Phương pháp chung • Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: fx=gx 1 y=f’x0x-x0+y0... Giá trị của tham số Điều kiện đủ: thay giá trị tham số tìm được ở đ/k
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1: CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Tìm k, điều kiện tiếp xúc : : f(x)=g(x) f(x)=k(x-x 0 )+y 0
có nghiệm suy ra x,k rồi viết được phương trình tiếp tuyến
- hoành độ của phương trình là nghiệm của phương trình f’(x)=0 (*)
- giải phương trình (*) tìm được hoành độ giao điểm => tung độ => bài toán trở về dạng 2
chú ý :
hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích hệ số góc bằng -1
hệ số góc của tiếp tuyến k=f’(x 0 ) |k|=tanϕ ( với ϕ là góc hợp giữa tiếp tuyến và trục hoành)
B CHỨNG MINH ĐỒ THỊ CÓ TÂM ĐỐI XỨNG
Để làm được bài này cần phải tìm được điểm uốn U(x u ,y u ) Sau đó chuyển từ hệ Oxy sang hệ UXY
ta có x=x u +X khi đó hàm số (C) trở thành y u +Y=a(x u +X) 3 +b (x u +X) 2 +c(x u +X)+d và ta giải pt này
y=y u +Y kết luận: hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ U của hệ UXY
Ta cần phải tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số nhất biến đã cho I(xi ,y i ) Sau đó chuyển từ hệ Oxy sang hệ IXY ta có x=x i +X
y=y i +Y sau đó thế x=x i +X, y=y i +Y vào pt nhất biến đã để trở thành Y=f(X)
kết luận đây là hàm số lẻ => đồ thị nhận điểm I làm tâm đối xứng
C PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG GIAO
1. Phương pháp chung
• Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: f(x)=g(x) (1)
y=f’(x0)(x-x0)+y0
Trang 2• Khảo sát nghiệm của pt (1) Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của (C1)và(C2)
• Chú ý * (1) vô nghiệm (C1)và (C2) không có điểm chung
*(1)có n nghiệm (C1)và (C2) có n điểm chung
* nghiệm x 0 của (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1)và (C2) Khi đó tung độ chung y 0 =f(x 0 ) hoặc y 0 =g(x 0 )
2 Xét phương trình y=ax3+bx2+cx+d (1)
a) Điều kiện để (1) có 1,2,3 nghiệm
• (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (fx) có cực đại, cực tiểu
y CĐ y CT <0
• (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (fx) có cực đại, cực tiểu
y CĐ y CT =0
• (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (fx) không có cực đại, cực tiểu
(fx) có cực đại, cực tiểu
y CĐ y CT >0
b) Điều kiện để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân
Điều kiện (1) có 3 nghiệm lập thành CSC:
Điều kiện cần: giả sử (1) có 3 nghiệm x 1 ,x 2 ,x 3 lập thành CSC khi đó x 2 = thế vào (1) => giá trị của tham số
Điều kiện đủ: thay giá trị tham số tìm được ở đ/k cần vào phương trình (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành CSC hay không.
Điều kiện (1) có 3 nghiệm lập thành CSN
Điều kiện cần: giả sử (1) có 3 nghiệm x 1 ,x 2 ,x 3 lập thành CSN khi đó x2= thế vào (1) = Giá trị của tham số
Điều kiện đủ: thay giá trị tham số tìm được ở đ/k cần vào phương trình (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành CSN hay không.
Chú ý: nếu a=1=> x 2 = => f(x 2 )=0 => c 3 =b 3 d (d#o)
Đặt t=x 2 đk t ta được phương trình g(t)=at 2 +bt+c=0 (*)
a) Điều kiện để (2) vô nghiệm, có 1,2,3,4 nghiệm
- (2) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm t1 t2<0
- (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm t 1 =0
t 2 <0
- (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm t 1 <0<t 2
- (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm t 1 =0
t 2 <0
- (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 0<t 1 <t 2
Trang 3(2) có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng (*) có 2 nghiệm 0<t 1 <t 2 t 1 t 2 >0
t 2 =9t 1 t 1 +t 2 >0
(3) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phân biệt
f(
Chú ý: trên đây chỉ là đ/k trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhẩm nghiệm để chuyển phương trình về dạng tích khi đó đ/k sẽ đơn giản hơn.
