Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó tại các điểm E và F.. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax,
Trang 1Một số bài toán tổng hợp hình học phẳng kỳ i
( lớp 9)
Bài toán hệ thức
1.Cho ∆ABC, AB = 1, àA=1050, àB=600 Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1
Vẽ ED//AB ( D thuộc AC) Chứng minh rằng:
3
2.Cho hình thoi ABCD với àA= 1200 Tia Ax tạo với tia AB thành xABã = 15 0 và cắt cạnh BC tại M, cắt đờng thẳng CD tại N Chứng minh rằng:
3
3.Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt
CD tại F Chứng minh rằng:
4
4.Cho hình chữ nhật ABCD với AD = mAB (m > 0) Lấy điểm M trên cạnh BC,
đờng thẳng AM cắt đờng thẳng CD tại P Chứng minh rằng:
2
5.Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD ( hoặc đờng thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F Chứng minh rằng:
6.Cho ∆ABC vuông tại A Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD ⊥ BC, OE
⊥ CA, OF ⊥ AB Hãy xác định vị trí của điểm O để OD2+OE2+OF2 nhỏ nhất
7.Cho ∆ABC có àA=1200, BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh rằng:
a2 = b2+c2+bc
8.Cho ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c và các đờng cao tơng ứng lần lợt là ha,
hb, hc Chứng minh rằng:
2
2
2 2 2
1 4
1 4
a
≤ + + − + + + + ≤ + +
Dấu “=” khi nào?
9.Cho ∆ABC vuông cân đỉnh A, M là một điểm thuộc cạnh BC Chứng minh rằng:
2MA2 = MB2 + MC2
10.Cho ∆ABC có àB=300 Dựng phía ngoài ∆ABC, ∆ACD đều Chứng minh rằng:
BD2= AB2 + BC2
11.Cho a, b, c là số đo của các góc nhọn thoả mãn:
cos2a+cos2b+cos2c≥2 Chứng minh: (tga tgb tgc)2 ≤ 1/8
12.Gọi A, B, C là các góc của tam giác ABC Tìm điều kiện của tam giác ∆
ABC để biểu thức:
2
sin 2
sin 2
Trang 2Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh
13.Cho ∆ABC có các đờng trung tuyến MB, NC vuông góc với nhau, chứng minh rằng: cotgB + cotgC ≥ 2
3 Bài toán 1:
Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Từ điểm A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax,
By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax,
By lần lợt tại E, F
1 Chứng minh A, E, M, O thuộc một đờng tròn
2 Chứng minh EO ⊥ OF
3 Chứng minh EF = AE+BF và AE.BF là không đổi khi M di chuyển trên nửa đ-ờng tròn (O)
4 Tìm vị trí của M để chu vi tứ giác( hoặc diện tích) tứ giác AEFB nhỏ nhất
5 Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp ∆EOF
6 AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì? vì sao?
7 Gọi I là giao điểm của MO và PQ Tìm quỹ tích của I khi M di chuyển trên nửa
đờng tròn (O)
8 Kẻ MH ⊥ AB( H thuộc AB) Chứng minh EB đi qua trung điểm của MH
9 Cho EO = a Tính MH theo R và a
10 Gọi r là bán kính của đờng tròn nội tiếp ∆EOF Chứng minh rằng:
r R
< <
Bài toán 2:
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By Từ M trên trên đ-ờng tròn khác A và B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax tại C, cắt By tại D và cắt đđ-ờng thẳng
BA tại E Gọi N là giao điểm của BC và AD Chứng minh rằng:
1 CN CM
NB = MD và suy ra MN ⊥ AB.
2 CODã = 90 0
3 DM CM
4 N là trung điểm của MH
5 Cho OD = d; OB = R.Tính MH theo d và R
Bài toán 3:
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B Ngời ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy một điểm I Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P
1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đờng tròn
2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Chứng minh ∆ABP vuông
4) Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích hình ABKI lớn nhất
Bài toán 4:
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Trên nửa đờng tròn lấy điểm M (
1 Chứng minh MD = MC
2 Chứng minh AD + BC không đổi khi M thay đổi trên nửa đờng tròn (O)
Trang 33 Chứng minh AD, AB là tiếp tuyến của đờng tròn (M) đờng kính DC.( hoặc là kẻ
4 Tìm vị trí của M trên nửa đờng tròn sao cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất
Bài toán 5:
Cho nửa đờng tròn (O;R), AB = 2R Vẽ dây AC = R, BD = 2R
1 Chứng minh rằng ã 0
2 Kẻ AE ⊥ CD và BF ⊥ CD Chứng minh CE = DF
3 Tính EF theo R
4 Chứng minh rằng S ABFE =S∆ACB +S∆ADB
Bài toán 6:
Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến PA, PB tới đờng tròn (O) với A, B là hai tiếp điểm Gọi H là chân đờng vuông góc vẽ từ A đến đờng kính BC của đờng tròn Chứng minh rằng, PC cắt AH tại trung điểm E của AH
Bài toán 7:
Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Bán kinh OC ⊥ AB, M là điểm trên nửa đờng tròn (O) ( khác A, B) Tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) tại M cắt OC và cắt tiếp tuyến tại A lần lợt tại D và E, AE cắt BD tại F Chứng minh rằng EA.EF = R2
