Chuyên đề : Lượng giác

BÀI TẬP Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản... a Giải phương trình với a=13b Tìm a để phương trình trên có nghiệm... Bài tập lượng giác 11 Nguyễn Thanh Lam.

Trang 1

Bài tập Toán 11 ( 2011 – 2012) Nguyễn Thanh Lam

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

3 Công thức lượng giác

cos cos cos sin sin

sin( ) sin cos cos sin

tan tan tan( )

1 tan tan cot a cot 1 cot( )

−

− + =

1 2sin

2 tan tan 2

1 tan

a a a a

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

Trang 2

4 Phương trình lượng giác cơ bản

2

x=   ÷+kπ

 

1arc t

2

x= − ÷+kπ

 

1arc t

2

x=  ÷+kπ

1arc t

2

x= − ÷+kπ

1arc t

2

x=  ÷÷+kπ

 

3arc cot

2

x= − ÷÷+kπ

3arc cot

Trang 3

B BÀI TẬP

Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

2

cos sin sin 2

13 4cos x − cos 4 x = + 1 2cos 2 x 14 4sin5x cos x − 4cos sin5x x = cos 42 x + 1

15 cos 4 x = cos 32 x − cos2x + 1 16 sin3 x + cos 2 x = + 1 2sin cos 2 x x

Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.

1 3sin x − cos x + 2 0 = 2 3sin x − = 1 4sin3x + 3 cos3 x

3 sin4 cos4 1

4

x +  x + π  =

  4 2 cos ( 4x + sin4x ) + 3sin 4 x = 2

5 2sin 2 x + 2 sin 4 x = 0 6 3sin 2 x + 2cos 2 x = 3

3cos 2 3sin

2

x + x = 8 4cos3 x − 3sin 3 x + = 5 0

Trang 4

9 sin cos x x − sin2x = cos 2 x 10 tan x − 3cot x = 4 sin ( x + 3 cos x )

11 2sin 3 x + 3 cos7 x + sin 7 x = 0 12 cos5 x − sin 3 x = 3 cos3 ( x − sin 5 x )

13 ( 2sin x − cos x ) ( 1 cos + x ) = sin2x 14 1 cos + x + sin 3 x = cos3 x − sin 2 x − sin x

15 3sin x − = 1 4sin3x + 3 cos3 x 16 3sin cos 2cos 2

3

x + x +  x − π  =

Bài 2 : Cho phương trình 3 sin m x + ( 2 m − 1 cos ) x = 3 m + 1

1 Giải phương trình khi m = 1.

1 2sin2x + sin cos x x − 3cos2x = 0 2 2sin 2 x − 3cos2x + 5sin cos x x − = 2 0

3 sin2x + sin 2 x − 2cos2x = 0,5 4 sin 2 x − 2sin2x = 2cos 2 x

5 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6 2 1 2

  12 3 2 cos x − sin x = cos3 x + 3 2 sin sin 2 x x

13 3sin2x − 2sin 2 x + cos2x = 0 14 12 sin3 2 sin

7 2sin tan cot

sin x + cos x − 3sin 2 x − = 1 0 10 cos3x − sin3x = cos 2 x

11 sin3x + cos3x + 2 sin ( x + cos x ) − 3sin 2 x = 0 12 ( )3

sin x − cos x = + 1 sin cos x x

Trang 5

Dạng 5 : Phương trình đối xứng loại 2 Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 3 tan ( x + cot x ) − 2 tan ( 2x + cot2x ) − = 2 0 2 tan7 x + cot7 x = tan x + cot x

3 tan x + tan2 x + tan3x + cot x + cot2x + cot3x = 6 4 ( )4 ( 2 2 )

9 tan x + cot x = 48 tan x + cot x + 96

5 3 tan ( x − cot x ) + tan2x + cot2 x = 6 6 ( )4 ( 2 2 )

3 tanx +cotx −8 tan x +cot x =21

Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản

Giải các phương trình lượng giác sau :

sin cos sin cos

8

x x − x x = 2 cos2 x + cos 22 x + cos 32 x + cos 42 x = 2

3 sin3x + cos3x = 2 in ( s 5 x + cos5x ) 4 8 8 ( 10 10 ) 5

sin cos 2 sin cos cos2

4

5 sin cot 5

1 cot

Dạng 7 : Biến đổi đưa về dạng tích

3/ sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/ sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

2 sin2x+ 2cos2x+ 6cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 33 x=sin 55 x

9/ 2cos2x-8cosx+7=cos x1 10/ cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x-sin x1 =2cos3x+cos x1

17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

Dạng8 : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, hoặc tổng thành tích Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x 2 sin2x + sin22x = sin23x + sin24x

1 sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 4 2 2 2 3

cos cos 2 cos 3

    8 cosx cos4x - cos5x=0

9 sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10 2 + sinx.sin3x = 2 cos 2x