D HÀM SỐ CÓ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp chung
Để vẽ đồ thị của hàm số có dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: phá dấu giá trị tuyệt đối
− Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ
− Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ ( viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức)
Bước 2: vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục tọa độ)
2. Các kiến thức sử dụng
|A|=
• Một số tính chất của đồ thị
− Đồ thị hàm số y=f(x) và y= đối xứng nhau qua trục hoành Ox
− Đồ thị hàm số y=f(x) và y= đối xứng nhau qua trục tung Oy
− Đồ thị hàm số y=f(x) và y= đối xứng nhau qua gốc tọa độ
3. Bài toán tổng quát
Từ đồ thị (C) y=f(x) hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau C 1 : y=
C 2 : y=
C 3 : |y|=
• Dạng 1: từ đồ thị (C) y=f(x) rồi suy ra đồ thị ( C 1 ): y=
Bước 1 ta có ( C 1 ): y=
Bước 2 từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C 1 ) như sau:
− Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục ox do(1)
− Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox do(2)
− Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox
• Dạng 2: : từ đồ thị (C) y=f(x) rồi suy ra đồ thị ( C 2 ): y=
Bước 1: ta có ( C 1 ): y=
Bước 2 từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C 2 ) như sau:
− Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy do(1)
Trang 4− Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm bờn phải trục Oy do(2)
− Bỏ phần đồ thị (C) nằm phớa bờn trỏi trục Oy (nếu cú)
• Dạng 3: từ đồ thị (C) y=f(x) rồi suy ra đồ thị ( C 3 ):|y|=
Bước 1: : ta cú ( C 3 ):|y|= = Bước 2 từ đồ thị (C) cú thể suy ra đồ thị (C 3 ) như sau:
− Giữ nguyờn phần đồ thị (C) nằm phớa trờn trục ox do(1)
− Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) nằm phớa trờn trục Oxdo(2)
− Bỏ phần đồ thị (C) nằm phớa dưới trục Ox (nếu cú)
E PHƯƠNG PHÁP TèM ĐIỂM CỐ ĐỊNH(Cm) LUễN QUA
Vấn đề tìm điểm cố định của họ đờng cong Bài toán: Cho họ đờng cong (C m ) có phơng trình y = f(x,m) (x là biến số, m là tham số) Tìm điểm cố
định mà mọi (C m ) đều đi qua.
Phơng pháp:
Giả sử M o (x o ,y o ) là điểm cố định mà họ (C m ) đi qua với mọi m khi đó
y o =f(x o ,m) đúng với mọi m hay phơng trình ẩn m : y o - f(x o ,m) = 0 (1) luôn nghiệm đúng mọi m.
đưa phương trỡnh về ẩn m sau đú cho cỏc hệ số của phương trỡnh đều bằng 0.
Ví dụ: 1 Cho hàm số
3 ( 1) 2 2( 1) 2
(Cm) m là tham số a) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m thì đồ thị (Cm) của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm
cố định.
b) Chứng minh rằng mỗi đờng cong (Cm) tiếp xúc nhau tại một điểm.Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm đó.
Giải:
a Xét phơng trình x 3 + (m-1)x 2 - 2(m+1)x +m -2 -y =0
⇔ − + + − − − − =
Phương trỡnh nghiệm đỳng mọi m
2
3 2
4
y
− − − − = = −
KL: (Cm) luôn đi qua điểm cố định M(1,-4).
b.với m 1 khác m 2 2 đờng cong (Cm 1 ), (Cm 2 ) tiếp xúc nhau
có nghiệm
2
⇔ − − + − =
y=-4
Trang 5Vậy họ đờng cong luôn tiếp xúc nhau tại điểm (1,-4).Từ đó suy ra phơng trình tiếp tuyến chung của họ
đờng cong tại (1,-4)là y=-3(x-1)-4 hay y = -3x-7.
Chú ý: Ta thờng biến đổi (1) về phơng trình đa thức khi đó để phơng trình nghiệm đúng thì các hệ số phải đồng thời triệt tiêu.
Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm có k đờng cong đi qua thì (1) phải có k nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng minh họ đờng cong y = (1-2m)x 2 -(3m-1)x +5m – 2 (2) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m.
2
5 2
2 7 4
1 0
x y
x
y
−
⇔ − − + + + − − = ∀
=
=
⇔ + − − = ⇔ = =
ta có điều phải chứng minh.