Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O ; H là trực tâm của tam giác, M là điểm trên cung BC không chứa A a Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.. Ch
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẾN TRE
TRƯỜNG THPTCS GIỒNG TRÔM
ĐÁP ÁN ĐỀ TƯ LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Bài 1.
a) Tìm x biết x 12 + 18 =x 8 + 27
b) Chứng minh đẳng thức :
.
Bài 2.
Cho hàm số y = ax2 và y = – 2x + m có đồ thị lần lượt là (P) và (d) trên cùng một trục số
a) Tìm a để (P) đi qua điểm A(1 ; 1
2), tìm m để (d) cũng đi qua A
b) Vẽ đồ thị (P) và (d) với a và m vừa tìm được
c) Với a vừa tìm được ở câu a), hãy tìm m để (d) là tiếp tuyến của (P)
Bài 3
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H là trực tâm của tam giác, M
là điểm trên cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành
b) Gọi N , E lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC
Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí của điểm M để NE có độ dài lớn nhất
Bài 4.
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 và abc ≠ 0 thì
0
GIẢI
Bài 1.
a) x 12 + 18 =x 8 + 27 ⇔ 2x 3 + 3 2 = 2x 2+ 3 3
⇔ 2x( 3– 2) = 3( 3– 2) ⇔ 2x = 3 ⇔ x=32
b) 2 2 . 1 ( 2)( 1) (2 2)( 1) . 1.
1
x
= 2 . 1
1
x
x− x =
2 1
x− (đpcm)
Bài 2.
Cho hàm số y = ax2 và y = – 2x + m có đồ thị lần lượt là (P) và (d) trên cùng một trục số
a) Tìm a để (P) đi qua điểm A(1 ; 1
2), tìm m để (d) cũng đi qua A
(P) đi qua A(1 ; 1
2) ⇔ 1
2 = a.12⇔ a = 1
2 ⇒ y = 1
2x2
Trang 2(d) đi qua A(1 ; 1
2) ⇔ 1
2 = – 2.1 + m ⇔ m = 5
2⇒ y = – 2x + 5
2 b) Vẽ đồ thị (P) và (d) với a và m vừa tìm được
Bảng giá trị của (P) :
y = 1
Bảng giá trị của (d) :
y = – 2x + 5
2
5 2
1 2
Đồ thị của (P) và (d) :
f(x)=(1/2)x^2 f(x)=-2*x+5/2 x(t)=1 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=1/2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-2
2 4 6 8 10 12 14
x f(x)
c) Với a vừa tìm được ở câu a), hãy tìm m để (d) là tiếp tuyến của (P)
Lập pt hoành độ giao điểm :
Trang 32x2 = – 2x + m ⇔ x2 + 4x – 2m = 0
∆’ = 4 + 2m
Để (d) tiếp xúc với (P) thì pt hoành độ giao điểm phải có nghiệm kép
Tức là : 4 + 2m = 0 ⇔ m = – 2
Vậy (d) là tiếp tuyến của (P) khi m = – 2
Bài 3
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H là trực tâm của tam giác, M
là điểm trên cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành
b) Gọi N , E lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC
Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí của điểm M để NE có độ dài lớn nhất
Giải :
a) Ta có : BH ⊥ AC và CH ⊥ AB nên để BHCM là hình bình hành thì MC ⊥ AC tại C
và MB ⊥ AB tại B
Do đó AM là đường kính đường tròn tâm (O)
b) Ta có : E đối xứng của M qua AC
⇒ EC ⊥ AC và EC = MC ⇒
EC // BH và EC = BH
Vậy BHEC là hình bình hành
Chứng minh tương tự :
BNHC cũng là hình bình hành
Suy ra : HE // BC và HN // BC
Theo Tiên đề Euclide, qua H có duy nhất
Một đường thẳng song song với BC
Hay nói khác đi : N, H, E thẳng hàng
c) Theo cmt : BC = 1
2NE ⇒ NE lớn nhất khi và chỉ khi BC lớn nhất tức là dây cung BC lớn nhất khi và chỉ khi BC là đường kính
khi đó tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng với A
và M là điểm đối tâm của A
N
K
E
M
L
J
H
O A
Trang 4NE = 13.04 cm
N'E' = 13.91 cm
E' N'
N
K
E
M
L
J
H
O A
B'
Bài 4.
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 và abc ≠ 0 thì
0
Ta có :
a + b = -c ; b + c = - a ; c + a = - b
(a + b)2 = c2⇒ a2 + b2 – c2 = – 2ab
(b + c)2 = a2⇒ b2 + c2 – a2 = – 2bc
(c + a)2 = b2⇒ c2 + a2 – b2 = – 2ca
Do đó :
2ab 2bc 2ca
= –1
2
abc abc abc
1 2
a b c abc
+ +
− ÷ = 0 với abc ≠ 0