Bài toán 8:
Cho ∆ABC nhọn Gọi O là trung điểm của BC dựng đờng tròn tâm O đờng kính BC, vẽ đờng cao AD của ∆ABC và các tiếp tuyến AM, AN với đờng tròn (O)
AM2
Bài toán 9:
Cho đờng tròn (O;r) nội tiếp ∆ABC tiếp xúc BC tại D vẽ đờng kính DE; AE cắt BC tại M Chứng minh rằng BD = MC
Bài toán 10:
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R) H là trực tâm của ∆ABC, vẽ OK⊥BC
1 Chứng minh rằng AH = 2OK
2 G là trọng tâm của ∆ABC Chứng minh rằng H, G, O thẳng hàng
Bài toán 11:
Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D là trung điểm AB E là trọng tâm ∆ACD Chứng minh rằng OE ⊥ CD
Bài toán 12:
Cho 2 đờng tròn đồng tâm O có bán kính R, r (R > r) A và M là 2 điểm thuộc
đờng tròn nhỏ ( A chuyển động, M cố định) Qua điểm M, ta vẽ dây BC của đờng tròn lớn sao cho BC ⊥ AM Chứng minh rằng:
1 MA2+MB2+MC2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A
2 Trọng tâm G của ∆ABC là điểm cố định
Bài toán 13:
Cho đờng tròn (O) đờng kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (O) ( A khác B,
C) Đờng phân giác trong của àAcủa ∆ABC cắt đờng tròn (O) tại K (K khác A), hạ AH
⊥ BC
1 Đặt AH = x tính diện tích ∆ABC theo R, x Tìm x sao cho diện tích ∆ABC
đạt giá trị lớn nhất
2 Chứng minh rằng khi A thay đổi tổng AH2+HK2 luôn là đại lợng không đổi
Trang 4Chuyên đề nâng cao hinh học 9 Biên soạn: Phạm hinh
3 Tính àB của ∆ABC, biết rằng 3
5
AH
Bài toán 14:
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB Kẻ một dây AC Gọi M là điểm chính giữa của cung AC H là giao điểm của OM và AC
1) Chứng minh OM//BC
2) Từ C kẻ tia song song và cùng chiều với tia BM, tia này cắt đờng thẳng OM tại
D Chứng minh MBCD là hình bình hành
3) AM kéo dài cắt CD tại K Đờng thẳng KH cắt AB tại P Chứng minh ∆APH
đồng dạng với ∆ACB
Bài toán 15:
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, dây AC và tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn (
đờng tròn tại H, cắt Bx tại D
1) Chứng minh FB = BD và HF = HD
2) Chứng minh ∆HBD đồng dạng với ∆CAF
3) Chứng minh DB2 = DH.DA
4) Gọi M là giao điểm của AC với Bx Chứng minh MB2= MC.MA
Bài toán 16:
Cho ∆ABC vuông tại A Ta vẽ các nửa đờng tròn nằm ngoài tam giác, lấy AB
và AC làm đờng kính Một cát tuyến qua A cắt nửa đờng tròn AB ở D, nửa đờng tròn
AC ở E
1) Tứ giác BDEC là hình gì?
2) Gọi F là trung điểm của DE Chứng minh rằng đờng vuông góc với DE tại F đi qua một điểm cố định khi cát tuyến quay xung quanh A
3) Tìm quỹ tích của các điểm F
4) Với vị trí nào của cát tuyến DAE, độ dài của DE là cực đại, khi đó tứ giác BDEC là hình gì?
Bài toán 17:
Cho đờng tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A BC là tiếp tuyến chung ngoài( B, C lần lợt là tiếp điểm của (O) và (O ) với tiếp tuyến’ ) Tiếp tuyến chung trong cắt BC tại I Chứng minh rằng,
1 I là trung điểm của BC
2 ∆ABC và ∆OIO’ lần lợt vuông tại A, I
3 Các tứ giác DIEA và ABKC là hình chữ nhật.( D là giao điểm của AB và OI, E là
4 Kéo dài AC cắt (O) tại F Chứng minh B, O, F thẳng hàng
5 Gọi M là trung điểm của OO’ Chứng minh MI ⊥DE
Bài toán 18:
Cho hai đờng tròn (O1;R1) và (O2;R2) tiếp xúc ngoài tại A Lấy điểm B và C trên đờng tròn (O1) và (O2) sao cho ã 0
90
1 Chứng minh O1B//O2C
2 Nối BC cắt O1O2 tại D Tính O2D theo R1, R2
3 Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh I thuộc một đờng tròn cố định
Trang 54 Chứng minh AH không vợt quá 1 2
1 2
2R R
R +R
Bài toán 19:
Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB M là một điểm thuộc đoạn OA Vẽ đờng tròn (O’;
2
MB
) đờng kính MB Gọi I là trung điểm của đoạn MA, kẻ dây cung CD ⊥
AB tại I Đờng thẳng BC cắt (O’) tại K
1 ACMD là hình gì? Vì sao
2 Chứng minh D, M, K thẳng hàng
3 Chứng minh MC ⊥ DB
4 Chứng minh đờng thẳng IK là tiếp tuyến của đờng tròn (O’)
5 Xác định vị trí M trên đoạn OA để diện tích ∆IKO’ lớn nhất
Bài toán 20:
Cho đờng tròn (O;R) và (O’;r) cắt nhau tại A và B (R > r) Gọi I là trung điểm của OO’ Kẻ đờng thẳng vuông góc với IA tại A, đờng thẳng này cắt các đờng tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D ( khác A)
1 Chứng minh AC = AD
2 Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Chứng minh rằng KB ⊥ AB
3 Nối Avới O cắt (O) tại điểm thứ 2 là G, nối A với O’ cắt (O’) tại điểm thứ 2 là
Q Chứng minh AB ⊥ GQ
Bài toán 21:
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF (A, E thuộc (O) và B, D thuộc (O )’)
1 Gọi M là giao điểm của AB và EF Chứng minh rằng ∆AOM đồng dạng ∆
BMO’
2 Chứng minh rằng AE ⊥ BF
3 Gọi N là giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng ba điểm O, N, O’ thẳng hàng