SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH
-
-ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn Toán Lớp 11
(Thời gian: 180 phút)
- -Câu 1 Giải phương trình: 3 sin 2x−2 cos2x =2 2 2 cos2+ x
Câu 2 Tìm giới hạn: 3
0
8 2 lim
sin 2011
x
x x
→
+ − .
Câu 3 Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC); tam giác DAB
cân; tam giác ABC vuông tại B và ·BAC=α Gọi β là góc tạo bởi hai mặt
phẳng (DAC) và (DBC) Chứng minh rằng: tan tan 1 cos2
cos
α
α β
α
+
Câu 4 Tính các góc của tam giác ABC, biết các cạnh a, b, c và các góc A, B, C thỏa
mãn hệ thức: 4 ( )
2 3 3 sin sin sin
p p a bc
− ≤
=
( p là nữa chu vi của ∆ABC).
Câu 5 Cho a, b, c dương và thỏa mãn a2+ + =b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
P
− − − .
-Hết -Họ tên thí sinh:………
Số báo danh:………
Trang 2SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH
-
-ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM Môn Toán Lớp 11
1(2.đ)
2 2
3 sin 2 2 cos 2 2 2 cos2
2 3 sin cos 2 cos 4 cos
2
cos 0
6
x
x x
π
π π
π π
⇔ − ÷÷= ⇔ − ÷=
> >
⇔ − = ⇔
= +
÷
<
− ÷= −
cos 0
3 ,
2
x
π π
π π
<
= +
⇔ = + ∈¢
0.50
0.50
0.75
0.25
2(2.đ)
( ) ( )
3 3
3
3
0
3 0
8 2
8 2
2011.sin 2011
sin 2011
2011
8 2
lim
12
2011.sin 2011
2011
lim
sin 2011 12.2011 24132
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
→
→
→
+ − + − =
+ − =
+ + + +
+ + + +
= + −
0.50
1.00
0.25
0.25
Trang 3Câu Hướng dẫn giải Điểm
3(2.đ)
- Gọi H là hình chiếu của A lên DC, trên DB lấy điểm K sao cho
HK vuông góc với DC, ta có:
- Góc tạo bởi hai mặt phẳng (DAC) và (DBC) là β =·AHK
( )
( )
1 ( )
2
cos
2
BC AD
BC AB gt
DC HA
DC HAK AK DC
DC HK
AK
AK DBC AK KH
HK
AB AC AD AC
AD AK
β α
α
⊥
⊥
⊥
0.50
0.50
0.50
Trang 4Câu Hướng dẫn giải Điểm
3(2.đ)
( )
2 2
2
2
Trong ADC:
cos Trong AHK: DH
α
+
Từ (3), (5), (6) suy ra điều phải chứng minh
0.50 0.50
4(2.đ)
2 2
* 4
2
1
1 sin 1 cos
A
A
3 3 8
−
Dấu “=” xảy ra khi
2 3
2 2
2
π π
=
=
−
= = =
0.50
0.10
0.50
5(2.đ)
( ) ( ) ( )
2
*
1 3
1 3
3, khi
a
a b c
b
P
P
− >
>
− >
+ +
+ + ≥
+ + ≥
⇒ ≥
⇒ = =b c= = 1
0.50
0.50
0.50
0.50
(Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa)