, nếu một trong hai đa thức r(x) và r 0 (x) bằng
Khi r(x) = 0, bậc của (r(x) - r0(x)) sẽ bằng bậc của r(x) Ngược lại, nếu r0(x) = 0, bậc của (r(x) - r0(x)) sẽ bằng bậc của r0(x) Điều này cho thấy rằng việc xác định bậc không bị ảnh hưởng bởi giá trị cụ thể của r0(x) hay r(x) khi một trong hai giá trị bằng 0.
Từ đây, ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.3 f(x) chia hết cho g(x) khi và chỉ khi dư trong phép chia f(x) cho g(x) là bằng 0
Là thuật toán cho phép ta tìm nhanh thương và dư trong phép chia một đa thức f(x) bất kì cho x−c.
Thực hiện phép chia f(x) = a0x n +a1x n−1 +ã ã ã+an cho x−c ta được các hệ tử của đa thức thương có bậcn−1 q(x) =b0x n−1 +b1x n−2 +ã ã ã+bn−1
Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có b 0 =a 0 , b i =a i +cbi−1, i= 1, , n−1 và dư r=a n +cbn−1
Phương pháp Horner được sử dụng để tính giá trị f(c) từ đa thức, với sơ đồ thể hiện như sau: a0, a1, , an−1, an và b0, b1, , bn−1, r Mỗi phần tử trong dòng thứ hai được tính bằng cách cộng phần tử tương ứng trong dòng thứ nhất với tích của c và phần tử đứng trước trong dòng thứ hai.
Kết hợp với định lí Bezout,r =f(c), ta thấy sơ đồ Horner cũng cho phép ta tính nhanh giá trị của đa thức f(x) tại x=c, nhất là khi f(x)có bậc cao.
Ví dụ 3 Tìm thương và dư trong phép chia đa thứcf(x) = 2x 4 −x 3 −x 2 + 3x−2 cho x−2
Vậy thương là 2x 3 + 3x 2 + 5x+ 13 và dư là24 = f(2)
Ví dụ 4 Tìm thương và dư trong phép chia đa thứcf(x) =x 4 −x 2 + 2x−3chox+ 1
Kiến thức giải tích bổ trợ
Trong phần này, chúng ta áp dụng kiến thức từ Giải tích với các định nghĩa và định lý được trích dẫn từ tài liệu tham khảo Định nghĩa 1.5 nêu rõ rằng, trong một tập hợp sắp thứ tự X, phần tử a thuộc X được gọi là cận trên của tập hợp A nếu mọi phần tử x trong A đều thỏa mãn x ≤ a Tương tự, a được xem là cận dưới của A nếu a ≤ x với mọi x trong A Định nghĩa 1.6 tiếp tục khẳng định rằng a là cận trên đúng của A nếu nó là phần tử nhỏ nhất trong tập hợp các cận trên của A, nếu tồn tại.
Cận trên đúng của tập hợp A, nếu tồn tại, là duy nhất Phần tử a∈X được gọi là cận dưới đúng của A nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) trong tập hợp các cận dưới của A.
Cận dưới đúng của A, nếu có, là duy nhất.
Cận trên đúng của A được kí hiệu là supA.
Cận dưới đúng của A được ký hiệu là infA Nếu X là một tập hợp số thực (X ⊂ R), x₀ ∈ R, và f là một hàm số xác định trên X, thì số thực l được gọi là giới hạn của hàm số f khi x tiến đến x₀.
(hoặc tại điểm x 0 ) và viết. x→xlim0 f(x) =l hoặc f(x)→l khi x→x 0
Nếu với một số dương ε cho trước bất kì, tồn tại một số dương δ sao cho
Định nghĩa 1.8: Giả sử X là tập hợp số thực và f là một hàm số xác định trên X Hàm f được coi là liên tục tại điểm x₀ ∈ X nếu với mọi số dương ε bất kỳ, tồn tại một số δ > 0 sao cho khi khoảng cách giữa x và x₀ nhỏ hơn δ, thì khoảng cách giữa f(x) và l nhỏ hơn ε.
(∀x∈X),|x−x 0 |< δ ⇒ |f(x)−f(x 0 )|< ε b) f liên tục trên tập hợp X nếu f liên tục tại mọi điểm x∈X
Hàm số f được coi là liên tục tại điểm x₀ nếu giới hạn khi x tiến gần x₀ của f(x) bằng f(x₀) Các hàm số sơ cấp đều là hàm liên tục trên tập xác định của chúng Theo định lý Bolzano - Cauchy, nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] và α nằm giữa f(a) và f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c trong [a, b] sao cho f(c) = α.
Nói cách khác, f lấy mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b).
Chứng minh Xem [4] Giả sử f(a)≤f(b) và α∈[a, b] Nếu f(a) = f(b) thì hiển nhiên định lí đúng Giả sử f(a)< α < f(b) Đặt
Vì a∈E nên E 6=∅ Lại có,E bị chặn trên bởi b nên nó có cận trên đúng hữu hạn. Đặt c= supE Ta chứng minh f(c) =α Thật vậy
• Nếuf(c)< α thì c6=b, do đóc < b Vìf liên tục tại cnên x→clim + f(x) = f(c)< α
Do đó, tồn tại một số dương δ sao cho c+δ ≤b và f(x)< α với mọix∈[c, c+δ]. Đặc biệt, f(c+δ)< α Do đó c+δ∈E Điều này vô lí vì clà một cận trên của E.
• Nếuf(c)> α thì c6=a, do đó c > a Vì f liên tục tại ccho nên lim x→c − f(x) = f(c)> α
Tồn tại một số dương δ sao cho c−δ≥a và f(x)> α với mọi x∈[c−δ, c] Vì c= supE, nên có x1 ∈E sao cho c−δ < x1 < c, dẫn đến f(x 1 )≤α Điều này tạo ra mâu thuẫn, do đó kết luận rằng f(c) =α.
Từ đây ta có hệ quả
Hệ quả 1.4 Giả sử f là một hàm số liên tục trên [a, b] Nếu f(a)f(b)0 ∀x∈R Xét 15x 2 + 44x+ 50 ta có
∆ = 44 2 −4.15.50 = 1936−3000 =−10640 ∀x∈R Còn với 13x 2 + 14x+ 4, ta có ∆ = 14 2 −4.13.4 = 196−208 =−120 ∀x∈R Từ đây suy ra x 2 (15x 2 + 44x+ 50) + (13x 2 + 14x+ 4)>0 ∀x∈Rhay f 0 (x)>0∀x∈R Cho nên f(x) là đồng biến trênR Lại có f
= 0 suy ra nghiệm duy nhất của phương trình làx=−2
3 Bài toán 2.10 Giải phương trình 27x 6 −x 3 −4x−2 = 0
Giải Đầu tiên, ta lập bảng các giá trị của f(x) = 27x 6 −x 3 −4x−2 bằng máy tính Casio
• BấmMODE 7 để mở chế độ bảng.
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là -10.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 10.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 1.
Máy tính cho ta có bảng sau x f(x) -10 27001038 -9 14349670 -8 7078430 -7 3176892 -6 1259950 -5 422018 -4 110670 -3 19720
Theo số liệu bảng, ta nhận thấy rằng f(−1)f(0) < 0 và f(0)f(1) < 0, điều này cho thấy nghiệm của phương trình nằm trong khoảng (−1,0) và (0,1) theo hệ quả của định lý Bolzano - Cauchy Tiếp theo, chúng ta sẽ tiến hành phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng chức năng dò nghiệm (SOLVE) trên máy tính Casio.
Để giải phương trình 27x^6 − x^3 − 4x − 2 = 0, sử dụng tính năng SHIFT → CALC để tìm nghiệm cho X Vì nghiệm nằm trong khoảng (−1,0) và (0,1), ta lần lượt nhập −0,5 và 0,5 vào phần Solve for X Kết quả thu được là x₁ ≈ −0,434258545 và x₂ ≈ 0,7675918792.
