BT LƯỢNG GIÁC

Công thức nhân đôi:.

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:

• Cung đối nhau: α và (- α ) * Cung hơn kém π: α và π + α

Sin(α + π ) = -sin α cos(-α ) = cos α cos(α + π ) = - cos α

sin(-α ) = -sin α tg(α + π ) = tg α

cotg(-α ) = - cotg α

* Cung phụ nhau α và ( )

2 α

π −

* Cung bù nhau: α và π - α

sin(π - α ) = sin α sin( )

2 α

π − = cos α

cos(π -α ) = -cos α cos( )

2 α

π − = sin α

2 α

π − = cotg α

cotg(π - α ) = - cotg α cotg( )

2 α

π − = tg α

Một số công thức cần nhớ:

Công thức cộng:

cos(a-b) = cosacosb + sinasinb

cos(a+b) = …

…

Công thức nhân đôi:

Dạng 1:

Ví dụ 1: CMR: cos 4 x + sin 4 x = cos4x

4

1 4

3 +

VT = 1 – 2sin 2 xcos 2 x = 1 - cos 2x

2

1 2

= 1 - (1 cos4 ) 4

1

x

−

= cos4x

4

1

4

3

Ví dụ 2: CMR: cos 6 x – sin 6 x = x cos6x

16

1 2 cos 16

Ta có: cos 6 x – sin 6 x = (cos 2 x – sin 2 x)(cos 4 x + sin 4 x + sin 2 xcos 2 x)

= cos2x(1 – sin 2 xcos 2 x) = cos2x( 1 - sin 2 )

4

1 2 x

= cos2x[1 -

4

1

2

4 cos

1− x

] = cos2x( 1 -

8

1

+ cos4 ) 8

1

x = cos2x( cos4 )

8

1 8

7

x

+

= x cos2xcos4x

8

1 2 cos 8

7 + = cos2x

8

7

+

8

1

[

2

1

(cos6x + cos2x)] = cos2x

8

7

+ cos6x

16

1

+ cos2x

16

1

16

1 2 cos 16

(đpcm)

Bài tập: 1 cos 4 x – sin 4 x = cos2x

2 sin 6 x + cos 6 x = cos4x

8

3 8

5+

3 cos 8 x + sin 8 x = x cos8x

64

1 4 cos 64

7 64

4 cos 8 x - sin 8 x = x cos6x

8

1 2 cos 8

Dạng 2:

Một số công thức cần lưu ý:

sin

2

cos

2

C B

A

=

+

sin(A+B) = sinC cos

2

sin

2

C B

tg

2

cot

2

C g B

A

=

+

tg(A+B) = -cotgC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC CMR :sinA + sinB + sinC = 4cos

2

A

cos

2

B

cos

2

C

VT = 2sin

2

cos 2 sin 2 2 cos 2

C C B

A B

2

cos 2

(cos 2

B A B

A

2

A

cos

2

B

cos

2

C

(đpcm)

Ví dụ 2: CMR: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

Ta có: A + B + C = π

⇔ A + B = π - C

⇔ tg(A+B) = tg(π - C)

tgB

tgA

tgB

tgA

−

=

−

+

1

⇔ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm)

Bài tập 2: Cho tam giác ABC CMR:

a cosA + cosB + cosC = 1 + 4

2

sin 2

sin 2 sin A B C

b sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC

c cos2A + cos2B + cos2B = 1 – 4cosA.cosB.cosC

d sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2(1 + cosA.cosB.cosC)

e cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 – 2cosA.cosB.cosC

Bài tập 3: CM đẳng thức lượng giác bằng công thức cộng.

a sinB.cosC + sinC.cosB = sinA

b cosB.cosC – sinBsinC + cosA = 0

c sin

2

B

.cos

2

C

+ sin

2

cos 2

B C

= cos

2

A

Dạng 3: nhận dạng tam giác.

+ Tam giác cân: để CM tam giác ABC cân tại A ta sử dụng giả thuyết để đưa đến một trong các điều sau:

• sin(B – C) = 0

• tgB = tgC

• cos(B – C) = 1

• B = C

Ví dụ1: CMR nếu tam giác ABC thỏa: sinA = 2sinBcosC, thì tam giác ABC cân Giải:

sinA = 2sinBcosC

⇔ sin(B+C) = sin(B+C) + sin( B - C)

⇔ sin( B - C) = 0 ⇔ B – C = 0 ⇔ B = C

Ví dụ 2: CMR nếu tam giác ABC thỏa: tgA + 2tgB = tgA.tg 2 B, thì tam giác ABC cân

giải:

tgA + 2tgB = tgA.tg 2 B

⇔ tgA(1- tg2 B) = - 2 tgB

tgA = 1 tg tgB2B

2

−

−

= -tg2B

⇔ A+ 2B = π

mà A + B + C = π

suy ra B = C

vậy tam giác ABC cân.

Bài tập 4 : CMR tam giác ABC cân nếu:

a tgA + tgB = 2cotg

2

C

b.

2 cot ) sin (sin

cos

sin cos

g B A

B

B A

+ Tam giác vuông: để CM một tam giác vuông tại A ta sử dụng giả thuyết để đưa đến một trong các điều kiện sau:

• cosA = 0

• A = B + C

• cos

2

sin 2

A

• cos

2

2

2 =

A

Ví dụ: CMR nết tam giác ABC thoả: sinA =

C B

C B

cos cos

sin sin

+ +

Ta có: sinA =

C B

C B

cos cos

sin sin

+ +

⇔ 2sin

2

cos 2 cos 2

2

cos 2 sin 2 2

cos

C B C B A

A

− +

− +

=

⇔ 2sin2 1

2 =

A

⇔ 1 – cosA = 1

⇔ cosA = 0

⇔ A =

2

π

vậy tam giác ABC vuông tại A

Bài tập 5: CMR tam giác ABC vuông nếu:

B C A

C

− +

−

) sin(

sin

) cos(

b sinC = cosA + cosB

c sin 2 A+ sin 2 B + sin 2 C = 2

d sinA + sinB + sinC = cosA + cosB + cosC + 1

e sin2A + sin2B = 4sinAsinB

+ Tam giác đều:

Bài tập: CMR tam giác ABC đều nếu:

a cosA.cosB.cosC =

8 1

b sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C

c cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C =

4 3