Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải và cách thiết lập công thức tính 3.. Các kết quả tính gần đúng được lấy đến 4 chữ số thập phân Bài 1.. Từ một tấm tôn hình tròn bán kính R 17234 ta
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Khóa ngày 19-01-2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Qui định chung:
1 Đề thi gồm 10 bài toán, mỗi bài 5 điểm
2 Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải và cách thiết lập công thức tính
3 Thí sinh chỉ ghi quy trình bấm phím nếu đề bài có yêu cầu, khi đó cần phải ghi rõ loại máy sử dụng
4 Các kết quả tính gần đúng được lấy đến 4 chữ số thập phân
Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số yf x( ) x e2x trên đoạn 2011 1
2 ; 2011
Bài 2 Cho f x( )3 x2 1 3x5 và ( ) sin 22 3 cos3 5
7
g x x x
Tính: a) f g 713 ) 1
2011
b f f f
)
5
c g g g
Bài 3 Giải phương trình 5sin 2x 5cos 2x 3,1432
Bài 4 Giải hệ phương trình: 2 2 11
3( ) 27
x y xy
x y x y
Bài 5 Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 8
8 2
5
x x
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường
thẳng BC là 3x y 3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp là r 2,3456 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
2
( ) :P yf x( )x x và ( ) : ( )C g x x36x215x4
Bài 8 Từ một tấm tôn hình tròn bán kính R 17234 ta cắt đi một hình quạt rồi uốn phần còn lại
thành một hình nón Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón, khi đó hãy tìm số đo (theo đơn vị độ, chính xác đến giây) của cung quạt bị cắt bỏ
Bài 9 Cho tứ diện SABC có SABASC900, BSC1200, SB2 ,SA SC3SA và
1119
SA Tính thể tích của tứ diện SABC
Bài 10 Cho dãy số u xác định bởi n 7 1
1
1
1 3 2011,
3
n n
n
u
u
với n 2 Tính u với k k 202011
_ Hết _
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Bậc THPT năm học 2010-2011
Qui định chung: Thí sinh chỉ được điểm tối đa khi có cách giải đúng và kết quả đúng Trường
hợp cách giải và công thức đúng nhưng kết quả sai thì cho 1/2 số điểm của phần ấy Trường hợp công thức đưa ra sai mà kết quả đúng thì không tính điểm cả hai phần Trường hợp kết quả sai chữ số thập phân cuối cùng thì trừ 0,25 điểm ở phần ấy
1
Đặt D= 20112 ; 1
2011
, ta thấy f xác định, liên tục trên D
và có f x'( ) 1 2 e2x
1
2
x
20112 1,1356
2011
f
2
f
Vậy: Max f x x D ( )0,8466 đạt được khi 1ln 2
2
x
Và Min f x x D ( )1,1356 đạt được khi x 20112
( ) 0,8466
x D
Max f x
( ) 1,1356
x D
Min f x
2
2
1
2011
b f f f
1,5
5
c g g g
3
Ta thấy: Phương trình đã cho 5sin 2x 51 sin 2x 3,1432
Đặt t 5sin 2x , điều kiện t 0 Ta có:
2
1 2
2
2
3,1432 (3,1432) 20
0 ( ) 2
3,1432 5 0
3,1432 (3,1432) 20
0 2
2
Với t t2 ta có:
2
1 cos 2
2
2x2,5217k 2 1,2609
Trang 3Đặt S x y
P xy
S P
Dẫn đến 2
5 221 2
5 49 0
5 221 2
S
S S
S
1
Với 5 221
2
S ta có 27 221
2
P
Suy ra 3,0344 6,8987
2
Với 5 221
2
S ta có 27 221
2
P
Suy ra 2,5959 2,3371
2,3371 2,5959
2
5
Đặt
8 2
5
x
A x
5
a b c
Ta có Aa x b cx 2 8
C a C a x b cx C a x b cx
C a x b cx C a x b cx
C a x b cx C a x b cx
C ax b cx C x b cx
2
Như vậy, x chỉ có trong các số hạng 8 3 5 6 3
8
C a x b cx và
4 4 8
8
C a x b cx
với hệ số tương ứng là C a83 53bc2 và C a b84 4 4
1
Vậy hệ số của x trong khai triển đã cho sẽ bằng: 8 C a83 53bc2C a b84 4 4 1
6
Ta có B1;0 Đặt x A a thì A a ;0 ;C a ; 3a 3 và 2 1 3 1
;
a a
G
1
Ta có AB a 1 , AC 3 a 1 ,BC2a1
ABC
S AB AC p r r AB BC CA
2
3 1
AB AC r
2
Trang 4Với a 1 3 1 r, ta có G5,2722 ; 3,6998 1
Với a 1 3 1 r, ta có G 3,2722 ; 3,6998 1
7
Gọi tiếp tuyến chung là y ax b
Giả sử, tiếp tuyến tiếp xúc với ( )P và ( ) C lần lượt tại các
tiếp điểm có hoành độ là x và 1 x2
1
Ta có hệ:
2
'
f x ax b x x ax b
1
Từ (3) và (4) ta có
2
1
(5) 2
x
Từ (1) và (3) ta có bx12 (6)
Từ (2), (4), (5) và (6) ta có
9x 64x 216x 384x 272 0
2 2
2
9 28 68 0 ( )
x
x
2
Thế vào (4) ta được a3, suy ra b4
Vậy có một tiếp tuyến chung duy nhất là y3x 4 1
8
r R
x Gọi độ dài cung hình quạt còn lại sau khi cắt bỏ là x(đơn vị
dài), thì hình nón tạo thành có đường sinh là R, chu vi đáy
là x Gọi đường cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là
h và r
Ta có: 2 r x từ đó suy ra
2
x r
Theo Pitago:
2
2
4
x
Do đó:
2
1
1
Trang 52 2
R
đạt giá trị lớn nhất
2 2
R
đạt giá trị lớn nhất
2
2
R
đạt giá trị lớn nhất
2
4
R
đạt giá trị lớn nhất
Vì V đạt giá trị lớn nhất là hằng số
Nên V đạt giá trị lớn nhất
2
R
3
R
x
1
Số đo ứng của cung có độ dài x là
Suy ra số đo của cung bị cắt bỏ là
Giá trị lớn nhất của thể tích là
3
2
9 3
R
V
0 ' "
293 56 20
0 ' "
66 340 1,0555
V
0,5 0,5 1
9
Lấy MSB N SC, sao cho SA SM SN a(đặt)
Ta có AM a, AN a 2, MN a 3
Suy ra AMN vuông tại A
1
Gọi H là trung điểm của MN thì H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác vuông AMN
Vì S cách đều ba điểm , ,A M N nên SH là trục của đường
tròn ngoại tiếp tam giác vuông AMN, suy ra SH AMN
Suy ra
3
.
2
a
V SH S a a a a
1
Ta có .
.
1 6
S AMN
S ABC
V SA SM SN
V SA SB SC
Suy ra
3
2 6
2
a
V V
1
Trang 6Thay a SA 1119 ta tính được V V 1,5785 2
10
Đặt u1tan
1
1
1
tan 30
1 1 tan 30 tan
3
u u
u
Bằng quy nạp ta chứng minh được u n tan ( n1)300
Suy ra: u1u6 1n , u2 u6n2, u3 u6n3 u4 u6n4, u5 u6n5, u6 u 6nvới n 1
2
Ta có:
20 (18 2) 2 (mod 6)
k 2 22010(mod 6)
30 67
2 (2 ) (mod 6)
2 4 (mod 6)67 8 4 (mod 6)66
6
8 4 mod 6 2 mod 6
1
Do đó
7
1 3 2011
4,9783
3 2011
k
u u
4,9783
k