Tính góc gi ữa SA và mặt phẳng ABC... Tính góc giữa SA và mặt phẳng ABC.. Tính góc giữa SC và ABCD.. Tính khoảng cách giữa SB và AC... Tính góc giữa hai mặt phẳng: SBC và ABC.. Tính khoả
Trang 1Ph ần Hình Học Cho hình l ăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ', đặt uuurAA a AB b AC c'=r uuur, =r uuur, =r G ọi
I là trung điểm của B’C’
a Phân tích véct ơ uurAI theo các vét ơ a b cr r r, ,
b Phân tích vét ơ uuurAO theo các véct ơ a b cr r r, , , v ới O là tâm của
hình bình hành BB’C’C
c Phân tích vét ơ uuurAG theo các véct ơ a b cr r r, , , v ới G là trọng tâm
c ủa ∆A B C' ' '
d Ch ứng minh rằng: uuuur=1(uuuur uuuuur' + ' ') (=1 uuur uuuuur' + ' ')
MN AC A B AB A C , v ới M, N lần lượt
là trung điểm của AA’, B’C’
e Ch ứng minh rằng: uuur= 1(uuur uuur uuuur uuur+ ' + ' + )
4
AO AB AB AC AC
AI= AB +AC = a+ + + = +b a c a b+ c
'
1
'
AO a c b
= + = + + ⇒ = + +
= + = + +
uuur uuuur uuur r r r
uuur uuur uuuur r r r
= + +
uuur uuur uuuur uuuur r r r r r
d/Chứng minh rằng: uuuur= 1(uuuur uuuuur' + ' ') (=1 uuur uuuuur' + ' ')
với M, N lần lượt là trung điểm của AA’, B’C’
Chứng minh:
AC A B AB A C AC A B AC A C
AC AB A C A B B C B C
uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
2/
3/ Cho hình chóp S.ABC có AB = a 2, SA = SB = SC =a, SA, SB, SC đôi một vuông góc Gọi H là trực tâm của ∆ABC
a Ch ứng minh rằng: SA BC SB AC⊥ , ⊥
b Ch ứng minh rằng: SH⊥(ABC)
c Tính góc gi ữa SA và mặt phẳng (ABC)
a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Ta có
SB =SC suy ra SN ⊥BC, AH ⊥BC suy ra BC ⊥SA
Tương tự AC ⊥SB
c r
a r
b r
Trang 2Ta có SN BC
BC SH
AH BC
⊥
⊥
Tương tự AB⊥SH
b/ Từ câu a Suy ra SH ⊥(ABC)
c Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)
Ta có HS⊥(ABC)suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)
Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA
( )
3 3 3
cos
3
b
SAH
a
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng •
trong đó α là góc sao cho 3
cos
2
b a
α =
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
⊥
SA ABCD , SA = a, !BAD= 120 °.
a Tính s ố đo góc của BD và SC
b G ọi H là trung điểm của SC Chứng minh rằng: OH ⊥(ABCD)
c Tính s ố đo của góc SB và CD
a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra AC⊥BD
SA⊥ ABCD ⇒AC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
Suy ra góc giữa chúng bằng 900
b/ Ta có OH là đường trung bình của tam giác CSA suy ra HO //
SA
mà
SA⊥ ABCD ⇒OH ⊥ ABCD
c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB
bằng 450
vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A
5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, !BAC= ° 30 ,
= = = =
SA SB SC SD a
a Chứng minh rằng: SO⊥(ABCD)
b Tính góc giữa SC và (ABCD)
c Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng:
( )
⊥
MN SBD
d Tính khoảng cách giữa SB và AC
a/ Vì O là trong điểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥ ⇒ ⊥
⊥
Trang 3b/ Ta có SO⊥(ABCD) suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
vì ! 0
30
BCA= suy ra tam giác ACD là tam giác đều suy ra 3
2
a
CO=
!
2
OC
SC
= = ⇒ = Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 300
c/ Ta có
( )
SO ABCD SO BD
BD SO
BD SAB
DB AC
BD SAB
MN SAB
MN AC
⊥ ⇒ ⊥
⊥
⊥ ⇒ ⊥
!
d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB
Ta có AC⊥(SBD)⇒ AC⊥HO Đoạn thẳng OH là đoạn
vuông góc chung của AC và SB
Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH =
2
a
7/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC cân tại A, đường cao AH là đường cao của tam giác ABC và AH= a, góc BAC! = 120 °, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a= 3 Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH
a Chứng minh rằng: AK ⊥( )SBC
b Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)
c Tính khoảng cách giữa SA và BC
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC
HA là đường cao của tg ABC suy ra AH ⊥BC
( ) ( )
( )
AH BC
BC SAH
SA BC
BC SAH
BC AK
AK SAH
⊥
⊥
⊥ ⇒ ⊥
⊂
K là hình chiếu của A lên SH suy ra AK⊥SH
( )
AK SH
BC SH H
∩ =
b/
( )
( )
( ) ( ) ( (! ) (, ) ) (!, ) !
,
AH ACB
SH SBC
ABC SBC SH AH AHS SBC ABC BC
SH AH BC
0
AH
Trang 4Ta có AH là đoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA
và BC bằng a
8/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
! = ° 60
2
a
SA Hình chi ếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng
v ới trọng tâm của ∆ABD
a Ch ứng minh rằng: BD⊥( )SAC Tính SH, SC
b G ọi α là góc c ủa (SBD) và (ABCD) Tính tan α
c Tính kho ảng cách giữa DC và SA
a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH ⊥BD
ABCD là hình thoi suy ra AC⊥BD
( )
SH BD
SH AC H
∩ =
ABCD là hình thoi cạnh a và góc ! 0
60
BAD= nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a 3; 3
OH = OA=OC=
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
.
5
12
3
2
SH a
a
SC
= − = − = − = − =
⇒ =
= + = + = +
⇒ =
b/ Ta có
( )
( ) ( )
!
( , )
SAC BD
SAC ABCD AC OH SO
SAC SBD SO
SH
a
α α
9/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC đều cạnh 2a, SA⊥(ABC), SA
= a G ọi I là trung điểm của BC
a Ch ứng minh rằng: BC⊥( )SAI
b Tính kho ảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
c Tính góc gi ữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC(1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥ (SAI)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)
Trang 5Ta có
( ) ( )
( ) ( )
SBC SAI
H SI SBC SAI SI
⊥ ⇒ ∈
Xét tam giác vuông SAI có:
2 2 2 2 2
a AH
AH = AI +SA ⇒ AH = a ⇒ =
c/ Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(!) ( )
!
3
3 3 2 2
BC SAI
ABC ABC BC
SBC ABC SI AI SIA SBC SAI SI
ABC SAI AI
SA a
AI
a
10/ Cho hình chóp S.ABC, SA⊥(ABC), ∆ABC đều Gọi I là hình
chi ếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên SI và
= 2 3, = 2
SA a AB a
a Ch ứng minh rằng: AH ⊥( )SBC
b Tính góc gi ữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)
c Tính kho ảng cách giữa SA và BC
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC(1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥ (SAI)
( )
( )
BC SAI
SA AH
AH SAI
⊥ ⇒ ⊥
H là hình chiếu của A lên SI nên AH ⊥SI
( )
SA AH
SI BC I
∩ =
b/
( )
( ) ( )
( ) ( )
(!) ( )
3 2 2
BC SAI
AI SBC SAI SI
a ABC SAI AI
α
Trong đó α là góc sao cho tan α = 2
c/ khoảng cách giữa SA và BC là độ dài đoạn AI = 2a 3
Trang 611: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC vuông cân v ới AB = BC =
a, SA⊥(ABC), SA = a G ọi I là trung điểm của AC
a Ch ứng minh rằng: BI ⊥( )SAC
b Tính s ố đo của góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC)
c Tính kho ảng cách giữa SB và AC
