MỘT SỐ DẠNG PT LƯỢNG GIÁC

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... 1 0x49 1x2cos x7cos  Chú ý: Các cách kiểm tra điều kiện khi giải pt lượng giác: + Cách 1: Thay trực tiếp cung nghiệm vào điều kiện  tính k  n0+

Trang 1

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

DẠNG 1: sin u(x) = sin v(x)

x(u

2k)x(v)x(u)

x(vsin)x(u

2

3x

2

1x

4)

3

1x

2009

2010x

sin  6)

7cosx

7) sinxsin3x 0 8) sinxcos3x  0 9)  

2

320

x3sin  0  

2

3x

sinsin   3) sin x2 sinx  0

x

2

25

x4

63

2x3

3x7

4x2

x

1cosx

2k)x(v)x(u)

x(vcos)

x(u

2

2x

2

3x

cos 

4)

2010

2009x

sin  5) sinx   2 6)

5sinx

Trang 2

7) cosx cos3x 0 8) cosxsin5x 0 9)  

2

140

x2

2

3x

sincos   3) cos x2 sinx  0

63

sincos   6) cos x2  sinx

7) cos3x 7  0

5x

0)x(ucos

Z'k

;'k2)x(v

'k2)x(u

3

1x

4)

9cotx

5

2cotx

7) sinx cosx 8) sin2x  3cos2x 9) 0

2

xcos22

xsin

Bài 1/3/2:

Giải các phương trình sau:

1) tancosx1 2) tanxtan3x 0

7

3cotx3

4) 2sinx5cosx  0 5) 3sin2x cos2x 0 6) 0

2

xcos2

x

Trang 3

DẠNG 4: cot u(x) = cot v(x)

0)x(usin

Z'k

;'k)x(v

'k)x(u

7

5cotx

7

5tanx

5cotx

4

Bài 1/4/2:

1) cotcosx 3 2) cotx cot3x 0

5cotx

7

2tanx

x ( u sin

) ( ) x ( v cos )

x ( u cos

) ( ) x ( v sin )

x ( u sin

321

2 2

2

)x(u2cos1

4

3x

5) cos2x  cos24x 6) sin23x cos24x 6)

4

xcos3

xsin2  2

Bài luyện tập 1/5/1:

Trang 4

1) sin2x  1 2)

4

1x

4) cos22x cos23x 5) sin2x cos25x 6)

8

xcos6

xsin2  2

2x5

x ( u tan

) ( ) x ( v cot )

x ( u cot

) ( ) x ( v tan )

x ( u tan

321

2 2

x(utan

)x(vtan)

x(utan

Zk

;k)x(v)x(u

k)x(v)x(u

x(ucot

)x(vcot)

x(ucot

Zk

;k)x(v)x(u

k)x(v)x(u

x(vcot)

x(utan

)x(v2tan)

x(vcot)

x(utan

k)x(v2)x(u

4) cot22x cot23x 5)

4

xcot3

x

8

xcot6

xtan2  2

1) tan22x 3 2) cot23x  1 3) tan22x  tan24x4) cot2x cot22x 5)

3

xcot2

x

6

xcot8

xcot2  2

Chú ý:

Các bước giải phương trình lượng giác tổng quát Bước 1: Đặt điều kiện của x để 2 vế của pt có nghĩa Bước 2: Biến đổi phương trình lượng giác tổng quát tương đương với pt lượng giác cơ bản  tìm ẩn x

Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm

Bài 1/6/2

Trang 5

1) 0

x49

1x2cos

x7cos



Chú ý:

Các cách kiểm tra điều kiện khi giải pt lượng giác:

+ Cách 1: Thay trực tiếp cung nghiệm vào điều kiện  tính k  n0+ Cách 2: Biểu diễn điểm ngọn của cung điều kiện và cung nghiệm trên đường tròn lượng giác và loại các điểm trung nhau

+ Cách 3: Giải phương trình các tham số nguyên

x)1x(cos

3xsin2





xsin

)4xcos3)(

1x(cos

x8sinx12sin





xsinx5cos

)xtanx

2)(tanxcosx

5(sin

Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm:

