Ham so va do thi

Nắm đợc bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị.Biết phân loại các dạng≠ bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của các đơn vịkiến thức đó.. + Cần nắm vững khái n

Mục Lục

I Mục Đích Và Yêu Cầu

I.1 Đối với giáo viên

I.2 Đối với học sinh

II Nội Dung

II.1 Đặt vấn đề

II.2 Bài toán xuất xứ

II.3 Các khái niệm và tính chất cơ bản

II.3.1 Định nghĩa ánh xạ

II.3.2 Định nghĩa hàm số

II.3.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, giá trị tuyệt đối

II.3.4.Sự biến thiên của hàm số

II.3.5 Đồ thị của hàm số

II.3.5.1 Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ

II.3.5.2 Các phép biến đổi đồ thị

II.3.6 Chơng trình đại số bậc THCS cần quan tâm

II.3.6.1 Hàm số bậc nhất y=ax+b

II.3.6.2 Hàm số bậc hai y=ax 2

II.3.6.3 Vị trí tơng đối giữa y=ax và y=mx +n

II.4 Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục

II.4.1 Những sai lầm

II.4.2 Cách khắc phục

II.5 ứng dụng của hàm số và đồ thị

II.6 Các dang bài tập

II.7 Một số ví dụ

II.8 Bài dạy minh họa

II.8.1 Mục tiêu bài dạy

II.8.2 Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

II.8.3 Tổ chức day học

III Kết luận

I Mục đích và yêu cầu

I.1 Đối với giáo viên

1

Ngời giáo viên có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và các kiến thức

có liên quan Nắm đợc bản chất của từng khái niệm, các tính chất của hàm số, đồ thị.Biết phân loại các dạng≠ bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụng của các đơn vịkiến thức đó

Trớc khi dạy ngời giáo viên phải lờng đợc những sai lầm mà học sinh có thể mắcphải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đó thông tin đến cho học sinh hoặc đa bàitập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm rút ra kết luận tránh sai lầm, hoặc có thể

bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn vị kiến thức

đó

Tùy từng đối tợng học sinh giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi, ví dụcho phù hợp

I.2 Đối với học sinh.

+ Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một ánhxạ nào đó có phải là hàm số hay không?

Nắm đợc: tìm đợc chỉ ra đợc đâu là tập xác định của hàm số Các tính chất cơbản của các hàm số đợc học trong trờng THCS Cách cho một hàm số: lấy ví dụ vềmột hàm số Xác định đợc một hàm số

Hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số y =f(x) là gì ? Khái niệm hàm số về hàm sốvề

hệ tọa độ, vẽ hệ tọa độ chính xác, đẹp Biết cách biểu diễn một cặp số hữu tỉ trên hệtọa độ, biết xác định tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ và biết vẽ đồ thị hàm

số đặc biệt là các hàm số y=ax+b ( a ≠ 0) và y=ax2 ( a ≠ 0) một cách chính xác,

Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trong

tr-ơng trình đại số của bậc THCS Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới đợc bắt

đầu hình thành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo

Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số học sinh thờng gặp nhiều khó khăn đặcbiệt là cách nhận ra một quy tắc cho tơng ứng có phải là hàm số hay không? Cáchxác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túngvề dạng củahàm số Vì vậy phải đòi hỏi ngời giáo viên phải có một kiến thức vững vàng cùng

với phơng pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc, làm quen và t duy tốt tiếpnhận kiến thức này một cách chủ động, tích cực.

II.2 Bài toán xuất xứ.

Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán,…, mốiliên hệ giữa hai đại lợng, nhiều đại lợng Đại lợng là một khái niệm tổng quát hóamột số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lơng,…, thời gian,…Mỗikhái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lợng đợc biểu hiện bằng giá trị số Độ dài

có thể lấy những giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau Từ đó toán học

đã đa đến khái niệm “Đại lợng biến thiên” Chẳng hạn quan niệm độ dài là một đạilợng biến thiên theo dơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích S = a2 củahình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tơng quan )giữa hai đại lợng biến thiênấy

Theo quan niệm toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tơng quan giữa hai

đại lợng biến thiên x; y đợc viết dới dạng y=f(x) trong đó f là một công thức chophép chính xác với mỗi giá trị của x ta xác định đợc một giá trị tơng ứng của y Toánhọc ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng hơn, lý luậntoán học càng sâu sắc hơn, thì ngời ta thấy cần phải định nghĩa khái niệm hàm sốmột cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vấn đề

II.3 Các khái niệm và tính chất cơ bản.

