Hàm số và đồ thị

Nếu trớc đây Toán học đóng vai trò quan trọng chủ yếu đối với pháttriển Cơ học, Vật lý học thì ngày nay Toán học không những chỉ xâm nhập vào cácngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật mà và

Lời nói đầu:

Từ yêu cầu công nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nớc đòi hỏi các nhà trờngphải không ngừng nghiên cứu cải cách đổi mới nội dung, phơng pháp giảng dạycác bộ môn văn hoá, nhằm giúp học sinh chẳng những tiếp thu đợc những đơn vịtri thức khoa học cơ bản ở các bộ môn mà còn vận dụng đợc vào trong thực hành

và trong đời sống thực tế Trong đó bộ môn Toán chiếm nhiều thời gian trong kếhoạch đào tạo Nếu trớc đây Toán học đóng vai trò quan trọng chủ yếu đối với pháttriển Cơ học, Vật lý học thì ngày nay Toán học không những chỉ xâm nhập vào cácngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật mà vào cả nhiều lĩnh vực trớc đây rất xa lạ vớinó: Sinh học, Ngôn ngữ học, Tâm lý học…

Trong chơng trình Toán của bậc THCS hiện nay, nhìn chung hệ thống bàitập đợc cấu trúc từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp và rất đa dạng về thểloại Do đó việc ứng dụng lý thuyết để giải quyết hết số lợng bài tập theo quy định

đối với học sinh là một việc làm hết sức khó khăn

Trong khuôn khổ đề tài này, bằng vốn kiến thức còn rất hạn chế của mình,

tôi xin nêu một số quan điểm trong quá trình nghiên cứu giải bài toán “Hàm số và

đồ thị” nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm tòi lời

giải của một dạng toán trên cơ sở kiến thức đã học Hy vọng nó sẽ là cầu nối giữa

lý thuyết và thực hành Toán học

Tôi rất mong nhận đợc ý kiến bổ xung xây dựng của tất cả các thày cô giáo,các vị phụ huynh, các em học sinh và tất cả các bạn đọc!

I/ Mục đích yêu cầu:

I.1 Đối với giáo viên:

Ngời giáo viên phải có kiến thức sâu rộng về hàm số, đồ thị hàm số và cáckiên thức có liên quan Nắm đợc bản chất của từng khái niệm, các tính chất củahàm số, đồ thị Biết phân loại các dạng bài tập đối với từng kiến thức, ứng dụngcủa các đơn vị kiến thức đó

Trớc khi dạy ngời giáo viên phải lờng đợc những sai lầm mà học sinh có thểmắc phải, từ đó điều chỉnh kịp thời bằng cách đa ra thông tin cho học sinh hoặc đabài tập tình huống cho học sinh trao đổi nhóm, rút ra kết luận tránh sai lầm hoặc cóthể bổ xung vào những ví dụ, những bài tập nêu bật bản chất của những đơn vị kiếnthức đó

Tuỳ từng đối tợng học sinh, giáo viên lựa chọn bài tập tình huống, câu hỏi,

ví dụ cho phù hợp

I.2 Đối với học sinh:

Cần nắm vững khái niệm hàm số, cách cho một hàm số, biết xác định một

ánh xạ nào đó có phải là hàm số hay không?

Nắm đợc, tìm đợc, chỉ ra đợc đâu là tập xác định của hàm số Các tính chấtcơ bản của các hàm số đợc học trong trờng THCS Cách cho một hàm số, lấy ví dụ

về một hàm số Xác định đợc một hàm số

Hiểu đợc khái niệm đồ thị hàm số y = f(x) là gì? Khái niệm hàm số về hệtoạ độ, vẽ hệ toạ độ chính xác, đẹp Biết cách biểu diễn một cặp số thực trên hệtrục toạ độ, biết xác định toạ độ của một điểm trong mặt phẳng toạ độ và biết vẽ đồthị hàm số đặc biệt là các hàm số y = ax + b (a ≠ 0) và y = ax2 (a ≠ 0) một cáchchính xác

Biết vận dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức trên trong từng dạng bài tập cóliên quan

II/ Nội dung:

II.1 Đặt vấn đề:

Khái niệm hàm số là một trong những khái niệm khó đối với học sinh trongchơng trình đại số ở bậc THCS Các khái niệm hàm số, đồ thị hàm số mới đợc hìnhthành ở lớp 7, từ đó phát triển đến các lớp tiếp theo

Các bài toán về hàm số, đồ thị hàm số, học sinh thờng gặp nhiều khó khăn,

đặc biệt là cách nhận ra một quy tắc cho tơng ứng có phải là hàm số hay không,cách xác định hàm số khi biết một số điều kiện, học sinh vẫn còn lúng túng vềdạng của hàm số Vì vậy đòi hỏi ngời giáo viên phải có một kiến thức vững vàngcùng với phơng pháp truyền thụ, cách dẫn dắt các em tiếp xúc làm quen và t duytốt tiếp nhận kiến thức một cách chủ động, tích cực