Trang 6

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin2(π +4 52x)-2cos29

2

x

5/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x 6/sin24x-cos26x=sin(10,5π +10x)

7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3cos3x

9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 12/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

Dạng 9 : Đặt ẩn phụ

1 tan 2 x − 2 tan x + sin 2 x = 0 2 cos x + 2 cos − 2x + cos x 2 cos − 2 x = 3

cos x− 3 sin 2x= +1 sin x

Bài 2 cos3x−4sin3x−3cos sinx 2 x+sinx=0

Bài 3 sin 2x+2 tanx=3sin sin 2x x+sin 3x=6cos3x

Bài 5 sin 3x+cos3x+2cosx=0

Bài 6 sinx−4sin3x+cosx=0

Bài 7tan sinx 2x−2sin2 x=3(cos 2x+sin cos )x x

Bài 8 cos3x−4cos 2x+3cosx− =4 0

Bài 9 (2cosx−1)(2sinx+cos ) sin 2x = x−sinx

Bài 10 cosx+cos 2x+cos3x+cos 4x=0

Bài 11 sin2x+sin 32 x=cos 22 x+cos 42 x

Bài 12 sin3 xcos3x+cos3xsin 3x=sin 43 x

Bài 13 4sin3x+3cos3x−3sinx−sin2xcosx=0

Bài 14 Giải phương trình: (2sinx+1)(3cos 4x+2sinx− +4) 4cos2 x=3

Bài 15 sin6x+cos6x=2(sin8x+cos )8x

(2sinx−1)(2sin 2x+ = −1) 3 4cos x

Bài 19 Giải phương trình: cos 2x−cos8x+cos 6x=1

Bài 20 Giải phương trình: sin 4x−4sinx+4cosx−cos 4x=1

Bài 21 Giải phương trình: 3sinx+2cosx= +2 3 tanx

2cos x+cos 2x+sinx=0

Bài 23 Giải phương trình: 2(tanx−sin ) 3(cotx + x−cos ) 5 0x + =

Bài 24 Giải phương trình: 4cosx−2cos 2x−cos 4x=1

cos cos 2 cos3

Trang 7

Bài 28 Giải phương trình: 2cos 2x−sin 2x=2(sinx+cos )x

Bài 31 Giải phương trình: 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0

Bài 32 Giải phương trình: tanx+tan2 x+tan3x cotx cot x cot x+ + 2 + 3 =6

Bài 33 Giải phương trình: 1 sin 3+ x=sinx+cos 2x

x+ x= x+π  π −x

cos 2x+2(sinx+cos )x −3sin 2x− =3 0

Bài 36 Giải phương trình: 4(sin 3x−cos 2 ) 5(sinx = x−1)

sinx−4sin x+cosx=0

cos10x+ +1 cos8x+6cos3 cosx x=cosx+8cos cos 3x x

4 4

x+ x+π =

cos cos3 sin sin 3

4

Bài 41 Giải phương trình: (sinx+sin 2x+sin 3 )x 3 =sin3x+sin 23 x+sin 33 x

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = −

2 sin x cos x+ +cos 4x sin 2x m 0+ − =

cos x

−+ =

Trang 8

a) Giải phương trình với a=1

3b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm

8cos x =

2 3 cos x 2sin

2 4

12cos x 1

Trang 9

Bài tập Tốn 11 ( 2011 – 2012) Nguyễn Thanh Lam

Bài 41: [Dự bị 1 ĐH B06] (2sin x 1 tan 2x 3 2 cos x 12 − ) 2 + ( 2 − =) 0

1 sin x cos x+ + +1 cos x sin x 1 sin 2x= +

Trang 10

Bài 63: [Dự bị 2 ĐH D08] tan2 2 tan 2sin

x x

(1 2sin x) cos x 1 sin x cos x+ = + +

Trang 11

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2011

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = −

1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

k x

k k x

ππ

Ta có : cos3x=4cos3x−3cosx

(1)⇔cos3x+3cosx−4(1 cos 2 ) 0+ x =

;2

Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1

nghiệm thuộc đoạn [ ]0;1

−

Trang 12

(2)⇔3t2− = +2t m 3Đặt

3 13

10

23

m m

14

2 sin 2 (2 sin 2 )2sin 3

62

k x

−

−0

Trang 13

coscos cos

2

x x

6sin 3cos 3 sin 2cos 3

sin 0

x x

x= +π m π

3

28

x= π +m π

;m∈¢5

28

x= π +m π

7

28

≠





Trang 14

cos sin cos (cos sin )

sin (sin cos )

⇔ + − = ( vô nghiệm )

