dạng 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng giác
Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t ≤1
Giải phương trình:
1/ 2cos2x- 4cosx=1
sinx 0
2/ 4sin
3x+3 2 sin2x=8sinx
3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/ 1-5sinx+2cosx=0
cosx 0
5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2)
Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx=1
3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ 3
cot x -2 = 0 b / 42
cos x+tanx=7 c* /sin6x+cos4x=cos2x 8/sin(2 5
2
)-3cos( 7
2
x− π
)=1+2sinx 9/ sin2x−2sinx+ =2 2sinx−1 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/
0 2sin cos
13/ sinx+ +1 cosx=0 14/ cos2x+3cosx+2=0
15/
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0 cos
x
16/ 2cosx- sin x =1
dạng 2 : Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c
1 sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )
2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
3 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
Điều kiện Pt có nghiệm : a2 +b2 ≥c2
giải phương trình :
1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0 2/ a : 3 sin cos 1
cos
x
c: 3 sin cos 3 1
3 sin cos 1
+ + 3/ cos 7x− 3 sin 7x+ 2 = 0 *tìm nghiệm (2 ;6 )
x∈ π π
4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ 1 cos 2 cos 2 cos 3 2(3 3 sin )
x
6/ cos 22sin cos
3
Dạng 3 Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx
Giải phương trình
1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4
c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0
Ph ươ ng trình l ượ ng giác
Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0
Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx≠0 Chia 2 vế cho cos2x ta được:
atan2x+btanx +c=d(tan2x+1)
Cách2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc
asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0
Xét cos3x=0 và cosx≠0 Chia 2 vế cho cos2x ta được Pt bậc 3 đối với tanx
1
Trang 22/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0
x= +π4 kπ
+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 ⇔(cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0 3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)
4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 6/ 2 cos3x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x-π/4)= 2 sinx
Dang 4 Phương trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx
Giải phương trình
1/
a/1+tanx=2sinx + 1
cos x b/ sin x+cosx=
1
tan x
-1
cot x
2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x
4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2
6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx
8/1+sin3 2x+cos32x=3
2sin 4x 9/
* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0
10/ sinx−cosx +4sin 2x=1 11/ cosx+ 1
cos x+sinx+ 1
sin x=10
3 12/ sinxcosx+ sinx+cosx =1
dang 5 Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc
Công thức hạ bậc 2
cos2x= 1 cos 2
2
x
+
; sin2x= 1 cos 2
2
x
− Công thức hạ bậc 3
cos3x= 3cos cos 3
4
; sin3x= 3sin sin 3
4
Giải phương trình
1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2
3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0
4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5
x
π + )-2cos29
2
x
5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix∈(0; )π
6/sin24x-cos26x=sin(10,5π +10x) với (0; )
2
x∈ π 7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3 cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x
10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin cosx x=0
12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 ;
24 2 8 2
x=π + π π+ π
13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2(
4 2
x
π − )-7/2 với x−1<3 15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0
16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+
3
π )=cos3x 18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x
19/ sin 5
5sin
x
x =1
20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2
Ph ươ ng trình l ượ ng giác
* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t ≤ 2
⇒ at + b 2 1
2
t − =c ⇔bt2+2at-2c-b=0
* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t ≤ 2
⇒ at + b
2
1 2
t
−
=c ⇔bt2 -2at+2c-b=0
2
Trang 322/ 3cos4x-2 cos23x=1
