GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ

HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN.. 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: a Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử x có đạo hàm trên khoảng a; b.. b Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử x có đạ

… KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ …

§1 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN.

1) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

a) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

 Nếu (x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì (x)  0 x(a; b)

 Nếu (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì (x) ≤ 0 x(a; b)

b) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

 Nếu (x) > 0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên khoảng (a; b)

 Nếu (x) < 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

 Nếu (x) = 0 x(a; b) thì (x) không đổi trên khoảng (a; b)

c) Điều kiện đủ mở rộng để hàm số đơn điệu: Giả sử (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

 Nếu (x)  0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên (a; b), (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

 Nếu (x) ≤ 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên (a; b), (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

d) Chú ý: Giả sử (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b)

 Nếu (x) > 0 x(a; b) thì (x) đồng biến trên đoạn [a; b]

 Nếu (x) < 0 x(a; b) thì (x) nghịch biến trên đoạn [a; b]

 Vd1 Chứng minh hàm số f x( )= 1 x 2 đồng biến trên đoạn [–1;0] và nghịch biến trên đoạn [0; 1] Giải: Hàm số xác định x[–1; 1] nên trên đoạn [–1; 0] và [0; 1] hàm số đã cho liên tục





< 0 x(0; 1) do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [0; 1]

2) QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

 Tìm tập xác định

 Tính đạo hàm (x) Tìm các điểm x i i( 1; 2;3 , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên i

 Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

 Vd2 Xét chiều biến thiên của hàm số y =

2

3

x x x

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; 1) và (5; +)

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (1; 3) và (3; 5)

 Vd3 Xét chiều biến thiên của hàm số 1 3 2 2 4 1

 Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (–; 2] và [2; +) nên đồng biến trên khoảng (–; +)

 Hàm số nghịch biến trên R khi f/( )x = 3(m – 2)x2– m  0 xR

 m = 2: f/( )x = –2 < 0 xR nên hàm số nghịch biến trên R



2

21

x x x



 ;

 Hướng dẫn:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (–; 3/2), nghịch biến trên khoảng (3/2; +)

b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–;–7) và (1; +), nghịch biến trên khoảng (–7; 1)

c) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–1; 0) và (1; +), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (0; 1) d) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2/3), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; 0) và (2/3; +)

e) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; 1) và (1; +)

f) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (–; 1) và (1; +)

11

x x





; f/( )x = 0  x = –1 hoặc x = 1 Theo bảng biến thiên ta có

hàm số đồng biến trên khoảng (–1; 1), nghịch biến trên mỗi khoảng (–; –1) và (1; +)

3) Chứng minh rằng:

2

x x

5) Tìm các giá trị của tham số a để hàm số f x( )= 1/3x3+ ax2+ 4x + 3 đồng biến trên R

a) Chứng minh sinx < x x > 0: Hiển nhiên x > sinx x  1.570796

b) f x( )= cosx +

2

2

x

– 1 xác định x R do đó liên tục trên nửa khoảng [0; +)

và f/( )x = x – sinx > 0 x > 0 (Ta đã chứng minh x – sinx > 0 x > 0) do đó hàm số đồng biến trên nửa

) cosx < 1  cosx > cos x2 và cos x2 + 12

cos x> 2) do đó hàm số đồng biến trên nửa

x + (m – 1)x2+ (m + 3)x + 4 đồng biến trên khoảng (0; 3)

e) y = x3– 3x2+ 3mx – 1 nghịch biến trên khoảng (0; 3);

f) y = –1

3

3

x + x2– (m – 3)x + 1 nghịch biến trên khoảng (2; +);

g) y = x3 + 3x2– mx – 4 đồng biến trên khoảng (–; 0)

 Nếu   0  m  4 thì g(x)  0 xR nên hàm số nghịch biến trên R

 Nếu  > 0  m < 4 thì g(x) = 0 có 2 nghiệm x x Khi đó Parabol g(x)  0 x(2; +) khi g(2)  0 1, 2

 3 – m  0  m  3 so sánh điều kiện, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +) khi 3  m < 4 g) D = R Để hàm số đồng biến trên khoảng (–; 0)  y = 3x26x m 0  x ( ;0)