Gán x 1 =A, x 2 =B Nhập trong máy tính A+B, AB máy tính trả kết quả
A+B = 1 3 , AB = −1 3 Theo định lí Viète đảo, x 1 , x 2 là nghiệm của đa thức x 2 − 1 3 x− 1 3 Dùng phép chia đa thức 27x 6 −x 3 −4x−2cho x 2 − 1 3 x− 1 3 ta được kết quả là 27x 4 + 9x 3 + 12x 2 + 6x+ 6 Vậy
Vì đây là phương trình bậc bốn, ta lại áp dụng phương pháp ở trên Đầu tiên, ta lập bảng các giá trị củaf(x) = 9x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 2x+ 2 bằng máy tính Casio
• BấmMODE 7 để mở chế độ bảng.
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là -10.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 10.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 1.
Máy tính cho ta có bảng sau x f(x) -10 87382 -9 57170 -8 35570 -7 20764 -6 11150 -5 5342 -4 2170 -3 680 -2 134
Dựa vào số liệu trong bảng, chúng ta thấy tất cả các giá trị của f(x) đều dương Điều này cho thấy phương trình 9x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 2x + 2 = 0 không có nghiệm Để chứng minh điều này, chúng ta có thể thực hiện các bước tiếp theo.
Theo bảng trên, f(0) = 2 cho thấy 0 không phải là nghiệm của phương trình, do đó ta có x^2 > 0 với mọi x thuộc R Đối với đa thức 9x^2 + 3x + 1, ta tính được ∆ = 3^2 - 4*9*1 = 9 - 36 = -27 < 0, vì vậy 9x^2 + 3x + 1 > 0 với mọi x thuộc R Tương tự, với 3x^2 + 2x + 2, ta có ∆ = 2^2 - 4*3*2 = 4 - 24 = -20 < 0, dẫn đến 3x^2 + 2x + 2 > 0 với mọi x thuộc R Từ đó, ta suy ra x^2(9x^2 + 3x + 1) + (3x^2 + 2x + 2) > 0 với mọi x thuộc R.
Kết luận, nghiệm của phương trình làx 1 = 1 +√
13 6 Bài toán 2.11 Giải phương trình 5x 6 −16x 4 −33x 3 −40x 2 + 8 = 0
Giải Đầu tiên, ta lập bảng các giá trị củaf(x) = 5x 6 −16x 4 −33x 3 −40x 2 + 8 bằng máy tính Casio
• BấmMODE 7 để mở chế độ bảng.
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là -10.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 10.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 1.
Máy tính cho ta có bảng sau x f(x) -10 4869008 -9 2573054 -8 1259528 -7 559196 -6 218240 -5 71258 -4 17864 -3 2888
Dựa vào số liệu từ bảng, ta nhận thấy rằng f(−2)f(−1)0 ∀x∈R Suy ra phương trìnhx 4 +x 3 + 6x 2 + 7x+ 10 = 0 vô nghiệm Điều này kéo theo phương trình x 2 +x+ 3 = (x+ 1)√ x−1vô nghiệm.
Bài toán 2.15 Giải phương trình x 3 −x 2 −x−5 = (x+ 4)√ x+ 2 Giải Điều kiện của phương trình là x≥ −2 x 3 −x 2 −x−5≥0 Bình phương hai vế của phương trình ta được x 3 −x 2 −x−5 = (x+ 4)√ x+ 2
Xét phương trình bậc sáux 6 −2x 5 −x 4 −9x 3 +x 2 −22x−7 = 0 Đầu tiên, ta lập bảng các giá trị của f(x) = x 6 −2x 5 −x 4 −9x 3 +x 2 −22x−7 bằng máy tính Casio
• BấmMODE 7 để mở chế độ bảng.
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là -10.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 10.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 1.
Máy tính cho ta có bảng sau x f(x) -10 1199313 -9 649811 -8 328425 -7 152145 -6 63017 -5 22503 -4 6561 -3 1445
Dựa vào số liệu từ bảng, ta nhận thấy rằng f(−1)f(0) < 0 và f(3)f(4) < 0, do đó theo hệ quả của định lý Bolzano - Cauchy, nghiệm của phương trình nằm trong khoảng (−1,0) và (3,4) Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta sử dụng chức năng dò nghiệm (SOLVE) của máy tính Casio Nhập vào phương trình x^6 − 2x^5 − x^4 − 9x^3 + x^2 − 22x − 7 = 0, chọn SHIFT → CALC, và máy sẽ hiện lên Solve for X Với các khoảng nghiệm đã xác định, ta nhập lần lượt −0,5 và 3,5, từ đó thu được các kết quả x₁ ≈ −0,3027756377 và x₂ ≈ 3,302775638.
Gán x1 =A, x2 =B Nhập trong máy tính A+B, AB máy tính trả kết quả
Theo định lý Viète đảo, với A + B = 3 và AB = −1, nghiệm x₁ và x₂ của đa thức x² − 3x − 1 có thể được xác định Thực hiện phép chia đa thức x⁶ − 2x⁵ − x⁴ − 9x³ + x² − 22x − 7 cho x² − 3x − 1, ta nhận được kết quả x⁴ + x³ + 3x² + x + 7 Do đó, ta có thể viết lại x⁶ − 2x⁵ − x⁴ − 9x³ + x² − 22x − 7 dưới dạng tích (x² − 3x − 1)(x⁴ + x³ + 3x² + x + 7) Vì vậy, phương trình x⁶ − 2x⁵ − x⁴ − 9x³ + x² − 22x − 7 = 0 tương đương với tích này.
Từ đây suy ra x 2 −3x−1 = 0 hoặc x 4 +x 3 + 3x 2 +x+ 7 = 0
Vì đây là phương trình bậc bốn, ta lại áp dụng phương pháp ở trên Đầu tiên, ta lập bảng các giá trị củaf(x) =x 4 +x 3 + 3x 2 +x+ 7 bằng máy tính Casio
• BấmMODE 7 để mở chế độ bảng.
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là -10.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 10.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 1.
Máy tính cho ta có bảng sau x f(x) -10 9297 -9 6073 -8 3775 -7 2205 -6 1189 -5 577 -4 243
Dựa vào số liệu trong bảng, tất cả các giá trị của f(x) đều dương, cho thấy phương trình x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 7 = 0 không có nghiệm Để chứng minh điều này, ta có thể xem xét phương trình x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 7 = 0.
Dựa vào bảng trên, f(0) = 7 cho thấy 0 không phải là nghiệm của phương trình Do đó, ta có x^2 > 0 với ∀x ∈ R Xét biểu thức x^2 + x + 1, ta tính được ∆ = 1^2 - 4.1.1 = 1 - 4 = -3 < 0, từ đó suy ra x^2 + x + 1 > 0 với ∀x ∈ R Tương tự, với 2x^2 + x + 7, ta có ∆ = 1^2 - 4.2.7 = 1 - 56 = -55 < 0, dẫn đến 2x^2 + x + 7 > 0 với ∀x ∈ R Kết luận, x^2(x^2 + x + 1) + (2x^2 + x + 7) > 0 với ∀x ∈ R Vì vậy, phương trình x^4 + x^3 + 3x^2 + x + 7 = 0 không có nghiệm.
Kết luận, nghiệm của phương trình làx= 3 +√
13 2 Bài toán 2.16 Giải phương trình 2(x 2 + 2) = 5√ x 3 + 1
Giải Điều kiện của phương trình làx≥ −1 Bình phương hai vế của phương trình ta được
Xét phương trình bậc bốn 4x 4 −25x 3 + 16x 2 −9 = 0 Đầu tiên, ta lập bảng các giá trị củaf(x) = 4x 4 −25x 3 + 16x 2 −9bằng máy tính Casio
• BấmMODE 7 để mở chế độ bảng.
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là -10.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 10.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 1.
Máy tính cho ta có bảng sau x f(x) -10 66591 -9 45756 -8 30199 -7 18954 -6 11151 -5 6016 -4 2871 -3 1134 -2 319
Dựa vào số liệu từ bảng, ta nhận thấy rằng f(−1)f(0) < 0 và f(5)f(6) < 0 Theo hệ quả của định lý Bolzano - Cauchy, nghiệm của phương trình nằm trong khoảng (−1,0) và (5,6) Để tiếp tục, chúng ta sẽ phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng chức năng dò nghiệm (SOLVE) trên máy tính Casio.