Dang 6 : Phư ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức
* a3±b3=(a±b)(a2mab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4
* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6±b6=( a2±b2)( a4ma 2b2+b4)
Giải ph ương trình
1/ sin4
2
x
+cos4
2
x
=1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/
(tan cot )
x
5/cos6x-sin6x=13
8 cos
22x 6/sin4x+cos4x=7
7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx
9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x
11/ cos8x+sin8x= 1
8 12/ (sinx+3)sin
4
2
x
-(sinx+3) sin2
2
x
+1=0
Dang 7 : Ph ương trình LG biến đổi về tích bằng 0
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0
5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3
2 sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5
9/ 2cos2x-8cosx+7= 1
cos x 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5
4cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x
12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3
14/ 2sin3x- 1
sin x=2cos3x+ 1
16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1
cos x)=0
18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x=1 cos 22
sin 2
x x
−
20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1
sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
24/ 2 2 sin( )
4
x+π
sinx+cosx 25/ 2tanx+cotx= 2
3
sin 2x
+ 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
Dang 8 : Phư ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc
cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x
sin2x=2sinxcosx
tan2x= 2 tan2
1 tan
x x
−
sinx = 2 2 1
t t
+ ; cosx=
2 2
1 1
t t
− + tanx= 2
2 1
t t
−
Giải ph ương trình
1/ sin3xcosx=1
4+ cos
3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2
Trang 48/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x 10/a* tan2x+sin2x=3
2cotx b* (1+sinx)
2= cosx
Dang 9 : Ph ương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng
Giải phư ơng trình
1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
3/sin 3 sin sin 2 cos 2
1 cos 2
x
− tìm x∈(0; 2π) 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0
5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/ 3 cos 2( cot 2 )
7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x
Dang 10 : Ph ương trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B
Giải ph ương trình
1/ sin(3
10 2
x
π −
)=1
2sin(
3
10 2
x
π +
) 3 2 ;4 2 ;14 2
5 15 15
x=π+k π π+k π π+k π
4
x−π )=sin2x sin(
4
x+π ) x= +π4 kπ2 3/(cos4x/3 – cos2x): 1 tan x− 2 =0 x k= 3 π 4/ cosx-2sin(3
x
π − )=3 x k= 4 π
5/ cos(2 7
2
)=sin(4x+3π) ;
6 2
k
x= ± + π kπ π
6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx 2 ; 2
x= ± + π kπ± +π k π
7/2cot2x+ 22
cos x+5tanx+5cotx+4=0 x 4 k
= − + 8/ cos2x+ 12
cos x x k= π
9/sinx- cos2x+ 1
sin x +2 12
sin x =5 2 ; 2 ;7 2
x= π+k π− +π k π π+k π
1 sin 2
x x
+
1 tan
1 tan
x x
+
− =3 x={kπ α; +kπ}, tanα=2
Dang 11 : Ph ương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp
Giải ph ương trình
1/ 3 4 6 (16 3 8 2)cos+ − − x =4cosx− 3 2
4
x= ± +π k π 2/cos (3 9 2 16 80)
π
=1 tìm n0 x∈Zx= − { 21; 3 − }
6
x= − +π k π
4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x π3 kπ
= ± + 5/2 sin( tan )
2cos 2 tan sin
x
+
−
2 2 3
x= ± π+k π
6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x 2
4
x= +π k π
7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x x=k4π 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x 2
3
k
x=π π +k π
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k= π 10/ sinx+sinx= −1 sin2x−cosx 5 1
;sin 2
x k= π x= −
11/cos2 (sin 2 cos 2 )
π
2 tan 4
x 4 k2
π π
= − +
12/ 2 cos 6 sin 2sin 2 2sin 3
− − − = − − +
5 5 ; 5 5 ;5 5
x= − π+kπ− π+kπ π+kπ
Dang 12 : Ph ương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm
Giải ph ương trình
1/ cos3x+ 2 cos 3x− 2 =2(1+sin22x) x k= π 2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x x= +π4 kπ
3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x∈(0;π) 4/ 8cos4xcos22x+ 1 cos3x− +1=0 2 2
3
x= ± π+k π
5/πsin x = cosx x= 0 6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k ∈Z* để hệ có nghiệm 7/ 1- 2
2
x
=cosx 8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x= +π2 kπ
1 cos 1 cos cos 2 sin 4
2
4
x= ± +π k π