* Hàm số: Để hiểu thêm về hàm số, trớc hết ta hãy cho học sinh làm quen vớikhái niệm ánh xạ

1 Các cầu thủ An, Bách, Hà, Dũng theo thứ tự mang áo số 1; 2; 3; 4 Sự tơngứng giữa tên cầu thủ và số áo là một ánh xạ từ tập hợp tên các cầu thủ đến tập hợp số

áo 1; 2; 3; 4

2 Các phép toán cộng trừ nhân chia trong Q cũng là các ánh xạ Chẳng hạn 3, 1

và -5 thuộc Q cho ta tơng ứng với số -1, 9 thuộc Q; ánh xạ này là quy tắc cộng hai sốtrong Q

3 Các phép đối xứng qua trục, qua tâm,…cũng là những ánh xạ

4 Các phép chiếu vuông góc các điểm của đờng thẳng (d) xuống đờng thẳng(a) là ánh xạ từ tập hợp các điểm của đờng thẳng (d) đến các điểm thuộc (a)

5 Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập X và Y bởi các điểm, biểu thị các tậphợp ấy bởi các vòng tròn, sự tơng ứng biểu thị bởi các mũi tên Xét các quy tắc cho tơng ứng thể hiện ở hình sau: Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tạisao?

Các quy tắc ở hình (e); (d); (g) là các ánh xạ

Chú ý: với mỗi phần tử thuộc X tơng ứng với một và chỉ một phần tử y ∈ Y Quy tắc ở hình (a), (b) không phải là ánh xạ

Chú ý:

+ Một ánh xạ f: X→Y sao cho ∀x1, x2 ∈ X mà f(x1) +f(x2) thì f đợc gọi là đơn

ánh hoặc ánh xạ ax –1.(ví dụ (c); (e); (f))

+ Một ánh xạ f: X→Y sao cho mọi y∈Yđều có tạo ảnh gọi là toàn ánh hoặc ánhxạ lên (d, e, f)

+ Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh (e, f) hoặc ánh xạ1-1 lên

II.3.2 Định nghĩa hàm số.

A) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp số thì

ánh xạ đợc gọi là hàm số Nh vậy một hàm số từ tập số X đến tập số Y là một quytắc cho mỗi giá trị x ∈ X tơng ứng với một và chỉ một giá trị y∈Y

Gọi hàm số này là f, ta viết:

F: X→Y

x y =f(x)

x: biến số; y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x

X: tập nguồn hay còn gọi là tập xác định của hàm số

Y: là tập đích hay còn gọi là tập giá trị.

* Các quy tắc khôg phải là hàm số

1) f : R R2) f : R R3)

5

x y

x

y - 3 3 1 2 1 2 - 1 - 2 - 2 - 1

2

-2-11

2

0

1

x y

x y

142

3

Xét hàm số f: X Y (X, Y ⊂ R)

* X đợc gọi là tập xác định của hàm số

Tập X có vai trò quan trọng, nó quy định biến số x đợc lấy những giá trị nào: do

đó tập xác định là tập tất cả các giá trị của x sao cho có thể xác định đợc giá trị tơngứng của y

Chúng ta cần chú ý tập xác định của các hàm số có dạng sau đây:

tập xác định là tập các giá trị x làm cho f(x) ≠ 0

tập xác định là tập các giá trị của x làm cho f(x) ≥ 0

Ví dụ:

1) Với hàm số Tập xác định (TXĐ): tập tất cả các số x ≠ 2

Hoặc tập xác định: ∀ x ≠ 2

2) Với hàm số TXĐ: Tập tất cả các số x≥ 0

Hay TXĐ: ∀ x≥ 0

3) Với hàm số y =  x - 3

TXĐ: ∀ x ≥ 3

* Theo định nghĩa của hàm số thì với mỗi x ∈ X; giá trị y=f(x) tơng ứng của hàm

số phải là một phần tử của Y Tập Y có thể thay bởi một tập số rộng lớn

Tập số rộng nhất ở cấp THCS là tập R Vì thế ngời ta nói hàm số f: X R

x y=f(x) tức là nhấn mạnh hai yếu tố:

x

Còn tập rất quan trọng ít đợc sử dụng trong chơng trình tính toán THCS đó là tậpgiá trị của hàm số.

Tập giá trị của hàm số f(x) là tập hợp gồm tất cả các phần tử f(x) khi x chạy khắp

X Đó là tập con của Y và đợc ký hiệu là f(x)

1 1

2

1

x x

1 1

2

1

x x

y

−

−

Đồ thị của hàm số f: X Y là tập con G = {(x; f(x)); x∈XƯ của tập tích

Để vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) trớc hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc Oxy,

Ox là trục hoanh, Oy là trục tung Khi đó mỗi điểm M của mặt phẳng đợc xác

định bằng hai tọa độ: hoành độ (x), tung độ (y) và ngợc lại mỗi cặp tọa độ (x, y)xác định một điểm của mặt phẳng

x x

x x

a x

x

ax

ax x

x

y y

x x

b ax b

ax x

x

y y

=

−

−

1 2

1 2 1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2 1

2

2 1

2 2 1

2

1

xx

xxxxax

x

axax

xx

yy

-1 -1 1

1 -2

• Ta có thể biết đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc

tọa độ vì vậy khi vẽ đồ thị ta chỉ cần vẽ với x ≥ 0,

sau đó lấy đối xứng qua O

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x.

9

-11

1 -1 -2

-2

2 3

2 3 4

x

y

0

y = x

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1 3 4 5 y

+ Tịnh tiến thep trục hoành

Ví dụ: đồ thị hàm số y = f(x-a) suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng phơng pháptịnh tiến theo trục hoành

Với a > 0 tịnh tiến theo chiều dơng của Ox

Với a < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Ox

Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x ta suy ra đồ

thị hàm số y = x + 1 bằng cách tịnh tiến theo

chiều âm của Ox đi 1 đơn vị

+ Đồ thị hàm số y = x – 2 bằng

cách tịnh tiến theo chiều dơng

của trục hoành đi 2 đơn vị

+ Tịnh tiến theo trục tung

Đồ thị hàm số y = f(x) + b đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách: Nếu b > 0 tịnh tiến theo chiều dơng của Oy

Nếu b < 0 tịnh tiến theo chiều âm của Oy

Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = x2 suy ra đồ thị hàm số y1 = x2 +1 bằng cách tịnhtiến theo chiều dơng của Oy một đơn vị dài

Y2= x2 – 2 bằng cách tịnh tiến theo chiều âm của Oy hai đơn vị dài

b) Phép đối xứng.

-2 -1

-2 -1

2 1

2 1 0 3 y

2

y

x

y = 2x

-1 -1 -2 -2 -3 -4

0 1 2 3

3 2 1 4 y

x

y=x 2 -2x-3 y=x 2 +2x-3

+ Đối xứng qua trục hoành

Y = f(x) và y = - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

Ví dụ: y = 2x và y = -2x

+ Đối xứng của trục tung

y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số

y = ax (a ≠ 0) là tập hợp các điểm nằm trên đờng thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và

điểm A(1; a) Đến lớp 9, do mở rộng tập Q R ( Tập số y = ax đã đợc chứngminh là đờng thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a) Suy ra đồ thị hàm số

y =ax + b bằng cách tịnh tiến theo trục tung, đồ thị hàm số y = ax; đồ thị hàm số y =

ax + b luôn cắt trục tung tại điểm B(0; b)