II.2 Bài toán xuất xứ:

Xuất phát từ những bài toán thực tế, bài toán chuyển động, sự mua bán…mối quan hệ giữa hai đại lợng, nhiều đại lợng Đại lợng là một khái niệm tổng quáthoá một số khái niệm cụ thể: độ dài, diện tích, thể tích, trọng lợng, thời gian… Mỗikhái niệm độ dài, diện tích, thể tích, trọng lợng, thời gian… đợc biểu hiện bằng giátrị số Độ dài có thể lấy giá trị khác nhau, cũng vậy diện tích sẽ khác nhau Từ đóToán học đã đa đến khái niệm “đại lợng biến thiên” Chẳng hạn quan niệm độ dài

là một đại lợng biến thiên theo đơn vị độ dài của cạnh và công thức tính diện tích S

= a2 của hình vuông cạnh a nêu lên mối quan hệ (mối tơng quan) giữa hai đại lợngbiến thiên ấy

Theo quan niệm của Toán học cổ điển: Một hàm số biểu thị mối tơng quangiữa hai đại lợng biến thiên x; y đợc viết dới dạng y = f(x), trong đó f là một côngthức cho phép xác định với mỗi giá trị của x, ta xác định đợc giá trị tơng ứng của y.Toán học ngày càng phát triển, các ứng dụng ngày càng nhiều hơn và đa dạng hơn,

lý luận Toán học càng sâu sắc hơn thì ngời ta thấy cần phải định nghĩa khái niệmhàm số một cách chuẩn xác hơn, phản ánh đúng bản chất vân đề

II.3 Các khái niệm và tính chất cơ bản:

Hàm số: Để hiểu thêm vầ hàm số, trớc hết ta hãy cho học sinh làm quen vớikhái niệm ánh xạ

II.3.1 Định nghĩa ánh xạ:

a) Cho hai tập hợp X, Y Ta gọi ánh xạ từ tập hợp X vào tập Y là một quytắc cho tơng ứng cứ với mỗi phần từ x ∈ X với một và chỉ một phần tử y ∈ Y Kýhiệu quy tắc đó là f ta có ký hiệu ánh xạ đó nh sau:

VD2: Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong R cũng là ánh xạ Chẳnghạn 3 và -5 thuộc R cho ta tơng ứng với số -2 thuộc R; ánh xạ này là quy tắc cộnghai số trong R

VD3: Các phép đối xứng qua trục, qua tâm… cũng là các ánh xạ

VD4: Các phép chiếu vuông góc các điểm của đờng thẳng d xuống đờngthẳng a là ánh xạ từ tập hợp “các điểm của đờng thẳng d” đến tập hợp “các điểmthuộc đờng thẳng a”

VD5: Nếu ta biểu thị các phần tử của mỗi tập hợp X và Y bởi các điểm, biểuthị các tập hợp ấy bởi các đờng cong khép kín, sự tơng ứng biểu thị bởi các mũitên

Xét các quy tắc cho tơng ứng thể hiện ở hình sau:

Quy tắc nào cho một ánh xạ? Tại sao?

X Y X Y

Một ánh xạ f: X →Y sao cho ∀y ∈ Y đều có tạo ảnh là toàn ánh hoặc ánhxạ lên (VD: (d), (e), (f)).

Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh (VD: (e), (f))hoặc ánh xạ 1 – 1

II.3.2 Định nghĩa hàm số:

a) Nếu các tập hợp X và Y trong định nghĩa ánh xạ nói trên là các tập hợp sốthì ánh xạ đợc gọi là hàm số Nh vậy, một hàm số từ tập số X đến tập số Y là mộtquy tắc cho mỗi giá trị x ∈ X tơng ứng với một và chỉ một giá trị y ∈ Y

Chú ý: a) X, Y đều là tập số (ánh xạ (f)) là một hàm số.

b) Có thể tồn tại những giá trị của y ∈ Y mà không có giá trị tơng ứng x ∈

X, những không thể có một giá trị thuộc X mà không có giá trị nào tơng ứng thuộcY

c) Quy tắc cho tơng ứng trong định nghĩa hàm số có thể đợc thể hiện bằng

x a y = 2x3) f: N → R

x a y = x3

2

2 -2

1 1

0 -1

* Các quy tắc sau đây không phải là hàm số:

1) f: R → R

x a y = x2) f: R → R

3 Kú

4)

1

1 2

Hay x = -(-x)

+) Nhận xét:

- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O(0; 0) làm tâm đối xứng

- Tổng đại số của hai hàm chẵn (hay lẻ) là một hàm chẵn )hay lẻ)

- Tích của hai hàm số chẵn hay hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn Còntích của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ là một hàm số lẻ

II.3.4 Sự biến thiên của hàm số:

phẳng đợc xác định bằng hai toạ độ: x – hoành độ; y – tung độ và ngợc lại mỗicặp toạ độ (x; y) xác định một điểm của mặt phẳng toạ độ.