1) sinx m2 3m 2) cosx  m2 5m6 3) sin2 x m2 m

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = sin u(x)

DẠNG 1: Asin2uBsinuC 0, A  0

Phương pháp:

+ Đặt sinu = t, với t1;1+ Giải PT: At2 BtC0t+ Giải PT: sinu = t  x

Bài 2/1/1

a) 2sin2x  2sinx  2  0 b) cos2x sinx 10c) 2cos2x 3sinx 2 cos2x

Chú ý:

Các hằng đẳng thức cần nhớ:

xcosx

sin4  4 12sin2xcos2x sin 2x

1 

4

x4cos

3 



xcosx

sin6  6 13sin2xcos2x sin 2x

5 

x

cosx

sin8  8 sin4x cos4x2 2sin4xcos4x

Trang 6

12sin2 xcos2 x2 2sin4 xcos4 x



1xcosxsin4xcosxsin



1x2sinx2sin8

x4cos12

x4cos18

sin10  10  sin4xcos4xsin6x cos6xsin4xcos6x sin6xcos4x

1 2sin2 xcos2x1 3sin2 xcos2 x sin4 xcos4 x(sin2x cos2x)



1x2sin4

5x2sin16

x4cos1.4

52

x4cos116

xsinxsinx2cos2xsinx4cos



xsin)1x2cos2x4cos2

xsin

x5sin

 2cos4x2cos2x1, sinx 0

x5cos = (cos5xcos3x)(cos3xcosx)cosx

xcosx

cosx2cos2xcosx4cos



xcos)1x2cos2x4cos2

xcos

x5cos

 2cos4x2cos2x1, cosx 0

Bài 2/1/2

a) 2sin2x sin4 xcos4 x5 b) sinx

2

xcos2

xsin

xcos2xsin5

x2sinx

cosx

1) 3cos22x7sin2x 3 2) 4sin4x 2cos2x 3

4

3xcosx

sinx2

Trang 7

5) 4sin6 x cos6 x 2sin4x cos4 x 3sin2x 6)

4

5xsin2

xcos2

x

1x2sin

)2x(sinxsin3)xsin2x(cosxcos

Bài 2/2/1

a) 4sin3x sinx  58cos2 x b) 3sin3x 7sinx 19cos2x3cos2x

c) 5(sinx 1)  4(sin3x cos2x) d) cos2x 8sinx  cos2x 3cosxsin2x

a) 2sin3 x sinx cos2x b) sinx3  sin3x cos2x

c) sin3xsinx2 0 d) cos2x 2sinx  cos2x cosxsin2x

usin

1.Bucot

1u

cot)

0t(,usin

2 2

32

xcot

3

xsin

13

x

usin

1usinBusin

1u

Trang 8

sint

usin

1usin

2tusin

1u

sint

usin

1usin

2 2

2

2 2

2xsinxsin

4x

xsin

1x

sinx

sin

1x

sin

1x

sin

1x

xsin

3x

sin

9x

1) sinxcosxsin2x 1sin2x 2sin2x 312

2

xsin32

xsin22

xsin2

3) cos2 x(sinx3)(sinx 5)15

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = cos u(x)

DẠNG 1 PT: Acos2uBcosuC0, A  0

Phương pháp:

+ Đặt cosu = t, với t1;1+ Giải PT: At2 BtC0t+ Giải PT: cosu = t  x

BÀI 3/1/1

a) 4cos2 x2 3 1cosx 3 0 b) 9cos2 x5cosx 5sin2 x 4c) 5sin2x 2cosx 13cos2x

Bài 3/1/2

Trang 9

a) 3 2 0

2

xcos3x

c) cos4xcos2x 2cos2 x sin22x 4d) cos6x3sin23x 3cosx  4cos3 x

Bài 3/1/3

a) sin4 x cos4 x cos8x c) sin6 x cos6 x sin4 2xcos42xc)

xcos

x5cosx

cosx

xsin

x5sin5

x2sin

e) sin6 x cos6 x sin4 xcos4 x 4cos2x 2

1) cos2x  2sin2 x cosx(2cosx)  02) 4sin4 x2sin2 x cos4x sin2 2x 13) 8sin4 x 4cos4 x sin2 2x cos4x3cos2 2x 64) cos6x3sin23x 3cosx  4cos3 x

