Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chương 3 Tích phân Mặt

Chương 3: TÍCH PHÂN MẶT... - Gọi diện tích và đường kính của mặt thứ i lần lượt là... CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶTI.. Di chuyển pháp vector của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy

Chương 3:

TÍCH PHÂN MẶT

- Định nghĩa

- Tính chất

- Phương pháp tính

- Các ví dụ

- Định nghĩa

- Tính chất

- Phương pháp tính

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

3.1 Định nghĩa:

- Xét hàm xác định trên mặt cong S

- Chia S thành n mặt con không chồng lên nhau.

- Gọi diện tích và đường kính của mặt thứ i lần lượt là

y x f

I ( , , )

3.2 Tính chất: (tương tự tích phân đường)

- Nếu f, g khả tích trên S thì kf+g cũng khả tích trên S:

- Nếu S được chia thành 2 phần S = S1 + S2 thì:

3.3 Cách tính:

a/ Trường hợp S có pt

theo nguyên tắc: dựa vào pt của mặt cong lấy tích phân

Giả sử S có hình chiếu lên mp Oxy là và diện tích của

Dxy là khác 0

Khi đó

b/ Trường hợp S có pt

tương tự, ta có:

(chiếu S lên Oxy)

(chiếu S lên Oyz)

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

) ,

( y x z

y

z y

x z y x f

I [ , , ( , )] 1 ( ' )2 ( ' )2

) ,

( z y x

x 



yz D

z

x z

y z

y x f

I [ ( , ), , )] 1 ( ' )2 ( ' )2

( z x y

y 



xz D

z

y z

z x y x f

I [ , ( , ), ] 1 ( ' )2 ( ' )2

3.4 Ví dụ:

a Vd 1: Tính với S là phần mặt nón

nằm dưới mp Hình chiếu của S xuống mp Oxy là

 prj S x y

Dxy Oxy

2 2

2 2

2

2 '

y x

x y

2 2

2

2 '

y x

y y

2 2

2

2 2

2

2 2

1

y x

dxdy y

x

y y

x

x y

x I

2 2

) 2

(

y x

dxdy y

2 3

8





Do S là 6 mặt của hình lập phương,

nhưng xyz = 0 trên 3 mặt nằm trên 3 mặt

phẳng tọa độ (xy, yz, xz) nên ta chỉ cần

tích phân trên các mặt (a), (b), (c) trên

1 4

   

3 4

I 

x

I 2 2

42

2 2





 y z x

Dxy  Oxy

2 2

z    

Suy ra và

đặt

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

2 2

4

'

y x

4

'

y x

dxdy y

x y

x

x I

2 / 3

4

4

cos

rdr r

r d

0 1 sin 2

cos 2

02



dt   

t

r  2 sin

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

I Khái niệm

2 Mặt hai phía.

Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C.

Di chuyển pháp vector của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy ý không cắt biên C Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, pháp vector không đổi chiều thì mặt cong S được gọi

là mặt hai phía

Trong trường hợp ngược lại ,pháp vector đổi chiều thì mặt cong S được gọi là mặt một phía

- Đối với nửa mặt cầu trên : Hướng

chứa (M) là hướng dương.

- Ngược lại là hướng âm.

CHÚ Ý : pháp vector của mặt định hướng luôn được chọn theo quy tắc sau:

Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp vector đi từ chân lên đầu.

Được gọi là tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R

trên mặt định hướng S Tích phân trên được kí hiệu:

Tính chất : Tính phân đổi dấu khi ta đổi hướng của mặt Oxy

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II Tích phân mặt loại hai.

Phương pháp tính: Việc tính tích phân mặt loại hai được đưa về tính tích phân kép theo biến số phụ thuộc vào phương trình mặt cong lấy tích phân và hướng mặt cong.

Khi z=z(x, y)

D: Hình chiếu của S xuống mặt phẳng

2 2

2 2

z

a z

y x





xy D

dxdy y

x a

2 2

2

z

a y

x

Dxy

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II Tích phân mặt loại hai.

TH2: S là mặt cầu: x2 + y2 + z2 = a2 (a>0) lấy theo

phía ngoài.

Lúc này , ta gọi là nửa mặt cầu trên , ứng với z > 0

là nửa mặt cầu dưới , ứng với z < 0

a

2 2

2

z

a y

x

D xy

x a

dxdy y

dxdy y

a

d

0

2 2

dxdz y

2 2

2 2

z

a z

y x

2 2

2 2

x z

a z

y x

( n Ox





CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II Tích phân mặt loại hai.

Hình chiếu của S1 và S2 lên mp Oyz là

2 2

2 2

x z

a z

y x

y a

dydz z

y a

dydz y

I

I   

I3 2

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II Tích phân mặt loại hai.

Công thức Gauss – Ostrogradski

Pdydz I

yzdydz I

O A

B

C

0 )

0 0

x z

z

R ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' ) (

) 3

( )

2 ( )

(

C

dz z

x dy

y z

dx x

y I

2 2

2 2

z

a z

y x

2 2

2

z

a y

y z

Q

x y

P

3 2

dxdy 2 3

3 2

D D

2 3

Cảm ơn cô và các bạn đã theo dõi ^^