Nói cách khác, hệ trục toạ độ Oxy xác định một song ánh giữa cặp số đợcsắp (x; y) (x ∈ R; y ∈ R) với một điểm của mặt phẳng toạ độ

Đồ thị của hàm số có thể là một tập hợp điểm rời rạc hay một tập đoạn đờngcong, đờng thẳng… Tuy nhiên, đa số đồ thị thờng gặp trong chơng trình THCS làmột tập hợp điểm, một đòng thẳng hay một đờng cong liền nét… Để xác định đúngdạng đồ thị của hàm số, thông thờng ta phải nghiên cứu trớc các tính chất của nó

và dựa vào tính chất ấy mà phác họa, sau đó mới chính xác hoá đồ thị bằng một số

điểm của nó

II.3.5.1 Đồ thị của hàm số chẵn, đồ thị của hàm số lẻ:

II.3.5.1.1 Đồ thị của hàm số chẵn:

Ta đã biết đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, vì vậy

ta chỉ vẽ với x ≥ 0, sau đó lấy đối xứng qua trục tung

a) Phép tịnh tiến:

* Tịnh tiến theo trục hoành:

Đồ thị hàm số y = f(x – b) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng phơngpháp tịnh tiến theo trục hoành

+ Với b > 0, tịnh tiến theo hớng dơng của Ox

+ Với b < 0, tịnh tiến theo hớng âm của Ox

+ Với b > 0, tịnh tiến theo chiều dơng của trục Oy

+ Với b < 0, tịnh tiến theo chiều âm của trục Oy

y = x2 y2 = x2 – 2

b) Phép đối xứng:

* Đối xứng qua trục hoành:

Đồ thị các hàm số y = f(x) và y = - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

* Đối xứng qua trục tung:

Đồ thị các hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

VD: Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3 và y = -x + 3

y y = x + 3

Xuất phát từ đồ thị hàm số y = ax; đối với học sinh lớp 7 thì đồ thị hàm số y

= ax (a ≠ 0) là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ O(0; 0) và điểm A(1; a) Đến lớp 9học sinh suy ra đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) bằng cách tịnh tiến theo trụctung, là đờng thẳng đi qua P(0; b) và Q( b

đ-+ a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng (d)

+ b đợc gọi là tung độ gốc của đờng thẳng (d)

Trong hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc thì hệ số góc a của (d) là tang của

góc α tạo bởi đờng thẳng (d) với chiều dơng của trục Ox

- Nếu a > 0: góc α là góc nhọn, a càng lớn thì α càng lớn nhng luôn nhỏhơn 90O

- Nếu a < 0: góc α là góc tù, a càng lớn thì α càng lớn những luôn thoảmãn 90O < α < 180O (trong trờng hợp này, để tìm α , học sinh phải tìm

β sao cho α + β = 180O và tgβ = a, do học sinh cha đợc học đến tỷ

c) Để xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b theo các điều kiện đã

trên cùng một hệ trục toạ độ có các vị trí tơng đối nh sau:

+ (d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’ (toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ phơng trình (*))

a) Song song với đờng thẳng y = x + 2 và đi qua M(1; 2)

b) Vuông góc với đờngthẳng y = x – 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ

là 2

+ Đỉnh là gốc toạ độ O(0; 0)+ Trục đối xứng là Oy

+ Nếu a > 0 thì bề lõm của Parabol quay lên phía trên, nhận gốc toạ

độ O(0; 0) là điểm cực tiểu (toàn bộ đồ thị nằm ở nửa mặt phẳng phía trêntrục hoành)

+ Nếu a < 0 thì bề lõm của Parabol quay xuống phía dói, nhận gốc toạ

độ O(0; 0) là điểm cực đại (toàn bộ đồ thị nằm ở nửa mặt phẳng phía dớitrục hoành)

Để vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) ta cần xác định một số điểm để vẽ đờngcong (ít nhất là 3 điểm phân biệt) với x > 0, sau đó lấy đối xứng qua Oy

II.3.6.3 Vị trí t ơng đối giữa y = ax2 và y = mx + n:

a) Toạ độ giao điểm của Parabol (P) y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng(d) y = mx + n (m ≠ 0) là nghiệm của hệ phơng trình:

ax2 = mx + n

Tức là: ax2 – mx – n = 0 (2)+ Nếu phơng trình (2) có ∆ > 0 thì (**) có hai nghiệm phân biệt, parabol(P) và đờng thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