Ta biết rằng qua 2 điểm phân biệt ta hoàn toàn xác định đợc một và chỉ một

đờng thẳng Vì vậy để vẽ đợc đồ thị của hàm số y = ax + b tức là xác định đợc đờngthẳng (D) có phơng trình y =ax + b, ta thờng xác định hai điểm sau:

+ Giao điểm của (D) với các trục tọa độTrục hoành: A(-b/a; 0)

Trục tung: B(0; b)

11

+ a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng (D)

+ b gọi là tung độ góc của (D)

Trong hệ tọa độ vuông góc thì hệ số góc a của (D) là tang của góc x tạo bởi

đờng thẳng (D) với chiều dơng của trục hoành

- Nếu a > 0: góc tạo bởi đờng thẳng (D) với chiều dơng Ox là góc nhọn a càng lớn

độ lớn của góc càng lớn nhng đều nhỏ hơn 900

- Nếu a < 0: góc tạo bởi đờng thẳng (D) với chiều dơng Ox là góc tù a càng lớn thìgóc x càng lớn nhng đều nhỏ hơn 1800 và lớn hơn 900

Chú ý:

+ Trong trờng hợp đặc biệt a = 0 ta có hàm lũy số y = b, đồ thị của nó là

đờng thẳng vuông góc với trục tung

+ Trong trờng hợp các giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ quá gầnnhau, ta thay giao điểm của đồ thị với trục hoành bởi một điểm khác: M(x1;

(D’): y = a’x + b’trên cùng một hệ tọa độ vuông góc có các vị trí sau:

(D)// (D’) ⇔ a = a’ ; b ≠ b’ (D) cắt (D’) ⇔ a ≠ a’

(D) ⊥ (D’) ⇔ aa’ = -1

(D)≡ (D’) ⇔ a = a’ ; b = b’

f) Các ví dụ:

1 Viết phơng trình đờng thẳng :

* Song song với đờng thẳng y = x + 2 và đi qua điểm M(1; 2)

* Vuông góc với đờng thẳng y = x – 3 và cắt trục tung tại điểm có tung

độ là 2

Giải: Gọi phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b

* Do đờng thẳng này song song với đờng thẳng y = x + 2 nên a = 1 và b ≠

-2 -1

2 1

2 1

3 4 y

x 0

y = x+ 2

y = x+ 1

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1

3 4 y

x 0

y = - x+ 2

y = x - 3

-3

3

( nằm phía trên trục hoành)+ a < 0: Parabol quay bề lõm xuống phía dới, nhận gốc tọa độ làm điểmcực đại (cao nhất)

-1 -1 1

1 -2

3

-4

-7 y

y = - 2x 2

-3 -2 -1 0 1

(nằm phía dới trục hoành)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) ta cần xác định 1 số điểm để vẽ đờng cong (ít

nhất là 3 điểm) với x > 0 Sau đó lấy đối xứng qua trục hoành

II.3.6.3 Vị trí tơng đối giữa Parabol y = ax 2 và đờng thẳng y = mx + n.

-1 -1 1

1 -2

Đờng thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với Parabol nhng

ta không gọi là tiếp xúc với Parabol

a Các ví dụ:

1/ Xác định vị trí của Parabol y = x2 với các đờng thẳng sau:

+ y = x + 1+ y = 0+ y = -x -2+ y = 2x -1Giải:

+ Xét phơng trình x2 – x –1 = 0 ta có:

∆ = 1 + 4 = 5 > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Đờng thẳng y=x+1 cắt Parabol y =x2 tại hai điểm

+Xét phơng trình x2 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 0.Đờng thẳng y = 0 tiếp xúc vớiParabol y = x2 tại gốc tọa độ (trục hoành)

Đờng y = 2x – 1 tiếp xúc với Parabol tại điểm có hoành độ bằng 1

2/ Cho Parabol và đờng thẳng

a)Tìm giá trị của n để đờng thẳng tiếp xúc với Parabol

b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm

n x y

x

2

1 2

2

-1

1

1 -2

y = - 0,5x + 1

c)Xác định tọa độ giao điểm của đờng thẳng với Parabol nếu n = 1

Vẽ đồ thị của Parabol với đờng thẳng trong trờng hợp ấy

+ Việc tìm mối liên hệ giữa đờng bậc hai (phơng trình bậc hai ) và đờng bậc nhất ( y

= ax + b ) nhiều học sinh còn lúng túng.Vì vậy khi giải hệ phơng trình còn khókhăn

II.4.2.Cách khắc phục.

