PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2I.
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2
I PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG :
1 Định nghĩa: là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠
0 )
2 Phương pháp giải : Đặt t = x2 , điều kiện : t ≥ 0 Phương trình trở thành at2 + bt + c = 0
Ví dụ 1:
Giải phương trình: x4 − 4x2 + 3
= 0
Đặt t = x2 , điều kiện : t ≥ 0
PT thành t2 − 4t + 3 = 0
=
=
⇒
nhận)
nhận) (
3 t
( 1 t
• Với t = 1 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1
• Với t = 3 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ±
3
= ±
3
Trang 2II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :
1) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối :
Phương pháp giải :
Cách 1 : Khử giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa
<
−
≥
=
0
0
A khi A
A khi
A A
Xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối
Cách 2 : Đưa về các dạng có công thức
−
=
=
⇔
=
B A
B
A B
−
=
=
≥
⇔
=
B A
B A
B B
0
Trang 3Ví dụ 1: Giải phương trình x2 − 4 + 2x = x + 2 + 1
Giải
Xét dấu hai biểu thức nằm trong trị tuyệt đối :
•x2 − 4 = 0 ⇔ x = ± 2
•x + 2 = 0 ⇔ x = − 2
Bảng xét dấu :
2
Trang 4♦ x < −2 :
⇔ x2 + 3x − 3 = 0 ⇔
+
−
=
−
−
=
(loại)
(nhận)
2
21 3
2
21 3
x x
♦ −2 ≤ x ≤ 2 :
PT ⇔ − (x2 − 4) + 2x = x + 2 + 1
⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔
+
=
−
=
) (loại
(nhận)
5 1
5 1
x x
Trang 5♦x ≥ 2 :
⇔ x2 + x − 7 = 0 ⇔
+
−
=
−
−
=
(nhận)
(loại)
2
29 1
2
29 1
x x
2
29 1
x 5
1
x 2
21 3
x = − − = − = − +
Trang 6Ví dụ 2: Giải phương trình | 2x2 + 8x − 15 | = 4x + 1
=
=
⇔
−
=
=
=
−
=
−
≥
⇔
−
−
=
− +
+
=
− +
≥
+
⇔
2
1
7 ,
1
2 ,
4 4 1
1 4
15 8
2
1 4
15 8
2
0 1
4
2
2
x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x PT
Nghiệm của phương trình là x = 1 , x = 2
Trang 72) Bất phương trình chứa trị tuyệt đối :
Phương pháp :
Cách 1 : Khử giá trị tuyệt đối bằng cách sử dụng định nghĩa
<
−
≥
=
0
0
A khi A
A khi
A A
Cách 2 : Đưa về các dạng
0 ) )(
(
2
2 < ⇔ − + <
⇔
A
<
−
>
⇔
<
<
−
⇔
<
B A
B
A B
A B
B A
−
<
>
⇔
>
B A
B
A B
A
Trang 8Ví dụ 4: Giải BPT x2 − | 4x − 5 | < 0
Giải (Ta dùng cách 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt
đối
5
Lập bảng : x +−∞∞ 5/4
4x − 5 − 0 +
* TH1: x <
4
5
BPT ⇔ x2 + (4x − 5) < 0 ⇔ x2 + 4x − 5 < 0 ⇔ −5 < x < 1
giao với x < 5/4 , ta được nghiệm trong TH này là −5 < x < 1
4
5
BPT ⇔ x2 − (4x − 5) < 0 ⇔ x2 − 4x + 5 < 0 ⇔ VN ( vì ∆ < 0 và a > 0 )
Vậy nghiệm của bất phương trình là: −5 < x < 1
Trang 9Ví dụ 5: Giải BPT | x2 − 3x + 4 | ≥ x2
+ 3x
Ta dùng cách 2 :
3
2 3
2 0
2
4
6 )
3 (
4 3
3 4
3
2 2
2
2
2
≤
⇔
≤
⇔
≤ +
≤
⇔
+
−
≤ +
−
+
≥ +
−
bptvn
x x
x x
x x
x
x x
x x
BPT
Trang 10III PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ : 1.Phương trình vô tỷ :
Phương pháp giải :
+ Cách 1 : Sử dụng cho các dạng có công thức
=
≥
⇔
B A
B B
A
=
≥
≥
⇔
=
B A
B
A B
=
≥
⇔
=
=
⇔
n n
n n
B A
B
A B
A
B A
B A
2 2
1 2 1
2
dấu) cùng
vế (2
0
Trang 11Ví dụ : Giải các phương trình
7 2
4
Giải a)
4 4
2
7
0 16
8 2
7 )
7 2
( 4
1
0 7
2
2 2
=
≥
⇔
= +
−
≥
⇔
−
= +
−
≥
−
x x
x x
x
x x
x x
x
a)
Trang 12Ví dụ : Giải các phương trình
Giải b)
b) 2x + 5 + x −1 = 4
16 1
) 1 )(
5 2
( 2 5
x x
x 3 5 12 3 2
ĐK : x ≥ −5/2 và x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1
Bình phương hai vế phương trình :
=
=
≤
⇔
= +
−
≤
⇔
−
=
− +
≥
−
⇔
82 x
, 2
4 0
164 84
4 )
3 12 ( ) 5 3
2 (
4
0 3
12
2 2
x x
x
x x
x x
x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
Trang 13Ví dụ : Giải các phương trình
Giải c)
c) 3 x2 − 4x + 4x − x2 +10 = 0
Đặt t = x2 − 4 x
Ta có t2 = x2 − 4x ⇒ 4x − x2 = −t2 , PT thành
3t − t2 + 10 = 0 ⇔ t2 − 3t − 10 = 0 ⇔ t = 5, t = − 2 (loại)
, t ≥ 0
Trang 142) Bất phương trình vô tỷ :
Phương pháp giải :
Cách 1 : Dùng phép biến đổi tương đương để làm mất căn
n n
n n
B
A B
A
B A
B A
B A
2 2
1 2 1
2
0
≥
>
•
>
⇔
>
<
>
≥
⇔
<
2
0
0
B A
B
A B
A
>
≥
≥
<
⇔
>
2
0 0 0
B A
B A
B
B A
B A
B
A < ⇔ 0 ≤ < A > B ⇔ A > B ≥ 0
Trang 15Ví dụ : Giải các bất phương trình
x x
x2 + − 12 < 8 −
a)
Giải a)
+
−
<
− +
≥
− +
>
−
2 2
2
16 64
12
0 12
0 8
x x
x
x
x
x
x
<
>
∨
−
<
<
17 76
3 4
8
x
x x
x
⇔
⇔ x < − 4 V 3 < x <
17 76
Trang 16Ví dụ : Giải các bất phương trình
c)
Giải c)
2 3
2
3x2 + x > x−
0 )
3 )(
4 (
) 2 )(
1 (
0 12
2
3 x2 + x − + x2 + x − ≥
Đặt t = x2 + x − 2, t ≥ 0 ⇒ t2 = x2 + x − 2 ⇒ x2 + x = t2 + 2 Thay vào bpt thành : 3t + t + 2 2 − 12 ≥ 0 ⇔ t + 3t 2 − 10 ≥ 0
⇔ t ≤ −5 V t ≥ 2 Nhận t ≥ 2
t ≥ 2 ⇔ x2 + x − 2 ≥ 2 ⇔ x2 + x − 2 ≥ 4 ⇔ x2 + x − 6 ≥ 0
⇔ x ≤ − 3 V x ≥ 2