5) (2cos2x 5)cos4 x (2cos2x 5)sin4 x  36) sin6 x cos6 x  sin4 2x cos4 2x

7) cos3 x 11cosx 1 3sin2 x cos3x8) 2sin4 x(sin2x3)2sin2 x(sin2x 3)1 0

2

3xsin)xcos(

11) sin10 x cos10 x  cos4x 12) cos(4x2)3sin(2x1)2

xsin

x5sinx

cosx

xcos

x5cosx

cosx

sin6  6 

xcos

9x2cos3xsin6x2sin

DẠNG 2: Acos3uBcos2uCcosuD0, A  0

Phương pháp:

+ Đặt cosu = t, với t1;1+ Giải PT: At2 Bt2 CtD0t+ Giải PT: cosu = t  x

Bài 3/2/1

a) sin2 x 4cos2x 5cosx 1sinxsin2xb) 2cosx 13cos2xcos3x

Bài luyện tập 3/2/1

a) cos3 x 7cosx 85sin2x

Trang 10

b) cos3 x 3sin2 x11cosx 1cos3xc)

xcos

16

xcos8xsin2x2cos

ucos

1.Butan

A 2    , A  0

Phương pháp:

2u0u

ucos

1u

tan)

0t(,ucos

2 2

2x

tan2

4x

2tan

2

xcos

22

x

ucos

1u

cosBucos

1u

cost

ucos

1ucos

2tucos

1u

cost

ucos

1u

cos

2 2

2

2 2

1x

cosx

cos

1x

cosx

cos

1x

2x

cosx

cos

4x

Trang 11

DẠNG 5: cosuacosubcosuccosude, ab c d

1) cosxcosx 2cosx 4cosx 6 152) sin2 xcosx 3cosx5 9

Đáp số:

1) cosx 1 và cosx  3 62) cos2 x 4cosx 4 và cos2x 4cosx 6 Pt vô nghiệm

Tìm m để phương trình sau có nghiệm x

02m3xsinxcos

35

xtan

c)

xsin22

53

xtan

 , t  0

t

1.B

Trang 12

Giải các phương trình:

1) 3tanx2cotx 5 2) tanx6cotx 1

DẠNG 3: Atan3uBtan2uCtanuD 0, A  0

Phương pháp:

+ Đặt tanu = t , t R+ PT  At3 Bt2 Ct D 0  t  ?

 , t  0

t

1.DCBt

Bài 4/4/1:

Giải phương trình: tan2 x 3tanx 2cotx 6  0

1) tan2 x3cotx 4 2) tanx 2cotx 5

xcos

1

3) tan2 xtanx2cotx 4 4) tan x cot x 6

xcosxsin

1x

cotx

x2cos1

t2u

2sin



2

t1

t1u2cos





t1

t2u

2tan





t1

t1Ct1

t2.B

1) 4sin2xcos2x  3tanx 2) 2sinx cosx 1cotx

Trang 13

3) 2sin2x3cos2x 3tanx 4) 2cosx13sinx 1

x2sin

14

9xtan

75

xcot

54

Bài 5/2/1:

2

xcot52

xcot22

1

xsin

28

3

xcot33

xcot

 , t 0

t

1.DCBt

Trang 14

1) 3tanx cotx 6 0

x2cos1

xsin

22

xcotx

utan.DCutanBucot

Phương pháp:

usin

ucos22

2

ucot2

utan2

ucot2

utan

2 2

x

2

xcos

12

xsin

1

2 2

xsin

12

xcot2

xtan

4) 4sin2 x8cos4 x sin22x cos4x 93m 0

BÀI 6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sin u(x) & cos u(x)

DẠNG 1 AsinuBcosuC (A2 B2 0 với u = u(x))

