Tìm nguyên hàm:... b Tìm họ nguyên hàm của fx.
Trang 1Câu 1 Tìm nguyên hàm sau:
a)
3 1
x
x
3
( x x )(1 x )
dx x
c)
1 sin x cos x dx
d) cot2x dx
ĐA: a) 12
2.
x
x
13 7
13 x 6 x C c) tanx - cotx +C d) – cotx– x + C
Câu 2 Tìm nguyên hàm:
a) I c os2xdx; b) s in xdx2 ; c) sin( 4 ) x dx d) 2
( 3)
x
x x
ĐA : a) 1 s in2x +C
2
sin 2
2 x 4 x C c)
1 os4x+C
I x x C
Câu 3 Tìm nguyên hàm sau:
a)
2 2
1
x
2 x
x
3 2
3 4 os os
c x dx
c x
Đáp án: a) 1 2x 2 x4; b) x - cosx +C; c) tanx - 4sinx +C
Câu 4 Tìm nguyên hàm sau:
1
xdx
x
x dx
Đáp án : a) 1 ln 2 1
3
2
9 x C
Câu 5 Tìm nguyên hàm sau: a)
s inx.cosx
dx
s inx
dx
2 1
xdx I
x
Đáp án : a) ln tan x C b) ln tan
2
x C
c) I 1 x2 C
Câu 6 Tìm a)
4
dx
e e
2 2 1
x x
e
e
4 os2x
x
c
d)
3 sinx - cosx
dx
tan
Đáp án: a) 1 2
ln
x x
e
C e
; b)
2 ln(1 x)
I e C ; c)
1 ln(4 os2x)+C 2
I c
d) 1
ln
x
I tg C
Câu 7 Tìm nguyên hàm của hàm số sau theo phép biến đổi tương ứng:
a)
2
2 x 1
dx
x
dx
( u x2 2 x 5) c) x e 3x2dx (u = - 3x2)
d)
1
x
x
e
dx e
(u=1+ex) e) s inx
1-cosx dx
(u = 1 - cosx) f)
3
ln x dx x
(u=lnx)
Trang 2Đáp án: a) 2 x2 x C b) 2 1
2( x 2 x 5) C
2
3 6
x
e
C
d) ln(1+ex) + C
e) ln|1-cosx| + C f) 3 (ln )2
Câu 8 Tìm nguyên hàm sau bằng phép đổi biến số:
a)
2 (ln )
dx
x x
dx x
; c) s in3xc osxdx
Đáp án : a) 1
ln x C
b) 2sin x C c) 1 sin4
4 x C
Câu 9 Sử dụng các phép biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm sau:
a) x x 3 dx b) x2 x 1 dx c)
3
2 2 ( 1)
x dx
x
s inx - cosx
dx
Đáp án : a)
2
7 x 5 x 3 x C
ln(1 )
1
ln tan
2
x
C
Câu 10 Tính nguyên hàm:
a) x e dx x b) 2
sin 3
x
c) exln ex 1 dx d)
2
5 x
x e dx
Đáp án : a) x e x ex C b) 1 2
(2sin 3 3 os3 ) 13
x
c) ( ex 1) ln( ex 1) 1 C d) 1 2 4 2
2
x
e x x C
Câu 11 Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
a) xc os3 xdx ; b) x3ln xdx c) y ln ydy d) x e dx2 x
sin
x dx x
cos sin
dx x
Đáp án : a) 1 sin 3 1 os3
3 x x 9 c x C b) 1 4ln 1 4
4 x x 16 x C
c)
ln
3 y y 9 y C
d) xex ex C e) x cot x ln sin x C f) s inx x ln tan 2 x C
Câu 12 Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong mỗi trường hợp sau:
a) F(x) = sin x
x và f(x) =
b) F(x) = lnx x và f(x) = lnx x
Câu 13 Tìm: a) 5x43cosx7dx; b)
2
2
3 5x x x
Đáp án : a) x53sinx7xC b)
3
9 5
4
x x x C
Trang 3Câu 14 a) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin4x.cosx biết F 2
b) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x.tanx thỏa mãn F 3
Tính F
4
Đáp án : a) F(x) = 1 os5x-1 os3x+26
Câu 15 Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 4 sinx2x1 osxc và f x dx( ) ax+bcox+C
Đáp án : f(x) = 2 cosx2x1 s inx
Câu 16 Cho 4ab0 Xác định hai số a và b biết F(x) = ax+b
4
x là nguyên hàm của hàm số f(x) và ta có 2f2
x (F(x) 1)f’ x Đáp số: a = 1 và b tùy ý
Câu 17 Tìm a) cos3xcosxdx b) cos2xtan2xdx c) 2 1
3 4dx
x x
x x
Đáp án : a) 1 sin 4 sin 2
sin 2
t anx+x+
2
x
c) 1ln 1
x x
2
Câu 18 Cho hàm số f(x) =
2 2
a) Tìm A, B, C sao cho: f(x) =
x
b) Tìm họ nguyên hàm của f(x)
Đáp án: a) A = 7 , B = 12 , C = 13 b) ( ) 7 12 ln 1 13ln 2
1
x
Câu 19 Cho hàm số f(x) = asinx+bcosx
c sinxd cosx
a) Xác định các số A, B để f(x) = A + B cos sin
asinx+bcosx sin cos dx
c xd x
Đáp án : a) A = ac2 bd2
; B = 2 2
bc ad
b) A x Bln sin c xdcosx C
Câu 20 Tìm a) e x34x dx2 b) 6
ln
dx
c)x x 1n dx d)
7
x dx
x
ĐA: a) 1 3 4
3
x
e C; b) 15
5 ln x
C; c)1 1 1 1 1
1
4 x 4 x C
3 2
xdx x
Đáp án : a) I = 1 4 4
6 x x C; b) J = 2 2
3
3 2
2 3
x
x
C
Câu 22 Tìm a) cot xdx b) sin5xcos2dx c) 1
sinx dx
d)
os2x
s inx+cosx+3
c
dx
Trang 4Đáp án : a) ln s inx C b) 1 os7 2 os5 1 os3
7c x 5c x 3c x
c) 1ln osx-1
c
2 s inx+cosx+3 3 s inx+cosx+3
Câu 23 Tìm a) x2cosxdx b)xe x2dx c) 2
sin
x dx x
d)xlnx1dx
Đáp án : a) x 2 s inx+cosx + C; b) xe x2e x2 C; c) x.cot x + ln |sin x| + C;
1
x
Câu 24 Tìm a) x c2 osx.dx b) 2
x
x x e dx
c) e xs inx.dx d) 2
1 ln
x x dx
Đáp án : a) x2s inx+2xcosx-2sinx+C.; b) 2
x
e x x C; c)1 s inx-cosx
2
x
d)
2
C
Câu 25 Tìm họ nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số sau:
a) f(x) = sin 2xcos 22 x b) f(x) = 2 4 2 2 cot2
sin xcos x x
Đáp án : a) F(x) = 1 cos 2 sin 4
x
x x
C; b) F(x) 4 tanx2 cotx2x+ C
Câu 26 Tìm a) I = x3 3sin 3x 56 dx
x
b) J = 1 2 x 132 3 9 dx
Đáp án : a)
4
5
1 sin 3 4
x
x x
3
Câu 27 Tìm nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số sau:
a) f(x) = sin5x.cosx biết F 2 b) f(x) =1 os2x
1 os2x
c c
Đáp án : a) F(x) = 1 cos 6 cos 4 53
Câu 28.
a) Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 1
3x 2x
x
thỏa mãn F(4) = 50 Tính F(2) b) Cho hàm số f(x) =
1 s inxcosx
xc x
Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(0) =f’(0)
Đáp án : a) F(x) = x3x22 x F(2) = 2 2 2 2 b) F(x) = sinx – cosx + 2
sin xcos x dx
sin osx
x dx
x c
2 2
9
x dx
x
d)
4 3
2
x dx
x x
Đáp số: a) 5 3 sin 4
x
x C b) cosxsinx C
x
Trang 5Câu 30 Cho hàm số f(x) = 2 1
x x a) Tìm A, B sao cho: f(x) = 1 5
x x b) Tìm họ nguyên hàm của f(x)
Đáp án : a) A = 1
6
, B = 1
6 b) F(x) =
ln
x x
Câu 31. Cho hàm số f(x) = s inx-3cosx
2 sinxcosx a) Xác định các số A, B để f(x) = A + B 2 cos s inx
x
s inx-3cosx
2 sinxcosxdx
Đáp số: a) A = 1
5
, B = 7
5
b) 1 7ln 2 sin cos
Câu 32 Tìm a) x22x35dx b)
1
dx
x x
x x
d) x5 x32dx e)
xdx
3
dx
x x
Đáp số: a) 1 36
2
18 x C ; b)
4 4
1 ln
x
x C ; c)
4
ln
x
C;
d) 2 3 25 2 3 23
C; e)
2 2
ln
x x
C ; f)3ln 3 2 1
2 x C
Câu 33 Tìm a)cos5xdx b) 2
4 sin 2 sin 2 3cos 2
dx
osx
s inx+cosx
c
dx
d)
4
tan os2x
x dx c
Đáp án : a) 1sin5 2sin3 sin
5 x3 x x C b) 1ln tan 3
x x
C c) ln sinxcosx C d)
3
tan ln
x
x
C
Câu 34. Tìm a) ln x dx
x
b) xtan2xdx c)x2sin2 xdx d) ln x2dx
e) 2
ln 1
x x dx
f) e xln 1 e xdx g) xsinx2dx h) xe2x1dx
Đáp án : a) 2 xlnx4 x C; b) xtanxln cosxC; c)
3 2sin 2 cos 2 sin 2
d) xln2xxlnx x C; e) 2 1 2 2
ln 1 2
x
C ; f) e xln 1 e xe xln e x 1 C
g) xcosx2sinx2 C; h) 1 2 1 1 2 1
xe e
Câu 35 a) CMR nếu ylnx x2 a2 thì
1 '
y
a 0
b) Tìm
x a dx
Đáp án : b) I = 1 2 2 2 2 2
ln
Câu 36 Tìm a) xs inxcosx.dx b) e x s inx s inx.dx c) x s inx
dx