;4

x= +π k kπ ∈

¢

11

Điều kiện : sin 2x≠0

2cos 2 4sin 2 2 2cos 2 4 1 cos 2 2

1 sin sin 1 cos cos

1 sin 1 cos 1 cos 1 sin

Trang 15

3cos 1 2 cos sin 1 2cos 0

2

1cos

x x

32

2

x x

Trang 16

2 ;3

1 sin (1 sin )(cos 1) 2(sin cos ) 0

1 sin cos 1 sin cos sin 2sin 2cos 0

1 sin sin 1 sin cos cos 0

1 sin (1 sin ) cos (1 sin ) 0

(1) 5sin 2 3sin22 (1 sin )

Trang 17

2 2

(5sin 2)(1 sin ) 3sin

(2cos 1)(2sin cos ) sin (2cos 1)

2 cos 1 sin cos 0

1

cos coscos

sin x sin 2x+ = 3 cos x cox2x( + )

sin sin 2 3 cos 3 cos 2sin 3 cos 3 cos 2 sin 2

x

k x

k k x

2 (sinx cos ) 2 1 (sinx x cos ) sin cosx x x 1

k k

Trang 18

4sin 4cos (1 sin ) cos 3sin 04sin 3cos 4sin cos 3sin 03(cos sin ) 4sin (cos sin ) 0(cos sin ) 3 4sin 0

4cos sin 0

3sin

3

2sin

(1) sin cos 2 2 cos

x= π +k π k∈

¢

Trang 19

Với t = − 2 ⇔sinx+cosx= − 2

(1 cos 6 ) cos 2 1 cos 2

0

cos 2 cos 6 cos 2 1 cos 2 0cos 6 cos 2 1 0 cos8 cos 4 2 02cos 4 1 cos 4 2 0

Trang 20

7

26

k x

k k

ππ

2 sin 2

x x x

πππ

x= − +π kπ k∈

¢

Trang 21

cos (1 cos ) sin 2sin (1 cos )cos cos sin 2sin (1 cos )

2sin cos 1 2sin 3sin cos 2 02sin (2cos 3)sin cos 1 0 (1)

Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến sin x

Ta có : ∆ =(2cosx+3)2−8(cosx+ =1) (2cosx+1)2

Nghiệm của (1) :

2cos 3 2cos 1

42cos 3 2cos 1 1sin

2

x≠(1) ⇔2 sin( 6+cos6 x) −sin cosx x=0

2 ;4

Trang 22

3 2cos 3cos3 cos 3sin 3 sin sin 3 1

2

3 2

1 3 cos3 cos sin 3 sin 1

22

3 sin 2 cos 2 4sin 1 0

2 3 sin cos 4sin 2sin 02sin 3 cos sin 2 0sin 0

x

ππ

(2sin x 1 tan 2x 3 2cos x 12 − ) 2 + ( 2 − =) 0 (1)

k

x= ± +π π k∈

¢

Trang 23

ππ

4sin cos 0

2cos 1

k

x k

ππ

1cos

Trang 24

sin cos 0(sin cos )(1 sin )(1 cos ) 0 1 sin 0

2sin 7 sin 2sin 2 1 02cos 4 sin 3 cos 4 0

k

k x

cos 2 0cos 2 (2cos cos 1) 0

Trang 25

49

DB 2

A2007

2 2

2cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )

2cos 1 3 sin 2 2 3(sin 3 cos )cos 2 3 sin 2 2 3(sin 3 cos )

2

k x

sin cos sin coscos cos 2 0

Trang 26

(1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan− x + x = + x (1) điều kiện : cosx≠0

(1) cos sin (sin cos )2 sin cos

cos sin 0(cos sin )(cos 2 1) 0

x k x

Trang 27

sin cos

2 2(sin cos )sin cos

1

2sin 2 1 sin 2 1

k k x

(1) cos sin 4cos 22 0

k k x

Trang 28

23sin cos 2 sin 2 2sin sin 2cos 2 sin 0 2sin sin 1 0sin 1

2 ;6

726

x= − +π k kπ ∈

¢

Trang 29

63

DB 2

D2008

2 2

2

sin sin cos

cos

sin cos 2sin 1 0

526

2

x x

k k x

Trang 30

3 cos5 sin 5 sin sin 0

3 cos5 sin 5 2sin

k k x

(1 4sin 4sin ) cos 1 sin coscos 2sin 2 4sin cos 1 sin cos 02sin 2 1 sin 2sin 2 1 0

1sin 2 sin

;12

512

26

Trang 31

24sin 2 8sin 2 3 0

3sin 2 ( )

2

1 sin 2 cos 2

cos1sin

x x

22cos x 2sin cosx x 2 2 cosx 0

4

x x

sin 1

1cos

2

x x

2 23

Trang 32

Ta có : cos 4x=2cos 22 x−1 ; 2sin2x= −1 cos 2x

2(1)⇔2cos 2x− +1 6 1 cos 2− x − =1 0 ⇔2cos 22 x−6cos 2x+ =4 0

cos 2 1

cos 2 2 (VN)

x x

=

Trang 33

Bài tập lượng giác 11 Nguyễn Thanh Lam

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	2,09 MB