TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.. Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số.. Chú ý: Trong trường hợp phương trình y’ = 0 vơ nghiệm, tức là hàm số luơn đồng biến hoặc nghịch biến, ta cĩ thể b
Trang 1
1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp:
Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Tính đạo hàm y’
Bước 3: Giải phương trình y’=0
Bước 4: Tính các giới hạn ( nếu cần)
Bước 5: Lập bảng biến thiên của hàm số Từ đĩ, đưa ra kết luận
Chú ý: Trong trường hợp phương trình y’ = 0 vơ nghiệm, tức là hàm số luơn đồng biến hoặc nghịch biến, ta cĩ thể bỏ
qua bước 5 ( lập bảng biến thiên )
Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số (C ): y = 2x3 -3x2 + 1
a Khảo sát sự biến thiên của (C ) ?
b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 2x3 -3x2 –m = 0 (1)
Hướng dẫn:
a/ - Miền xác định: D = IR
- Đạo hàm: y’ = 6x2 – 6x , Giải phương trình: y’=0 <=> 6x2 – 6x = 0 < = > x=0 v x= 1 ( nhận)
-Giới hạn:
xlim
- Bảng biến thiên:
Vậy: * Hàm số đồng biến trên các khoảng (;0) và (1; )
* Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)
b/ Viết lại phương trình dưới dạng: 2x3 -3x2 + 1 = m +1
Khi đĩ , số nghiệm của phương trình bang số giao điểm của (C ) với đường thẳng (d): y = m +1
Dựa vào bảng biến thiên ta nhận được kết luận:
* Với m + 1 < 0 m < -1: Phương trình (1) cĩ một nghiệm
*Với m +1 = 0 m =-1: Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt
* Với 0<m+1<1 -1<m<0: Phương trình (1) cĩ ba nghiệm phân biệt
* Với m+1 = 1 m = 0: Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt
* Với m +1 >1 m > 0: Phương trình (1) cĩ một nghiệm
Áp dụng: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x- (m2 -1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt với hồnh độ dương
Giải
Miền xác định: D=IR , y’=3x2 -6m x +3(m2-1 )
Δ’ = m2 - m2+ 1 = 1 > 0 , với mọi m
y’=0 xm a x = m -1, xm i n = m +1
Để phương trình(1) cĩ 3 nghiệm dương phân biệt khi và khi:
0 ) 1 (
0 1 , 0 1
0 ) 1 2 )(
3 )(
1 (
0
0 ,
0
0 ,
0 '
2
2 2
2
min max
min max
m m
m m
m m m
m
d a
x x
y y
Trang 2Ví dụ 2:Cho hàm số y x 3
có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai
điểm phân biệt
Giải:
1/ - TXĐ D=R\ 2
)
2
(
1
x
y >0 với mọi x D
- TCĐ x=2 vì
lim
; lim
x x
y y
- TCN y= 1 vì lim 1
x y
- Bảng biến thiên:
x=0 => y=3/2
y=0 => x=3
2/ Phương trình hoành độ của (C ) và đường thẳng y mx 1 :
x 3 mx 1 g(x) mx2 2mx 1 0 , x 1
x 2
(1)
Để (C ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0 2 0 0 2 ; g m m m
0 1 1 0 0 m m m m0m1 Áp dụng: Cho hàm số y 1x4 2x2 4 có đồ thị (C) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2 Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa y '' x 0 1 Giải: a/ 1 4 2 y x 2x 4 , TXĐ: D R , y ' x3 4x, 3 x 0 y 0 y ' 0 x 4x 0 x 2 y 4 - Giới hạn: x lim y ; x lim y Bảng biến thiên x −∞ −2 0 2 +∞
y' + 0 − 0 + 0 −
y 4 4
−∞ 0 −∞
*Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞;−2) và (0;2) *Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−2;0) và (2;+∞) *Hàm số đạt cực đại tại x 2, yCĐ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 0 *Điểm đặc biệt: 2;0 ; 2;0 b/Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 thỏa y '' x 0 1 3 y ' x 4x, 2 y '' 3x 4 2 7 x 1 y 4 y '' 0 x 1 7 x 1 y 4 1
2
Pttt:
4
2
x y
-2
Trang 3
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Bước 1: Tìm TXĐ
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Giải phương trình y’ = 0
Bước 4: Lựa chọn một trong 2 hướng
Hướng 1: Nếu xét dấu được y’ thì lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận vào định lý: Định lý i: Nếu hàm số y=f(x) cĩ đạo hàm trong khoảng (a;b) và y’(x0) = 0 với x0 thuộc (a;b)
a Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại xo
b Nếu qua x0 đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại x0
Hướng 2: Nếu khơng xét dấu được y’ thì :
Tìm đạo hàm bậc hai y’’
Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý:
Định lý ii: Nếu hàm số y=f(x) cĩ đạo hàm trong khoảng (a;b) và y’(x0) = 0 với x0 thuộc (a;b)
a Nếu y’’(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0
b Nếy y’’(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu đại điểm x0
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số 2
8 x
y
Cách 1:
Ta cĩ điều kiện: => D= [ ; ] Đạo hàm:
y’=
y’=0 => x =
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = và đạt cực đại của hàm số là f( ) =
Cách 2:
Ta cĩ điều kiện: => D= [ ; ] Đạo hàm:
y’=
y’=0 => x =
Ta cĩ: y’’ = => y’’(0) < 0
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = và giá trị cực đại của hàm số là f( 0) =
Trang 4***_-_***
QUY TẮC QUAN TRỌNG TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài tập áp dụng:
1 Tìm cực trị, nếu có, của hàm số:
Y = (1+cosx).sinx
2 Tìm cực trị, nếu có, của hàm số:
2
3 2 cos sin
y
Đáp án:
1
- Miền xác định: D=
- Đạo hàm: y’ =
y’’=
* y’=0
Ta có:
Với x = ta nhận được: y’’( ) = 0
=> x= không phải là điểm cực trị của hàm số
Với x = ta nhận được: y’’ ( ) < 0
=> Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = , k thuộc Z
Với x = , ta nhận được: y’’( ) > 0
=> Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = , k thuộc Z
BIÊN SOẠN: PHẠM VĂN TUẤN
THPT TÂN HIỆP – CHÂU THÀNH- TIỀN GIANG
1 Hàm số có cực trị hệ sau có nghiệm thuộc D
0 '
0 '
y y
2.Hàm số đạt cực tiểu hệ sau có nghiệm thuộc D
0 '
0 '
y y
3.Hàm số có cực đại hệ sau có nghiệm thuộc D
0 '
0 '
y y
4 Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là:
0 ) ( ' 0
0 0
x y
han toi điêi là x
D x
5 Hàm số đạt cực đại tại x0 điều kiện là:
0 ) ( ' 0
0 0
x y
han toi điêi là x
D x
Ngoài ra, với hàm đa thức y = f(x) thì điều kiện để
“Hàm số đạt cuực trị tại điểm x0” là
0 ) ( '
0 ) ( '
0
0
x y x y