Phương pháp 1

Chia 2 vế cho A2 B2 0

+ PT 

2 2 2

2 2

2

BA

Cu

cosBA

Bu

sinBA

Trang 15

2 2

BA

C)

ucos(

A

B

2 2

Bài 6/1/1

a) sinx 3cosx  2 b) 2sin2xcos2x2

c) 3sin3x cos3x  3

Chú ý 1: Dùng các hằng đẳng thức sau để biến để pt về dạng tích

acos.2a2cos

acosa

sina

2sin

asin.2a2cos

acosa

sina

2sin

cosa sinacosa sinaa

sinacosa

2

Bài 6/1/2

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích:

a) 3sinx2cosx 2 b) 2sinxcosx 1

c) sinx3cosx 1 d) 3sinxcosx 3

Chú ý 2: Đặt

2

utan

t1

t2usin



2

t1

t1ucos





t1

t2utan



t

12

ucot 

sin

2

xcot1xcosx

sin

c) 2sin2x2cos2x  2cotx

1) 3sinxcosx 1 2) sin4x  3cos4x  13) sin2x3cos2x 3 4) 2sin3xcos3x1

2

xcos2

xsin

3

xcos23

cosBusinA

)1(vsinBAu

cosBusinA

2 2

, A2 B2  0

Phương pháp

BA

Bu

sinBA

A

2 2 2

;sinB

A

B

;cosB

A

2 2 2

2

Trang 16

+ PT (2) cosu sinv

BA

Bu

sinBA

A

2 2 2

;cosB

A

B

;sinB

A

2 2 2

2

Bài 6/2/1

a) sinx  3cosx  2sin3x b) 2sin2x cos2x  5cos3xc) 3sinx  3cos3x  2sin5x  4sin3 x

DẠNG 3: AsinuBcosu  CsinvDcosv , A2 B2  C2 D2  0

Phương pháp

Chia cả hai vế cho A2 B2  C2 D2  0, ta có:

DC

Du

sinDC

Cu

cosBA

Bu

sinBA

A

2 2 2

2 2

;sinB

A

B

;cosB

A

2 2 2

;cosD

C

D

;sinD

C

2 2 2

2

Bài 6/3/1

a) 3sinx cosx  2sin2x 2cos2xb) sin3xsin5x  3cos3xcos5x

1) sin2x 3cos2x  2sin3x  2cos3x2) 3sin6xsin8xcos6xcos8x

3) 3sin6xcos2xsin2xcos6x

4) 3cos5xsin7xcos7xsin5x

xcos33

xsin2

xsin

DẠNG 4: AsinuBcosuC , A2 B2  0;A,B,C,,R

Phương pháp

+ PT  Asinu.coscosu.sinBsinu.coscosu.sinC

AcosBcossinuAsinBsincosu C



CucosFusin

[chia 2 vế cho E2 F2 0]

Bài 6/4/1

Trang 17

6xcos3

xcos22

xcos2

xsin

10) 4sin2xcos2x 2sin2 x 1

11) 2sin4x1sin4 xcos4 x 2

DẠNG 5: AsinuBcosuCsinuDcosuE , A,B,C,E,FR

u2sinBCAD2

u2cos1.C



ADBCsin2uBDACcos2u2EACBD

[chia 2 vế cho  2  2

ACBDBC

Bài 6/5/1

a) 3sinx cosxcosx 2sinx1 b) 4sin x 1

6x2sin

Trang 18

c) sin2x 1

6xsin

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a) sinxmcosx 2m1 b) 4msin2x 2cos2x 2mcos2 x4Đáp số: b)  

DẠNG 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y  AsinuBcosuC

Phương pháp:

+ Ta có: y  AsinuBcosuC  y C  AsinuBcosu (*) + PT (*) có nghiệm 2 2  2

CyB

sin

1xcosx

siny

x2sin

1xsiny

sin

1kxcosk2y

Tìm Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

Trang 19

1) y  4sin2xsin2xcos2x 2) y (3sinx2cosx)2 2sin2x

3)

xcos5

xsiny



xcos41

x2sin

3xsinxsin2

6x2sin2y

BÀI 7 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG CẤP THEO sin u(x) & cos u(x)

Dạng 1 A.sin2uB.sinu.cosuC.cos2uD (A2 C2 0; u = u(x))