Xét g x( )= 2

3x 6x m có  = 9 + 3m

 Nếu   0  m  –3 thì g x( ) 0 xR nên hàm số đồng biến trên R

 Nếu  > 0  m > –3 thì g x( ) có 2 nghiệm x x1, 2 Khi đó Parabol g(x)  0 x(–; 0) khi g(0)  0

 – m  0  m  0 so sánh điều kiện, ta có hàm số đồng biến trên khoảng (2; +) khi –3 < m  0 9) Cho hàm số y x3mx2m Tìm m để hàm số:

§ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

1) KHÁI NIỆM CỰC TRỊ:

a) Định nghĩa: Hàm số (x) xác định trên khoảng (a; b) và x0(a; b)

 Nếu tồn tại số h > 0 sao cho (x) < (x ) x(0 x – h; 0 x + h) và x ≠ 0 x thì (x) đạt cực đại tại 0 x 0

 Nếu tốn tại số h > 0 sao cho (x) > (x0) x(x0– h; x0+ h) và x ≠ x0 thì (x) đạt cực tiểu tại x0 b) Chú ý:

 Nếu (x) đạt cực tiểu tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

0

x thì yCT= (x ) và M(0 x ;(0 x )) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 0

 Nếu (x) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số Hàm số đạt cực đại tại điểm

0

x thì yCÑ= (x ) và M(0 x ;(0 x )) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số 0

 Điểm cực tiểu và điểm cực đại được gọi chung là điểm cực trị

2) ĐIỀU KIỆN CẦN & ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:

a) Điều kiện cần: Nếu hàm số (x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f/(x0)= 0 b) Điều kiện đủ 1: Hàm số y = (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên khoảng (a; x0), (x0; b) Khi đó:

 Nếu qua x0 đạo hàm f/( )x đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

 Nếu qua x0 đạo hàm f/( )x đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại x0

c) Điều kiện đủ 2: Hàm số (x) có đạo hàm cấp 1 trên (a; b), f/(x0)= 0 x0 (a; b) và f/ /( )x0  0

 Nếu f/ /( )x0 < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

 Nếu f/ /( )x0 > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

 Sắp xếp các x i theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên của hàm số

 Nếu f/( )x đổi dấu khi qua điểm x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

 Đạo hàm: y =

2

2

4 24

x x

 Nếu f/ /( )x i < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

 Nếu f/ /( )x i > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

 Vd3 Tìm cực trị của hàm số y = –x3 + 3x2 – 2

 Tập xác định: D = R

 Đạo hàm: y' = –3x2+ 6x; y'= 0  x = 0 hoặc x = 2

 Đạo hàm cấp hai: y = –6x + 6

 Vì y(0) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT= –2

 Vì y(2) = –6 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCÑ= 2

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, yCT= –3

, y = 0  x = –1 hoặc x = 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yCÑ= –2 đạt cực tiểu tại x = 1, yCT= 2

d) y = x5– x3– 2x + 1; e) y = x – sin2x + 2; f) y = 3 – 2cosx – cos2x;

 Hướng dẫn:

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, yCÑ= 1 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT= 0

b) y = 2cos2x – 1, y = 0  cos2x = 1

d) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yCT= –1 Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1, yCÑ= 3

e) y = 1 – 2cos2x, y = 0  cos2x = 1

f) y = 2sinx + 2sin2x, y = 0  (1 + 2cosx)sinx = 0  2  

23

; y = 2cosx + 4cos2x

 y(k) = 2cosk + 4cos2k = 2cosk + 4 > 0

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = k, yCT= 2 – 2cosk

5) Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y =

D y y

x + cx + d sao cho hàm số ƒ đạt cực tiểu tại điểm

x = 0, ƒ(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, ƒ(1) = 1

9) Tìm m để hàm số y = x3– 2mx2+ m2x – 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1

m m



m m

 



11) Tìm m để hàm số y = x4– 2m x2 2 + 1 có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân

 Hướng dẫn:

y = 4x3– 4m2x = 4x(x2– m2) Để hàm số có 3 cực trị khi PT 2

x – m2= 0 có hai nghiệm khác 0

 m ≠ 0 khi đó phương trình có 3 nghiệm là x = 0, x = –m, x = m và toạ độ 3 điểm cực trị là:

A(–m; 1 – m4), B(0; 1), C(m; 1 – m4) Tam giác ABC là vuông cân tại B khi:

Khi đó 3 điểm cực trị là A(0; m42m ), B(– m ; m4m22m ), C( m ; m4m22m)

ABC đều khi

 Hướng dẫn:

y  x  mx x x m y = 0  x = 0 hoặc x2 m Hàm số có 3 cực trị  m > 0 (*)

Gọi A(0; 2m24), (B  m m; 24), (C m m; 24) là 3 đỉnh của tam giác ứng 3 cực trị Ta có B và C đối xứng qua trục Oy và AOy nên ABC cân tại A Gọi AH là đường cao thì diện tích ABC là

14) Cho hàm số yx42mx22 có đồ thị (C m) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m) có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 9;

A, B, C, D có tâm I(x; y), khi đó ta có:

Điều trên chỉ xảy ra khi m  0 Kết luận: m  0 là kết quả cần tìm

19) y = x2– 2mx + m, hàm số có điểm cực đại x1, điểm cực tiểu x2 khi PT x2– 2mx + m = 0 có hai

nghiệm phân biệt x1, x2   = m2 – m > 0  0

1

m m

20) Cho hàm số yx33mx24m3 có đồ thị (C m) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (C m) có hai

điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng yx

Tập xác định D = R Đạo hàm y  3x26mx 3 (x x2 )m ; y = 0  x = 0 hoặc x = 2m

Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ( )d :x8y740 khi

yx  m x  m x có đồ thị (C m) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

(C m) có 2 điểm cực trị có hoành độ lớn hơn 1

 Hướng dẫn:

Tập xác định D = R Đạo hàm y 3x22(m3)x3(m1)

Gọi x x1, 2 là hoành độ hai điểm cực trị, để 1x1x2 khi Parabol g x( )3x22(m3)x3(m1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt lớn hơn 1 

30

§ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

3) QUY TẮC TÌM GTLN & GTNN TRÊN ĐOẠN [a; b]:

 Tìm các điểm x i(a; b) tại đó hàm số f x( )có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

Trên khoảng (0; 2), ta có y 3x23; y = 0  x = 1

y(0) = 3, y(2) = 5, y(1) = 1



 trên các đoạn [2; 4] và [–3; –2];

d) y = 5 4x trên đoạn [–1; 1];

 Hướng dẫn:

x x





, y = 0  x = 0; max

R y = 4

b) y = 12x2– 12x3= 12x2(1 – x); y = 0  x = 0 hoặc x = 1

Theo bảng biến thiên, ta có max

Tại x = 0 hàm số không có đạo hàm

Với x > 0: y = 1> 0; Với x < 0: y = –1 < 0

Theo bảng biến thiên, ta có min

Theo bảng biến thiên, ta có

(0;min y)

 = 4

4) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = sin4xcos4x; b) y = 2sin x2 + 2sinx – 1; c) y = cos 22 xsin cosx x4

 Hướng dẫn:

a) f x( )= (sin2xcos2x) – 2sin2xcos2x = 1 – 1 2

sin 2

2sin2x + 4 = –

2

sin 2x– 1

2sin2x + 5 Đặt t = sin2x (–1 t  1), ƒ(t) = – 2



+ 3

2 , ƒ(

56



) = 56

Theo bảng biến thiên, min ( )

R f x = 5 khi x = –1

Vậy khoảng cách AM ngắn nhất khi M ở vị trí M (–1; 1), A0 M = 0 5

7) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

x

yx e trên nửa khoảng ( 2;1] ; b) y2 xlnx trên nửa khoảng (0; ]e ;

c) y2 sinxcos 2x trên đoạn [0; ] ; d) y 3x 6x

Giải: y = 3 1

2

x x

x x



 ; d) y = 7

29

x x

x x

x

  

 Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 Đường thẳng y = –1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số



 

 = – 1

 Đường thẳng x = –1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 Đường thẳng y = –1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

c) Tiệm cận đứng x = 2

5, tiệm cận ngang y =

2

5 d) Tiệm cận đứng x = 0, tiệm cận ngang y = –1

 Đường thẳng y = 1

3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

j) Tiệm cận đứng x = –3 Tiệm cận ngang y = –2

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

 Nếu  = b23ac0 thì y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; x ) và (1 x ; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng (2 x1; x ) 2

 Hàm số đạt cực đại tại điểm x1 và yCÑ= y(x1) Hàm số đạt cực tiểu tại x2 và yCT= y(x2)

b  ac thì y = 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2

 Hàm số đồng biến trên khoảng (x x ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; 1; 2 x ) và (1 x ; +) 2

 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1 và yCT= y(x1) Hàm số đạt cực đại tại x2 và yCÑ= y(x2)



 Điểm uốn I x y 0; 0 với 0

3

b x

a

  ; y0  f x( 0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

 Điểm đặc biệt: x = 0  y = d…

 a > 0 đồ thị hướng đi lên từ trái sang phải;

a < 0 đồ thị hướng đi xuống từ trái sang phải

  0

 Các chú ý:

 Khi y = 0 có 2 nghiệm phân biệt lấy y chia cho y, ta được và y = r x + q + k(Ax + B)y với k là hằng

số khác 0, thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q

 Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn Cho M(C)

 Nếu M  I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M

 Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M

 Vd1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3+ 3x2

Giải:

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y'= 3x2+ 6x; y'= 0  x = 0, x = –2

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–; –2), (0; +) và nghịch biến trên khoảng (–2; 0)

 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –2, yCÑ= 4 và đạt cực tiểu tại điểm x = 0, yCT= 0

 Chiều biến thiên: y'= –3x2+ 6x, y'= 0  x = 0, x = 2

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) và nghịch biến trên mỗi khoảng (–; 0), (2; +)

 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCÑ= 2, đạt cực tiểu tại điểm x = 0, yCT= –2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm trùng phương: yax4bx2c (a0)

 a > 0 đồ thị hướng đi xuống từ trái sang phải rồi đi lên;

a < 0 đồ thị hướng đi lên từ trái sang phải rồi đi xuống

 Các chú ý:

 Hàm số có cực trị với mọi giá trị của tham số khi a  0

 Hàm số có cực đại, cực tiểu  y = 0 có 3 nghiệm phân biệt  a.b < 0

 Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu khi a > 0 và b < 0

 Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu khi a < 0 và b > 0

0

02





  

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên mỗi khoảng (–∞; –1), (0; 1)

 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yC§= 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = –1 và x = 1, yCT= –1

 Hàm số đã cho là chẵn nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

 Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm x = ± 2

 Vd2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = –x4+ 2x2+ 3





Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; –1), (0; 1) và nghịch biến trên mỗi khoảng (–1;0), (1;+∞)

 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yC§= 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT= 3

 Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm x = ± 3

 Vd3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = –x4– 2x2+ 1

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: y'= –4x3– 4x = –4x(x2+ 1); y'= 0  x 0

Hàm số đồng biến trên khoảng (–∞; 0)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

 ; y = 0

ad – bc > 0 ad – bc < 0

4 2

 Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2) Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0)

 Giao điểm của hai đường tiệm cận I(–1; –1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

 Vd2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2

x x

 Đồ thị:

 Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; –2) Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0)

 Giao điểm của hai đường tiệm cận I(–1

x x

 



  

Hàm số đồng biến trên khoảng (–; –3), (–1; +) và nghịch biến trên khoảng (–3; –2), (–2; –1)

 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –3, yCÑ= –7 và đạt cực tiểu tại điểm x = –1, yCT= 1

 Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2) Đồ thị không cắt trục hoành

 Giao điểm của hai đường tiệm cận I(–2; –3) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

 Vd2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x – 2

 Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2) Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (–1; 0) và (2; 0)

 Giao điểm của hai đường tiệm cận I(1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số