Các Công Thức Lượng Giác

Cung liên kết1... Công thức biến đổi:1.

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

==================================================================

ÔN TẬP-CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Hệ thức cơ bản

sin2α + cos2α =1

tanα =

α

α cos

sin









α≠ π+ π

k 2 cotα =

α

α sin

cos (α≠kπ)

tanα.cotα = 1

1 + tan2α =

α

2

cos 1

1 + cot2α =

α

2

sin 1

I Giá trị các hàm lượng giác của góc (cung) đặc biệt:

Truc cos

Truc sin Truc tan

Truc cotan

- 3 2

- 2 2

-1 2

1 2

2 2

3 2

-1 2

- 2 2

- 3 2

2 2

3 2

1 2

- 3

-1

- 3 3

-3 3

3 3

3

3 3 1

3π/2

π

π/2

5π/6

3π/4

π/4

π/6

A(0;1)

-Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

==================================================================

BÀI TẬP:

Bài 1 : Cho biết sinα+cosα=m; tính:

a) sinα.cosα

b) sin3α+cos3α

Bài 2 : Cho biết sinα.cosα=m; tính:

a) sinα+cosα

b) sin4α+cos4α

Bài 3:Chứng minh các đẳng thức sau:

2

1 a) sin x+tan x= -cos x b) tan x-sin x=tan x.sin x

cos x

Bài 4: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:

a) C=2(sin6x+cos6x)-3(sin4x+cos4x)

b) D=1+cotx 2

1-cotx t anx-1−

Bài 5:Tính các GTLG của cung a biết:

3 a) sina=- (- <a<0) b) tana=- 2 ( <a< )

Bài 6: Tính giá trị biểu thức 1 t anx

1-tanx

A= + , biết cosx=-4

5 và sinx<0.

Bài 7: Xác định cung a thỏa mãn điều kiện:

g)tana=1 f)sina+cosa=0

Bài 8: Tính giá trị của biểu thức A=cos x+cosx.sin x-sinx3 3 32 khi tanx=2

sin x-cos x

Bài 9: Cho 3sin4 2 4 98

81

x+ cos x= Tính A=2sin4 x+3cos x4

-Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

Cung liên kết

1 Hai cung đối nhau (α,-α)

cos(-α) = cosα sin(-α) = -sinα tan(-cot(-αα) = -tan) = -cotαα

2 Hai cung bù nhau (α,π-α)

sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα tan(cot(ππ--αα) =-tan) = -cotαα

3 Hai cung phụ nhau:(α,

2

π

-α)

sin(

2

π

-α) = cosα cos(

2

π

-α) = sinα

tan(

2

π

-α) = cotα cot(

2

π

-α) = tanα

4 Hai cung hơn kém nhau π (α, π+α)

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα tan(cot(ππ++αα) = tan)= cotαα

5 Hai cung hơn kém nhau

2

π

(α,

2

π

+α)

sin(

2

π +α) = cosα cos(

2

π +α) = -sinα

tan(

2

π +α) = -cotα cot(

2

π +α) = -tanα

BÀI TẬP:

Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác

Bài 1: Tính giá trị

a) Cos1200 ; tan1350 ; sin(-7800)

b)

sin , tan , cot

Bài 2: Chứng minh rằng ( )

sin515 cos -475 +cot222 cot408 1

= cos 25 2 cot415 cot -505 +tan197 tan73

Bài 3: Rút gọn biểu thức sau

2sin2550 cos -188 1

tan368 2cos638 +cos98

Bài 4: Rút gọn biểu thức sau

0

cot44 +tan226 cos 406

cos316

Bài 5: Rút gọn biểu thức sau

C=cosπ-x +sin x- -tan +x cot -x

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau

1) sin 11π +sin 21π +sin -9π +sin -29π =-2cos 2π

cos -20 sin70

=1 sin160 cos340 tan250

Công thức biến đổi:

1) Công thức cộng:

sin(a+b) = sina.cosb + sin.bcosa

cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb

sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa

cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb

tan(a±b) =

b tan a tan 1

b tan a tan



±

cot(a+b) =

b cot a cot

1 b cot a cot +

−

cot(a-b) = ( )

b cot a cot

1 b cot a cot

−

+

−

Bài tập:

Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác

Bài 1 Tính giá trị các hàm số lượng giác

1) α =150, 7

12

π

α = 2) x=2850, 103

12

Bài 2 Tính A=tan x-π

4

  biết

9 cos

41

x= − với π<x<3π

2

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Bài 1 Chứng minh rằng

sin a+b sin a-b tan a-tan b=

cos a.cos b 2)

tan 2a-tan a

=tana.tan3a 1-tan 2a.tan a

3) sin π+a -sin π-a = 2sina

Bài 2 Rút gọn biểu thức sau

A=sin x- cos -x +sin -x cos

B=sin4x.cot2x-cos4x

Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc và x

A=cos x+cos x+ +cos -x

B=sin x+sin x+ +sin -x

Bài 4: Cho tam giác ABC CMR

1) sinA=sin B cosC+sin C cosB

2) sin s sin sin

2/ Công thức nhân đôi:

sin 2a = 2sinacosa

cos 2a = cos2a – sin2a

= 2cos2a - 1

= 1 – 2sin2a

tan2a =

a tan 1

a tan

2

2

− cot2a =

a cot 2

1 a cot2 −

3/ Công thức nhân 3:

sin 3a = 3sina - 4sin3a

cos3a = 4cos3a – 3cosa

3

3

tan 3a =tg -a tana.tan +a

cot 3a =

1 a cot 3

a cot 3 a cot

2

2

−

−

4/ Công thức hạ bậc:

sin2a =

2

a cos

1−

cos2a =

2

a 2 cos

1+

tan2a =

a 2 cos 1

a cos 1

+

−

cot2a =

a cos 1

a 2 cos 1

− +

sin3a =

4

1

(3sina - sin3a) cos3a =

4

1

(3cosa + cos3a) sin4a =

8

1

(cos4a - 4cos2a + 3) cos4a =

8

1

(cos4a + 4cos2a + 3) sin5a =

16

1

(sin5a – 3sin3a + 10sina) cos5a =

16

1

(cos5a + 5cos3a + 10cosa)

BÀI TẬP:

Bài 1 Tính sin2a biết

1) sin 4

a= va π < <a π

co a= va < <a π

Bài 2 Tính giá trị của các hàm số lượng giác của góc

a) a=112 30'0 ; b) α=7π

24

Bài 3 CMR

3 sin sin 3 sin 4

4

AD: Tính B=cos22 30'.sin 172 30'-sin22 30'.cos 172 30'0 3 0 0 3 0

2) tanx.tan π-x tan π+x =tan3x

AD: tính A=tan π tan7π.tan13π

Bài 4: Chứng minh rằng:

cos x− cos x− cos x=

.sin sin

4

x cos x x− x cosx=

Bài 5: CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A=sin8x+2cos 45 +4x

cos x-cos3x sin x+sin3x

C=3 sin x+cos x -2 sin x+cos x

D=sin x.cos x+sin x.cos x+ cos 2x

8

5/ Công thức chia đôi: Đặt t = tan

2

a

(a≠ π+k2π)

sina= 2

t 1

t 2

2

t 1

t 1

+

2

t 1

t 2

−

6/.Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosa + cosb = 2cos

2

b

a+ cos 2

b

a−

cosa – cosb = -2sin

2

b

a+ sin

2

b

a−

sina + sina = 2sin

2

b

a+ cos

2

b

a−

sina – sinb = 2cos

2

b

a+ sin

2

b

a−

tana ± tanb = ( )

b cos a cos

b a sin ±

cota ± cotb = ( )

b sin a sin

b a sin ±

Đặc biệt: sina + cosa = 2 sin 









 + π 4

a = 2 cos 









 −π a 4 sina – cosa = 2 sin 









 −π 4

a = - 2 cos 









 +π

4 a

7/ Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosa.cosb =

2

1 [cos(a + b) + cos(a – b)]

sina.sina =

2

1

[cos(a + b) -cos(a – b)]

sina.cosa =

2

1

[sin(a + b) -sin(a – b)]

tana.tanab =

b cot a cot

b tan a tan + +

BÀI TẬP:

Bài 1 Biến đổi thành tích

1) A cos a cos a= 2 − 23

2) B=sin 3x+sin 2x

3) C=1-cotx

4)

D=cos 60 +x +cos 60 -x +cos3x

Bài 2 Biến đổi thành tích

1) A=sin 700−sin 200+sin 500

2) B cos= 460−cos220−2cos780

3) C= +1 cosx cos x cos x+ 2 + 3

4) D=cosa+cosb+sin(a b+ )

Bài 3 Biến đổi thành tổng

1) 2sinx.sin2x.sin3x

2) 8cos sin 2 sin 3x x x

 +   − 

4) 4cos a b cos b c cos c a( − ) ( − ) ( − )

Bài 4 Biến đổi thành tích

1) A cos a cos a= 2 − 23

2) sin11 5

3) C =sin 20 sin 40 sin 800 0 0

4) D=sin 20 sin 50 sin 700 0 0

Bài 5 Tính gía trị của bểu thức

1) sin sin5

A= Biết x=600

sin 4 sin 2

cos a cos a

B

−

=

− Biết a=200 3) C=tan20 tan40 tan60 tan800 0 0 0

Bài 6 Chứng minh rằng: 1-sin2xπ=tan2 -x

Bài 7

1) Cho a b c+ = CMR sin sin sin 4cos cos cos

2) Cho a b c d+ + + =π CMR :

sin sin sin sin 4sin sin sin

Bài 8: Cho tam giác ABC CMR

1) sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin sin sinA B C

2) s cos cos 1 4sin sin sin

4) cos2 A+cos2B+cos2C= −1 2 s s sco A co B co C