1.B2

u2cos1

B.sin2u(CA)cos2u2DA C (Chia hai vế cho 2  2

AC

Bài 7/1/1

a) 2sin2x 5sinxcosx cos2 x  2

2

xcos2

xsin332

xsin

1) 6sin2 xsinxcosx cos2 x  2 2) sin2 x sin2x  3cos2 x3

2

xcos938xsin42

xsin

2

14

xcos22

xsin4

xcos3

xsin3

xsin

x

1cos4x

2sin2

1x

1sin

7)

2

5xsinx

cos4xcosxsin3

xcos

1x

cos6xsin

DẠNG 2: A.sin3uB.sin2u.cosuC.cos2u.sinuDcos3uE.sinuF.cosu0

Trang 20

a) sin3 x 3sin2 xcosx 3cosx2sinx 0 b) cos2x.sinx cos3 x cosx sinx

1) 2cos3 x sin3x 2) cos2x.cosxcosx2sinx

3) sin3 x cos3 x  sinxcosx 4) sinxsin2x sin3x 6cos3 x

4xsin

7) 4sin3 x3cos3 x 3sinx sin2xcosx 0; 8) cos3x

3xcos

xsin2

xcos2

xsin32

xcos32

x

BÀI 8 PT ĐỐI XỨNG (NỬA ĐỐI XỨNG) THEO sin u(x) và cos u(x)

DẠNG 1: AsinucosuB.sinucosuC (với u = u(x))

Phương pháp:

+ Đặt t sinucosu; t 2; 2 

2

1tucosusin

a) 2sinx cosxsinxcosx  2 b) sin3 x cos3x 3sinxcosx 1c) sin3xcos3x sinxcosx2 d)

3

10xcos

1x

sin

1x

cosx

e) 1 sinx  1 cosx 1 g) sinxcosx 1sin2x

1) 6sinx cosx 6sinxcosx 2) 3sinx cosx 12sin2x  03) sin3 x cos3 x  2sinx cosx 4) sin3 x cos3 x 1sinxcosx

Trang 21

7) sin3 x cos3 x 1sin2x 8) 1sinx1cosx 2

9) sin3 x cos3 x 54sinx 4cosx 10) 1 2sinx

2

xcos2

2

13) sin3 x cos3 x  sin2x sinx cosx 13) 1sinx  1cosx  2

14) 3sin3x cos3xtanx cotx30 15) 1 sinx  1cosx 1

16) 1sinx 1cosx sinxcosx

17) sin3 x cos3 x 4sin2x sin3x cos3x 0

xcos

1x

sin

1x2sin2

a) 4sinx cosxsin2x  4 b) cos3x sin3 x  sin2x 1e) 1 sinx  1 cosx 1 d) sinxcosx 14sin2x

1) cosx sinx 2sinxcosx 1 2) cos3x sin3 x  sinx cosx 23) sin32x cos32x sin4x 10 4) sinxcosx 2sin2x1

5) sinxcosx  sinxcosx 2 6) 1 sinx  1cosx 1

BÀI 9 PT ĐỐI XỨNG (NỬA ĐỐI XỨNG) THEO tan u(x) và cot u(x)

DẠNG 1: A(tan2ucot2u)B(tanucotu)C (với u = u(x))

Phương pháp:

+ Đặt t tanucotu; t 2tan2ucot2ut2 2+ PT  At2 2Bt C  At2 Bt2A C 0  t ?

Bài 9/1/1:

a) 3tan2x  cot2x 4tanx cotx 2b) tan3 x cot3 x tan2x cot2 x 1c) 3 tanx  3cotx  4

Trang 22

1) cot22x  4tanx  cotx 8 2) 2tanx1 2cotx12

3) tan4x cot4 x cot22x  2 4) tan3 x cot3x cot22x  2

x2sin

1x

cotx

x2sin

1x

cotx

7) tan3 x cot3x tan2x cot2 x tanx cotx  6

8) 3tan x 4tanx cotx 1

xsin

a) tan2x  cot2x  3tanx cotx

x2sin

1x

cotx

1x

sin

1x

cotxtan

b)

xcos

1x

sin

12

xcotxtan

==================== THE END =======================

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	246,2 KB