+ Cho học sinh nhìn nhận dới nhiều dạng : bảng ,biểu thức, sơ đồ ven đồ thị

+ Giải thích vì sao ( Vi phạm điều kiện nào ) không phải là hàm số (dựa vào ?? ).+ Khi dạy về mặt phẳng tọa độ ,giáo viên hớng dẫn thật kỹ cách biểu diễn một điểmtrên mặt phẳng tọa độ ,cho học sinh biểu diễn nhiều điểm trên cùng một mặt

1 −

−

= x

y8

1

−

nx

2

12

2

2 x2

y = 2x - 2

-1

1

1 -2

ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx – n = 0

+Học sinh nắm thật chính xác về sự biến thiên của hàm số dạng của đồ thị

II.5 ứng dụng của hàm số và đồ thị

+ Giải và biện luận phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

+ Họ đờng thẳng, Parabol đi qua một điểm cố định

Cho Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng y = mx + n

Xác định các hệ số a, m, n biết rằng Parabol đi qua A(-2;2); Đờng thẳng đi qua B(1;0)

và tiếp xúc với Parabol

Giải:

Vì Parabol y = ax2 (a ≠ 0) đi qua điểm A(-2;2)

182

1

=

a

02

1 2

=+

−mx mx

-1 -2

-2 -1

2 1

2 1

3 4 y

x 0

y = -x- 3 y = 2x- 3

3

-1 -1 1

2 -2

II Kiểm tra bài cũ :

Gọi hai HS lên bảng cùng một lúc :

HS1: a/ Điền vào ô trống các giá trị tơng

ứng của y trong bảng sau:

b/ Hãy nêu tính chất của hàm số y = ax2

(a ≠ 0)

HS2 :

a/ Hãy điền vào những ô trống các giá trị

tơng ứng của y trong bảng sau

a/ Lên bảng điềnb/ Nêu nhận xét rút ra saukhi học hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

Cả lớp cùng làm sau đónhận xét, ổ sung bài của haibạn

III Bài mới :

− −12

-1 1

-8

-6 -5

- Yêu cầu HS quan sát khi

GV vẽ đờng cong qua các

- Cả lớp làm vào vở

VD2 : Vẽ đồ thị hàm số

x -4 -2 -1 0 1 2 4 -8 -2 0 -2 -8

21

?42

GV:Tiếp tục đa lên bảng

HS hoạt động nhóm

HS tính đợc hoành

độ của điểm E’ gầnbằng 3,16

HS đọc to chú ý

Cả lớp theo dõi, ápdụng

Nhận xét :

Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

là 1 đờng cong đi qua gốctọa độ và nhận trục Oy làmtrục đối xứng

Đờng cong đó đợc gọi là 1Parabol với đỉnh O

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm ởphía trên trục hoành, O là

điểm thấp nhất của đồ thị.Nếu a < 0 thì đồ thị nằm ởphía dới trục hoành O là

điểm cao nhất của đồ thị Cho hàm số

a/ Trên đồ thị của hàm sốnày xác định điểm D cóhoành độ bằng 3 Tìm tung

độ điểm D bằng hai cách :Bằng đồ thị ; bằng tính y với

x = 3 và so sánh kết quả

- Bằng đồ thị tung độ của D:

y = - 4,5

- Bằng tính y :Tại x = 3 thay vào hàm số

- So sánh kết quả : ⇒ hai kếtquả bằng nhau

b/ Trên đồ thị của hàm sốnày xác định điểm có tung

y= −

543