Kiến thức về lượng giác I.
Trang 1Kiến thức về lượng giác
I Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với ∀k∈Z :
• sin2α + cos2α = 1 • tgα.cotgα = 1,
2
k π
≠
α •tgα =
α
α cos
sin • cotgα =
α
α sin cos
• 1 + tg2α =
α 2 cos
1 , α ≠ π + k π
2 •1 + cotg2α =
α 2 sin
1 ,
π
≠
α k
II Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém π Cung phụ nhau
sin(−α) = − sinα
cos(−α) = cosα
tg(−α) = − tgα
cotg(−α) = − cotgα
sin(π −α) = sinα cos(π −α) = −cosα tg(π −α) = − tgα cotg(π −α) = − cotgα
sin(π+α) = − sinα cos(π + α) = −cosα tg(π + α) = tgα cotg(π+α) = cotgα
sin(π/ 2−α) = cosα cos(π/ 2 −α) = sinα tg(π/ 2−α) = cotgα cotg(π/ 2−α) = tgα
III Công thức cộng :
sin(a± b) = sina.cosb ± cosa.sinb (1)
tg(a± b) =
tgb tga 1
tgb tga
∓
± (3) cos(a± b) = cosa.cosb ∓ sina.sinb (2)
IV Công thức nhân:
1 Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a− sin2a = 2cos2a−1
= 1−2sin2a
tg2a =
a
tg
1
tga
2
2
−
2 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina−4 sin3a cos3a = 4cos3a− 3cosa
tg3a =
a tg 3 1 a tg tga 3 2 3
−
−
3 Công thức hạ bậc:
sina.cosa=
2
1
sin2a sin2a=
2 a cos 1−
cos2a=
2 a cos 1+
tg2a=
a cos 1 a cos 1 +
−
sin3a= sin3 3sin
4
4
a+ a
4 Biểu diễn theo t=tg
2
a: sina = 2
t 1 t 2 + cosa = 2
2 t 1 t 1 +
− tga = 2
t 1 t 2
−
V Công thức biến đổi:
1 Tích thành tổng: cosa.cosb=
2
1 [cos(a−b)+cos(a+b)]
sina.sinb=
2
1 [cos(a−b)−cos(a+b)] sina.cosb=
2
1 [sin(a−b)+sin(a+b)]
2 Tổng thành tích:
cos α + cos β = 2 cos
2
β +
α cos
2
β
−
α cos α − cos β = −2 sin
2
β +
α sin
2
β
− α
sin α + sin β = 2 sin
2 β +
α cos
2 β
−
α sin α − sin β = 2 cos
2 β +
α sin
2 β
− α
tg α ± tg β =
β α β
± α cos cos
) sin( cotg α ± cotg β =
β α α
± β sin sin
) sin(
Oân tập : Phương trình lượng giác :
Bài 1 : Giải các phương trình : a/ sin 2x= 3 / 2 g/3+2sin sin 3x x=3cos 2x b/cos 2( x+250)= − 2 / 2 h cos2x+3sin2x+2 3 sin cosx x− =1 0 c/ tg(3x+2)+cot 2g x=0 k/ 2 2
3 cos x+2sin cosx x− 3 sin x− =1 0 d/ sin 4x+cos5x=0 l.sinx+ 3 cosx= 2
e.cos(2x−π/ 6)= −1 m.cosx+ 3 sinx=2 cos(π/ 3−x)
f.4cos 22 x−2( 3 1)cos2+ x+ 3 0= n.2 sin( x+cosx)+6sin cosx x− =2 0
i cos 2x−3sinx− =2 0 o.5sin 2x−12 sin( x−cosx)+12=0
A – Dùng cơng thức hạ bậc : Bài 1 : Giải các PT : a/ sin 22 x=sin 32 x b/ sin2x+sin 22 x+sin 32 x=3/ 2
c/cos2x+cos 22 x+cos 32 x=1 d/ cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=3 / 2 Bài 2 : Giải các PT : a/ sin6x+cos6x=1/ 4 b/ sin8x+cos8x=1/ 8
c/ cos4x+2sin6x=cos 2x d/ sin4x+cos4x−cos2x+1/ 4sin 22 x− =1 0
B - Biến đổi thành PT tích : Bài 1 : Giải các PT : a/2cos cos 2x x= +1 cos 2x+cos 3x b/ 2sin cos 2x x+ +1 2cos 2x+sinx=0 c/ 3cosx+cos 2x−cos3x+ =1 2sin sin 2x x d/ cos5 cosx x=cos 4 cos 2x x+3cos2x+1 Bài 2 : Giải các PT : a/sinx+sin 3x+sin 5 =0x b/ cos 7x+sin 8x=cos3x−sin 2x c/cos 2x−cos8x+cos 6x=1 d/ sin 7x+cos 22 x=sin 22 x+sinx Bài 3 : Giải các PT : a/ 1 2sin cos+ x x=sinx+2cosx b/ sinx(sinx−cosx)− =1 0 c/ sin3x+cos3x=cos 2x d/sin 2x= +1 2 cosx+cos 2x e/ sinx(1 cos+ x)= +1 cosx+cos2x f/ (2sinx−1 2cos 2)( x+2sinx+ = −1) 3 4cos2x g/ (sinx−sin 2x)(sinx+sin 2x)=sin 32 x h/ sinx+sin 2x+sin 3x= 2 cos( x+cos 2x+cos3x)
Bài 4 : Giải các PT : a/ 3 3 1
sin cos sin 2 sin cos sin 3
4 2
b/ 1 sin 2+ x+2cos 3x(sinx+cosx)=2sinx+2 cos 3x+cos 2x Bài 5 : Giải các PT : a/ 1 1 2
cosx+sin 2x=sin 4x b/
2
2 2 sin 3 2 sin
0 2sin cos 1
x x
=
− c/ 2 1 cos
1 sin
x
tg x
x
+
=
− d/
2
3
1 cos 3
1 sin
x
tg x
x
−
=
− e/
cos 2 sin cos
1 sin 2
x
x x
x
− f/ 1 2 1 2sin 22
cos 2
x
tg x
x
− + = g/1 cos 4 sin 4
2sin 2 1 cos 4
+ h/
2
2 3tg x−3 2tg x=tg 2xtg x3 k/2(tgx−sinx) (+3 cotgx−cosx)+ =5 0 l/ (1−tgx)(1 sin 2+ x)= +1 tgx m/ tg22 x tg23 5x tg x=tg22x−tg23x+tg x5 n/ tg x3 −tgx= −2sin 2x
p cos23x.cos2x – cos2x=0 p sin4x+cos4x=7/8cotg(x+π /3).cotg(π/6-x)
q 2(cos6 sin6 ) sin cos 0
2 2sin
x
3 2sin cos 1 cos
1
1 sin 2
x
= + u.sin3 cos3
2cos sin
x x +
− =cos2x