Luyen thi DH chuyen de 4.PT luong giac

b Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác.. Ví dụ:ẹHVLang 96D... Một số phơng trình có tham số: Bài 1.

ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn

B i 4 ài 4 : Phơng trình và hệ PT lợng giác

Một số kiến thức cần nhớ

1 Các công thức biến đổi lợng giác

a) Công thức cộng:

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb

cos(a + b) = cosacosb - sinasinb

sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb

sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

1

tga tgb

tg a b

tgatgb





b) Công thức nhân đôi, nhân ba

cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a;

sin2a = 2sinacosa;

2

2

1

tga

tg a



sin 3a3sina 4sin ; cos3a a4cos a 3cos ;a

c) Công thức hạ bậc

2 1 cos 2 2 1 cos 2

d) Công thức chia đôi

2

x

t tg x  k  Ta có:

2 2



;

e) Công thức biến đổi

* Đổi tích thành tổng:

1

2

1

sin sin cos( ) cos( )

2

1

sin cos sin( ) sin( )

2

* Đổi tổng thành tích:

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

f) Một số công thức hay dùng:

2 Một số phơng trình lợng giác thờng gặp

a) phơng trình lợng giác cơ bản:

+ sinx = a

1

2

2

PTVN

PT có ngh

a





 





+ cosx = a

PTVN

PT có ngh

a



+ tgx = a ĐK:

2

x k , x =  k (tg = a)

+ cotgx = a, ĐK: x k  , x =  k (cotg = a)

b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác.

* Phơng trình bậc nhất:

sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ;

cos ( ) cos ( ) cos (













2

g x





* Phơng trình bậc 2:

2

a x b x c  đặt t = sinx (t  ).1

2

a x b x c  đặt t = cosx (t  ).1

2

2

0;

0;

atg x btgx c

acotg x bcotgx c

Ví dụ: 2.ẹHNHaứng cos2 4cos 5 0

2

c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx.

asinx + bcosx = c

Cách giải:

+ Cách 1: chia cả hai vế cho a2 b2 ; đặt:

ta đợc PT: sin(x ) 2c 2



*) Chú ý: Phơng trình có nghiệm  c2 a2 b2

+ Cách 2: Đặt b

tg a

  ta đợc phơng trình:

sin(x ) ccos

a

Ví dụ: ẹHHueỏ 99 3 sin 2xcos 2x 2

d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

Cách giải:

* Cách 1: Thử với cos2x = 0  sinx =  1 nếu nghiệm đúng pt thì đặt cosx làm thừa số chung

Với cos2x  0 chia cả hai vế cho cos2x ta đợc:

atg2x + btgx + c = d(1 + tg2x)

* Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x

Ví dụ:ẹHVLang 96D 2 cos2 x5sin cosx x6sin2 x 1

e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t  2

ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn

2

2 1

2

t

* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c

Đặt sinx - cosx = t, điều kiện t  2

2

2

2

t

at b   c bt at b c

Ví dụ HVCTQG.00:

2sin 2x 2 sinxcosx  1 0

3 Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các phơng trình lợng giác:

+ áp dụng các hằng đẳng thức;

+ áp dụng các công thức biến đổi;

+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;

+ Biến đổi về tích bằng 0;

+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;

+ Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0

4 Các ví dụ:

Giải các phơng trình sau:

Bài 1:

x

x tgx

gx

2 sin

4 cos 2

ĐS:

3

x  k .

2

1 3

2 cos 3

































x k  x k  x x  k  .

sin

2 sin 2

sin

sin

2

2 2

2





x

x x

x

.

x  k  x x  k  .

1

3

6

3 cos cos 3

sin







































x tg x

tg

x x

x x

HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1

AD công thức nhân 3 ĐS:

6

x  k .

Bài 5:3  tgx(tgx 2 sinx)  6 cosx 0

HD: Biến đổi theo sin và cos.ĐS:

3

x  k .

Bài 6:

2

2

y

y









HD: nhân (1) với (2) rút gọn tg2 y 4 sin 2 y

đặt

2

y

t tg    

  t = 0, t = ± 3

2

1 sin 4 cos 2

sin

.

3

HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.

Bài 8:

2

1 5

cos 4 cos 3 cos 2 cos

nx x

x

T

nx x

x

T

sin

2 sin

sin

cos

2 cos

cos

















thực hiện rút gọn bằng cách trên.