+ Nếu phơng trình (2) có ∆ = 0 thì (**) có nghiệm kép, parabol (P) và đờngthẳng (d) tiếp xúc nhau (tức là đờng thẳng (d) có một điểm chung duy nhấtvới parabol (P) và (P) nằm trên một nửa mặt phẳng bờ (d))

+ Nếu phơng trình (2) có ∆ < 0 thì (**) vô nghiệm, parabol (P) và đờngthẳng (d) không cắt nhau

L u ý : Đờng thẳng x = n cũng chỉ có duy nhất một điểm chung với parabol (P)

những ta không nói là tiếp xức với (P)

c) Các ví dụ:

VD1: Xác định vị trí tơng đối của parabol y = x2 (3) với các đờng thẳng sau:

Ta có: ∆ = 1 + 4 = 5 > 0 ⇒ Phơng trình (3.1) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra đờng thẳng y = x + 1 cắt parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt

b) Xét phơng trình: x2 = 0 (3.2)

Dễ thấy phơng trình (3.2) có nghiệm kép x1 = x2 = 0

Suy ra đờng thẳng y = 0 tiếp xúc parabol y = x2 tai O(0; 0)

Suy ra đờng thẳng y = 2x – 1 tiếp xức parabol y = x2 tại A(1; 1)

2x

2 và đờng thẳng (d): y = 1

2

− x + na) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P)

b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) cắt với parabol (P) tại hai điểm phânbiệt.

c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) với parabol (P) nếu n = 1 Vẽ

đồ thị của parabol (P) với đờng thẳng (d) trong trờng hợp ấy

Giải:

* Xét phơng trình: 1

2x

2 = 12

− x + n

⇔ x2 + x – 2n = 0 (4)a) Điều kiện để đờng thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) là phơng trình (4) cónghiệm kép

y = 12

− x + 1

II.4 Những sai lầm học sinh hay mắc phải và cách khắc phục:

- Giúp học sinh nắm thật chính xác về sự biến thiên của hàm số, dạng của

đồ thị hàm số và mối liên quan giữa hai yếu tố này

- Học sinh cần nắm vững cách tìm mối quan hệ giữa đờng bậc hai(y = ax2) và đờng bạc nhất (y = mx + n) chính là biện luận các điều kiệnnghiệm của phơng trình:

ax2 = mx + n ⇔ ax2 – mx – n = 0

II.5 ứng dụng của hàm số và đồ thị:

Ta có thể dễ dàng nhận thấy các lĩnh vực ứng dụng rộng rãi của hàm số và

o Tìm cực trị.

o Giải bàitoán về chuyển động đều

II.6 Các dạng bài tập:

Có thể chia các dạng bài tập về hàm số và đồ thị nh sau:

o Nhận biết một quy tắc tơng ứng có là hàm số hay không

o Giải và biện luận phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

o Họ đờng thẳng, parabol đi qua một điểm cố định

o Tìm diện tích của hình giới hạn bởi các đờng thẳng

Ví dụ 1: Cho parabol y = ax2 và đờng thẳng y = mx + n

Xác định các hệ số a, m, n biết rằng parabol đi qua A(-2; 2), đờng thẳng điqua B(1; 0) và tiếp xúc với parabol

Giải:

Vì parabol y = ax2 đi qua A(-2; 2)

nên ta có: 2 = a.(-2)2⇔ a = 1

2vậy parabol có dạng: y = 1

2x2

Vì đờng thẳng đi qua B(1, 0)

⇔∆ = m2 – 2m = 0 ⇔ m = 0 ; m = 2+TH1: m = 0 ⇒ đờng thẳng y = 0

Toạ độ tiếp điểm là O(0; 0)

Ví dụ 5: Cho hai hàm số: y = mx2 và y = 2(m + 1)x – 4 với m ≠ 0; m ≠ -1

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùn một mặt phẳng toạ độ trong trờng hợp m

= 1

2

b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hai hàm số trên luôn có điểm chung với mọi giá trịcủa m thoả mãn điều kiện đã cho

mx2 = 2(m + 1)x – 4

⇔ mx2 – 2(m + 1)x + 4 = 0

∆’ = (m + 1)2 – 4m = (m – 1)2≥ 0 với ∀mSuy ra phơng trình tơng giao luôn có nghiệm

Vậy đồ thị hai hàm số y = mx2 và y = 2(m + 1)x – 4 luôn có điểm chung.Chúng tiếp xúc nhau khi phơng trình tơng giao có nghiệm kép

⇔∆’ = 0 ⇔ m = 1

III/ Kết luận:

Trên dây là một số suy nghĩ về hàm số và đồ thị của tôi, tuy đã có rất nhiều

cố gắng những chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong đợcnhững ý kiến đóng góp của các thày, cô giáo cùng bạn đọc để đề tài của tôi đợc

đầy đủ hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!