Để giải phương trình 4x^4 − 25x^3 + 16x^2 − 9 = 0, bạn sử dụng chức năng SHIFT→CALC để hiện lên Solve for X Do nghiệm nằm trong khoảng (−1,0) và (5,6), bạn lần lượt nhập −0,5 và 5,5 vào phần Solve for X Kết quả thu được là x₁ ≈ −0,5413812651 và x₂ ≈ 5,541381265.
Gán x1 =A, x2 =B Nhập trong máy tính A+B, AB máy tính trả kết quả
A+B = 5, AB=−3 Theo định lí Viète đảo, x 1 , x 2 là nghiệm của đa thức x 2 −5x−3 Dùng phép chia đa thức 4x 4 −25x 3 + 16x 2 −9 chox 2 −5x−3 ta được kết quả là4x 2 −5x+ 3 Vậy
Từ đây suy ra x 2 −5x−3 = 0 hoặc
4x 2 −5x+ 3 = 0 vì ∆ = (−5) 2 −4.4.3 = 25−48 =−230 Do đó (∗)⇒x−5 = 0⇒x= 5 Kết hợp điều kiện ban đầu, ta nhận x= 5 làm nghiệm. Kết luận Nghiệm của phương trình là x= 5
Bài toán 2.19 Trường Cao đẳng sư phạm Tp Hồ Chí Minh - Đề thi tuyển sinh năm học 2007
Với bất phương trình x² - 2x + 3 > 0 và 2x² - 4x + 3 > 0, ta nhận thấy rằng cả hai đều đúng với mọi x thuộc R Do đó, chúng ta có thể bình phương hai vế để chuyển đổi thành phương trình bậc bốn và giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
Phân tích Casio Sử dụng công cụSHIFT → CALC với x= 1 ta được x= 1 Thay nghiệm vừa tìm được vào căn thức ta có
√ 2x 2 −4x+ 3 = 1 Vậy liên hợp cần tìm là (√
⇔ x=−1 hoặc x= 3 Kết luận Nghiệm của phương trình là x=−1, x= 1, x= 3
Bài toán 2.20 Giải phương trình x 2 −x−2 =√
Phân tích Casio Giống như bài trước, ta sử dụng công cụ SHIFT →CALC với x= 2 ta được x≈2,618033989 Thay nghiệm vừa tìm được vào căn thức ta có
Vậy liên hợp cần tìm là (x−1−√ x) và (x−2−√
3−x) Bài giải Điều kiện là x 2 −x−2≥0
2 Kết luận Nghiệm của phương trình là x= 3 +√
5 2 Bài toán 2.21 Giải phương trình x 2 −3x−2 = (x−1)√
Phân tích Casio Sử dụng công cụ SHIFT →CALC với x= 1 ta được x≈ −0,414213562 Thay nghiệm vừa tìm được vào căn thức ta được
√2x+ 1≈0,4142135624≈ −x Vậy liên hợp cần tìm là (√
2x+ 1 +x) Bài giải Điều kiện là
Kết luận Nghiệm của phương trình là x= 1−√
DÙNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ
Phương pháp sơ cấp
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách sử dụng phương pháp nhân liên hợp để giải hệ phương trình, một kỹ thuật đã được đề cập trong phần trước khi giải các phương trình vô tỉ Phương pháp này không chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình vô tỉ mà còn mang lại lợi ích lớn khi áp dụng cho các hệ phương trình.
Bài toán 3.1 Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2014
4x−5y−3Trước tiên, ta hãy xem đáp án trước
Vấn đề đặt ra là lý do tại sao phương trình đầu có thể phân tích thành nhân tử (1−y)(x−y−1) Chúng ta sẽ khám phá điều này trong phần Phân tích Casio Khi xem xét phương trình đầu và đặt x = 100, chúng ta sẽ có những kết quả cụ thể để phân tích.
100−y+ 98 + (y−99)√ y= 0 SHIFT → CALC với y = 100ta được nghiệm y= 1 Xét phương trình
Phương trình 100−y+ 98 + (y−99)√ y y−1 = 0 cho nghiệm y= 99 khi sử dụng SHIFT → CALC với y= 100 Do đó, phương trình có hai nghiệm y = 1 và y = 99, tương ứng với x = 100−1 Trong nhân tử (1−y)√ x−y đã có sẵn nhân tử (1−y), vì vậy để có nhân tử (x−y−1), ta cần sử dụng liên hợp (√ x−y−1) Tương tự, trong nhân tử (x−y−1)√ y đã có sẵn nhân tử (x−y−1), do đó để có nhân tử (y−1), ta sử dụng liên hợp (√ y−1) Điều kiện cần thiết là x≥2 và y≥0.
√x−y+ 1 >0 Vớiy= 1, thay vào phương trình sau ta được
⇔ x= 3 Với x=y+ 1, thay vào phương trình sau ta được
Ta sử dụng công cụMODE 7 để mở chế độ bảng với f(x) = 2x 2 + 3x−2−√
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là -3.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 1.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 0,5.
Máy tính cho ta có bảng sau x f(x)
Qua số liệu bảng trên, ta thấy f(−2,5)f(−2)0nên ta chia hai vế choy 2 ta được
4−x y Đặt t= x y phương trình trở thành
4−t Để giải phương trình trên, ta làm như sau
• Đầu tiên, bấmMODE 7 để mở chế độ bảng.
• Trong phần Start ta chọn điểm bắt đầu là 2.
• Trong phần End ta chọn điểm kết thúc là 4.
• Trong phần Step ta chọn bước nhảy là 0,5.
Máy tính cho ta có bảng sau
Qua số liệu bảng trên, ta nhận thấy phương trình có nghiệm t= 3 Thay nghiệm vừa tìm được vào căn thức
Vậy liên hợp cần tìm là (√ t−2−1)và (1−√
4−t) Từ đây, ta có lời giải như sau Điều kiện 2≤t≤4 Ta có
4−t >0 Do đó (*) suy rat = 3 hay x= 3y. Với x= 3y thay vào phương trình thứ nhất ta được
18y 2 −15y 2 −y 2 = 1 y >0 ⇒y = 1⇒x= 3 Kết luận Hệ có nghiệm duy nhất x= 3 y= 1
Bài toán 3.5 Giải hệ phương trình
Do đó ta có px+ 2y 2 +p x+y 2 + 1 =y+ 1 px+ 2y 2 −p x+y 2 + 1 =y−1
Trừ hai vế của hai phương trình ta được
2p x+y 2 + 1 = 2⇔p x+y 2 + 1 = 1⇔x+y 2 + 1 = 1⇔x=−y 2 ≤0 Thay vào phương trình thứ hai ta được q
Để giải phương trình vô tỉ (y^4 + 1) + 2(-y^2 + 1)√(y^4 + 1) = 4y^2, ta đặt y^2 = t ≥ 0, dẫn đến t^2 - 4t + 1 - 2(t - 1)√(t^2 + 1) = 0 Phương pháp nhân liên hợp được áp dụng để giải phương trình này Sử dụng công cụ SHIFT → CALC với t = 1, ta tìm được t ≈ 0,5773502692 Thay nghiệm vừa tìm được vào căn thức để tiếp tục giải quyết bài toán.
3 ≈2t Vậy liên hợp cần tạo ra là (2t−√ t 2 + 1)
Kết luận, nghiệm của hệ phương trình là
Phương pháp số
Phương pháp lặp đơn
Nội dung phương pháp (Xem [6])
Giả sử ta có hệ phương trình được viết lại dưới dạng
Hay dưới dạng vector x=g(x) trong đó,g(x)là hàm nbiến xác định trong miền đóngS ⊂R n và có các tính chất sau
• TrênS, ma trận Jacobi J(x) của g(x):J(x)
Khi đó thuật toán thực hiện như sau
Chọn xấp xỉ ban đầu x 0 ∈S tùy ý, dãy nghiệm xấp xỉ được tính bởi công thức x n+1 =g(x n ) hội tụ tới nghiệm duy nhất trong S.
Bài toán 3.6 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn x 3 −2x−y= 0 x+ 2y−y 3 = 0
Giải Ta biến đổi bài toán về dạng x=√ 3
Trong lân cận của điểm (1,1)thì ||J(x, y)||