Bài 9: tgx sin 2 x 2 sin 2 x  3 (cos 2x sinx cosx)

HD: BĐ về dạng: (sinxcos )(sinx 2 x 3cos ) 02 x 

5 Một số phơng trình có tham số:

Bài 1 Tìm m để pt: sin2x + m = sinx + 2mcosx

có đúng 1 nghiệm 3

[0; ] 4

HD: PT  (sinx - m)(2cosx - 1) = 0

Bài 2 Tìm m để phơng trình:

(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos2x

có đúng 2 nghiệm x  [0; ]

HD: PT  (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0

Bài 3 Tìm m để pt: mcos22x - 4sinxcosx + m - 2 = 0

có nghiệm x  [0 ; /3]

Bài 4: Cho phơng trình

0 2

sin 2 4 cos ) cos (sin









x

Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn 0;

2



 .HD: [-10/3;-2]

Bài 5: Cho phơng trình

3 cos 2 sin

1 cos sin

2











x x

x x

a

1) Giải phơng trình khi a=1/3

2) Tìm a để phơng trình có nghiệm

HD: Đa về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1

ĐS [-1/2,2]

Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )





















4

3 cos

2 1 2 cos

3

2

sin

x x

x

PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC -Đề thi đại học

I.Phửụng trỡnh ủửa veà pt moọt haứm soỏ lửụùng giaực.

1.ẹHẹNaỹng 97 cos 2x3cosx 2 0

2 ẹHQGHN 97D 2 cos 2 x5sinx

3 ẹH CSND 99 1 5sin x2cos2x0

4 ẹHYHP97 cos 2xsin2x 2cosx 1 0

sin cos sin 2

2

x x x

x

7.ẹHBK 96 sin4 xcos4 xcos 2x

8.HVBCVTHCM 2001 sin6 xcos6 xsin 2x

8

16

x x

cos

tg x

x

12.ẹHNHaứng 2000 1 3 tgx2sin 2x

II.Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi sin xvaứ cos x

13.ẹHHueỏ 99 3 sin 2xcos 2x 2

14.ẹHKTeỏ 97 cos 7x 3 sin 7x 2

ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn

15.ẹHMT 96 cos7 cos5x x 3 sin 2x 1 sin 7 sin5x x

4

x   x

III.Pt ủaỳng caỏp baọc hai ủoỏi vụựi sin x vaứ cos x.

17.ẹHCNghieọp HCM 00 cos2 x 3 sin 2x  1 sin2 x

18.ẹHTSaỷn NT 00 cos2 x sin cosx x 2sin2 x1 0

19.ẹHCThụ 97D cos2 x 3 sin cosx x 1 0

20.ẹHGT 01 2 2 sin xcosxcosx 3 2 cos2 x

21.ẹHDLẹẹoõ 97A tgxcotgx2 sin 2 xcos 2x

IV.Phửụng trỡnh ủoỏi xửựng vụựi sin xvaứ cos x

22.ẹHHueỏ sin cosx x2sinx2cosx2

23.ẹHDLHVửụng 97 sinxcosx 2 sin 2x0

24.HVCTQG.00: 2sin 2x 2 sin xcosx 1 0

25.CẹLẹXH 97: cosxsinx 1 sin 2x0

26.ẹHKTCN 96: sin 2x12 sin x cosx12 0

27.ẹHDLẹẹoõ 96B: sin 2x4 cos x sinx4

28.ẹHNNgửừ 00 sin 2 2 sin 1

4

x x 

29.ẹHMoỷ 99 1tgx2 2 sinx

30.ẹHQGHNoọi 97A cos sinx xcosxsinx 1

31.sinxcosx sin 2x1

32.ẹH 89 cosx sinx 2sin 2x1

33.ẹHNNgửừ HN 97 cotgx tgx sinxcosx

34 ẹHY Hnoọi 2001:cos3xsin3xcos 2x

35.ẹHQG HCM 2000: cos3 x sin3 x 1

36.ẹHCSND 2000 :

cos xsin x2sin 2xsinxcosx

6 Các bài tập luyện tập:

1)

2

1 3 sin 2 sin sin 3 cos 2 cos

.

2) sinx 3 cosx sinx 3 cosx  2

3)

x

x x

x

cos

1 3

cos 2 sin

1 3

sin

.

4)

x

x x

g

2 sin

2 cos 1 2 cot

5) cos 2 cos ( 2 2 1 ) 2





6) 3 cos 4 8 cos 6 2 cos 2 3 0







7)

1 1

cos 2

3 sin 4 2 sin 2 cos )

3

2

























x

x

x

8) 1  sinx cosx sin 2x cos 2x 0

Một số đề thi từ năm 2002

1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phơng trình  cos 2 3

2 sin 2 1

3 sin 3 cos sin





x

x x

2) Giải pt

x

x x x

2 4

cos

3 sin ) 2 sin 2 (

3) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phơng trình 

x x

tgx x g

2 sin

2 2

sin 4 2

4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng 0;14 của pt  cos 3x 4cos 2x3cosx 4 0 KB 2003

5) Giải phơng trình

cot 2

g x



6) Giải phơng trình cos cos2 sin 1

2

x tgx x x x tgx tg 

7) Cho phơng trình 2sin cos 1

(1)

a



a) Giải phơng trình (2) khi 1

3

a 

b) Tìm a để phơng trình có nghiệm

8) Giải phơng trình

2

1

sin 8cos x  x (DB 2002)

x

tgx

10) Giải phơng trình 3 tgx tgx 2sinx6cosx (DBKA 2003)0

11) Giải pt cos 2xcosx tg x2 2 1 2 (DBKA 2003)

12) Giải phơng trình 3cos 4x 8cos6 x2cos2x  (DBKB 2003)3 0

13) Giải phơng trình 2 3 cos 2sin2

1 2cos 1

x x

x





(DBKB 2003)

14) Giải phơng trình sin2 2 cos2 0

tg x



2

2 1 sin cos sin

x





(DBKD 2003) 16) Giải phơng trình 2sin 4

cot

sin 2

x

gx tgx

x

17) Giải pt 5sinx 2 3 1 sin   x g xt 2 (KB 2004)

18) Giải phơng trình :

2cosx1 2sin  xcosx sin 2x sinx KB 2004

19.Giải phơng trình(Đề CT- khối A năm 2008) :

3

2

x







20 (Đề CT- K B - 08)Giải phơng trình : sin3 - 3cos 3 x = sinxcos 2 x - 3sin 2 xcosx.

22 (Đề CT- K D - 08) Giải phơng trình :

2sinx(1+cos2x) +sin2x= 1+2cosx.

23 (KA - 07)Giải phơng trình :

( 1 + sin 2 x) cosx + ( 1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x

24 (KB - 07)Giải pt : 2sin 2 2x +sin7x -1 = sinx

25 (KD - 07)Giải pt:

2

x

26 (DBKA - 07)Giải pt:

Sin2x +sinx - 1 1

2cot 2 2sinx sin 2x  g x.

27.(DBKA - 07)Giải phơng trình:

2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x +1= 3( sin x + 3 cos x)

Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn

Sin      

29.(DBKB - 07)Gi¶i pt:

x

x

cos

2 sin

+ x

x

sin

2 cos

= tgx- cot gx

30 (DBKD - 07)Gi¶i pt: 2 2 sin 











 12



x cosx = 1.

31 (DBKD - 07)Gi¶i pt : (1– tgx)( 1+ sin2x) = 1+tgx.

32.(KA - 06)Gi¶i ph¬ng tr×nh :

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x





33 (DBKA - 06)Gi¶i ph¬ng tr×nh :

cos3x cos 3 x - sin3x.sin 3 x = 2 3 2

8



34 (DBKA - 06)Gi¶i pt : 2sin(2x- )

6

 +4 sinx +1 = 0.

35 (KB - 06) Gi¶i pt : cotgx + sinx 4

2











tg tgx

36 (DBKB - 06) ( 2sin2 x - 1)tg 2 2x + 3(2cos 2 x - 1) = 0.

37 (DBKB - 06) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

cos2x +( 1+2cosx) (sinx - cosx) = 0.

38 (KD - 06) Gi¶i pt : cos3x +cos2x - cosx -1 = 0

39 (DBKD - 06) Gi¶i pt: cos3 x +sin 3 x +2sin 2 x = 1.

40 (DBKD - 06) : 4sin3 x +4sin 2 x +3sin2x +6cosx = 0.

41 (KA - 05) Gi¶i pt : Cos2 3x cos2x - cos 2 x = 0.

42 (DBKA - 05)Gi¶i ph¬ng tr×nh :

2 2 cos3 x 3cos x sin x 0.

4



43 (DBKA - 05)Gi¶i pt : 3 sin x



44.(KB - 05) : 1 + sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0.

45 (DBKB - 05) : sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0.

46.(DBKB-05)

x

π

47.(KD - 05) cos4 x +sin 4 +cos(x -

4

π

)sin(3x-4

π

) - 3

2 = 0.

48 (DBKD - 05)sinxcos2x +cos2 x(tg 2 x-1) +2sin 3 x = 0.

cos x

2

2

3 2



50.Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4( sin 3 x +cos 3 x) = cosx +3sinx.

51 (KA - 09) Gpt (1 2sin x) cos x 3

(1 2sin x)(1 sin x)





sin x cos xsin 2x  3 cos3x 2(cos 4x sin x 

53 .(KD-09)Gpt. 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0  

54.(CD 09) (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x 2   