Chuong 3: Tich Phan

Tích phân bất định : a Định nghĩa : Dạng tổng quát của nguyên hàm của fx trên khoảng a,b, kí hiệu là ∫ fxdx , được gọi là tích phân bất định của hàm fx trên khoảng đó... Tích phân hàm

Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

3.1 Tích phân bất định

3.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định :

1 Nguyên hàm :

a) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b)

⇔ F(x) = f(x) , ∀x ∈ (a,b)

b) Định Lý 1 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên khoảng đó c) Định Lý 2 :

• Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) thì F(x) + C ( C : hằng số) cũng là nguyên hàm của f(x)

• Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C

2 Tích phân bất định :

a) Định nghĩa : Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí hiệu là

∫ f(x)dx , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó

∫ f(x)dx = F(x) +C b) Tính chất cơ bản :

• ∫[f(x)+g(x)]dx=∫ f(x)dx+∫g(x)dx

• ∫kf(x)dx=k∫ f(x)dx (k : hằng số )

3 Bảng tích phân :

(2) ∫1dx=x+C (8) ∫cosxdx=sinx+C

+

x

dx

+

=

∫cos2

x

dx

+

=

x

dx

+

−

=

sin2

a

a dx

a

x

x = +

x

dx

+

=

−

(6) ∫e x dx=e x +C (12) arctgx C

x

+

Ví Dụ :

x x

1

5 4 cos 3

+

− +

∫

x x x

x

c) I = ∫(x+1)3dx

3.1.2 Các phương pháp tính tích phân :

1 Phương pháp đổi biến số :

∫ f(x)dx = ∫g )(u du= G [u(x)] + C

Ví Dụ 1 : I = ∫sin4 x cos xdx

Ví Dụ 2 : I = ∫xlndx3 x

Ví Dụ 3 : I = ∫tgxdx

x a

dx I

2

a

dx I

2 Phương pháp tích phân từng phần :

∫udv = uv - ∫vdu

Ví Dụ 1 : I = ∫xe x dx

Ví Dụ 2 : I = ∫x ln2 xdx

Ví Dụ 3 : I = ∫e xsinxdx

Ghi chú :

n ∫P(x)e ax dx,∫P(x)sinaxdx,∫P(x)cosaxdx

o ∫P(x)lnxdx,∫P(x)arcsinxdx,∫P(x)arctgxdx

Ví Dụ : I = ∫(2x+1)sin3xdx , I =∫xarctgxdx

3.1.3 Tích phân một số hàm đặc biệt :

1 Tích phân hàm hữu tỉ :

f(x) =

) (

) (

x Q

x P

• f(x) là phân thức thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

• Lúc nào ta cũng có thể đưa hàm hữu tỉ về dạng một đa thức cộng với một phân thức thật sự bằng cách chia đa thức

• Ví Dụ 1 : I = ∫x2 −4x+4

dx

• Ví Dụ 2 : I = ∫x2 +2x+4

dx

• Ví Dụ 3 : I = ∫x2 −4x+6

dx

• Ví Dụ 4 : I = dx

x x

x

∫ 23+2+2+5

2 Tích phân hàm lượng giác :

a) Dạng ∫R(cosx,sinx)dx trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx

Phương pháp chung : Đặt t =

2

x

1

2

t

dt dx

+

=

⇒

Khi đó : sin x = 2

1

2

t

t

2

1

2 ,

1

1

t

t tgx t

t

−

= +

−

Ví Dụ : I = ∫sin x dx+1

b) Dạng ∫cosaxcosbxdx,∫sinaxsinbxdx,∫cosaxsinbxdx

Biến đổi tích thành tổng :

Nhớ công thức : cos∝cos β = [cos( ) cos( )]

2

1 α +β + α −β

2

1 α +β − α −β

2

1 α +β + α−β

Ví Dụ : I = ∫sinxcos3xdx,I =∫cos4xcos7xdx

c) Dạng ∫sinn xdx,∫cosn xdx

Phương pháp : • n lẻ : Đặt t = cosx hoặc sin x

• n chẵn : Dùng công thức hạ bậc

cos2x =

2

2 cos 1 sin , 2

2 cos

x

+

Ví Dụ : I = ∫sin5 xdx I = ∫cos4 xdx

3 Tích phân hàm vô tỉ :

Dạng :

a) ∫R(x, a2 −x2)dx Đặt x = asint

b) R(x, a2 x2)dx

c) R(x, x2 a2)dx

t

a

cos

x

x a

∫ 2 − 2 I = ∫ −x2 +4x+5dx

3.2 Tích phân xác định :

3.2.1 Khái niệm về tích phân xác định :

1 Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b]

• Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : xo = a <x1 < x2 <… <xn=b

• Trên mỗi đoạn nhỏ [xi-1,xi] ta chọn điểm ξi tùy ý

• Lập tổng tích phân In = ( )( 1)

1

−

=

−

n

i

i x x

f ξ

• Nếu n

d I

0

lim

→ tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và các cách chọn điểm ξi

thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b]

a f x dx d I

0

lim )

( ( d =max (xi-xi-1) với 1 ≤ i ≤ n )

Ghi chú :

• Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b]

• In : tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b]

• [a,b] : đoạn lấy tích phân ; a: cận dưới, b: cận trên

• ∫b

a : dấu tích phân xác định, f(x) : hàm số dưới dấu tích phân

• Quy ước :

™ Cho f(x) xác định tại a, ta có ∫a ( ) =0

b f x dx

™ Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và a < b , ta có :∫b a f(x)dx = - ∫a b f(x)dx

™ Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân

∫b f(x)dx=∫b f(t)dt=∫b f(u)du

2 Các tính chất :

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

(2)∫ = ∫b

a

b

a

dx x f k dx x

kf( ) ( ) ( k : hằng số )

c

c

a

b

a

dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( ) với c ∈[ ]a, b

(4) b dx b a

a = −

∫

(5) Nếu f(x) ≤ g(x) , ∀x ∈ [a,b] thì ∫b

a f(x)dx ≤ ∫b

a g )(x dx

(6) Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a,b] thì : m(b-a) ≤ ∫a b f(x)dx ≤ M(b-a)

3 Định lý cơ bản ( Newton-Leibnitz ):

Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì :

) ( ) ( )

(x dx F b F a f

b

∫

Ví Dụ : a) I = ∫−

2 1

2dx

6 2

cos

π π

x

dx

c) I = ∫2 −x dx

x

x

e

∫1

2

ln

3.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định :

1 Phương pháp đổi biến số :

∫b

a f(x)dx = ∫ ((b)) ( )

a g u du

ϕ

ϕ với u = ϕ(x)

x

x

∫3 +

1

1

Ví Dụ 2 : Tính I = ∫e x −dx x

2 Phương pháp tích phân từng phần :

∫b = −∫

a

b a

b

a vdu uv

udv [ ]

Ví Dụ 1 : Tính I = ∫1 −

0xe x dx

Ví Dụ 2 : Tính I = ∫03xarctgxdx

3.2.3 Ứng dụng tích phân xác định :

1 Tính diện tích hình phẳng :

S = ∫b −

a f(x) g(x)dx

Ví Dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a y = 4x – x2 và trục Ox

b y = - x và y = 2x – x2

2 Tính thể tích vật thể tròn xoay :

V = π∫a b y2dx

Ví Dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi

các đường :

a y =

2

2

x

, x = 0 , x = 2 và trục Ox

b y = sinx , x = 0 , x =

2

π

và trục Ox