Phương trình và bất phương vô tỉ, hệ phương trình

bai tap phuong trinh va he phuong trinh vo ti

Chuyên đề

Phương trình và bât phương vô tỉ, hệ phương trình

Và hệ bât phương trình

PhầnI: Phương trình vô tỉ

Phuong pháp 1:Phương pháp giải dạng cơ bản:

x} 20

ư fix] =glx) fe |

f(x) =g°(x}

2 f(x) +./g( x} = h(x] Binh phuong hai vé

2(DH -1999) x°+V¥x° +11 =31

3-(HVNHHCM-1999) ^ /_y? +4x+2=2x

4-(ĐH -1299) giải và biện luận phương trình: py — + | x? —3x+2-=

5-(DH KB-2006)Tim m dé pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 4x2 + mx +2 = 2x +1

Phuong phap giải:phương pháp pho bién:

L Đặt ân phụ đưa pí vê pt theo an phu

a b

Dang 1: Pt dang: ax? +bx+c= Ipx? +qx+r trong đó— = —

Pp 4q Cách giải Đặt { — lpx? +qx+r vớit>0

I-(ĐH ngoại thương -2000) (x +5)(2—x) =3Vx* +3x

3x +2lx+l8+2N\lx +7x+7=2

Dang hai: Pt Dang: (P(x) + BQ(x) + yx/P(x).Q(x) =0 (aBy #0)

P(x} =0

Cehgifi: *NéuP(x) =O0> pte

Q(x) =0

* Nếu P{ x} # Ô chia hai vé cho P{ X] sau đó đặt { QI x) t>0

P(x}

1-(KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 lx —] +m hy 4 — 24 x? —]

2 2( x? -3x +2] =3Vx'+8 3- 2x? +2] =Svx* +1

Dang 3: Pt dang:

oe P(x) + Q(x)) +B[./P(x) + fQ(x) |

+20œ.JP(x).Q(x) +y=0|œ? +? z 0)

Cách giải: đặt t = /P(x) +,/Q(x) > t? = P(x) +Q(x)+2,/P(x).Q(x)

I-(§HQGHN-2000) 1+ ov x—x! =Vx+Vl-x

2-(HVKTQS-1999) V3x—2+Xx—l=4x—9+2N3x?—5x+2

+ V4x +3 +V2x +1 = 6x +V8x? +10x +3 -16

Trong đó , b,€, d,n là các hằng số ,c > 0,d # 0

Cách giái : Đặt t = va +cx +Vb—cx(Na+b <t<J2(a+b]

I-(§H Má-2001) x+ý4—x =2+3x\4-x”

3-(§HSP Vinh-2000) Cho pt:

Vx+1+v3-x-./(x+1}(3-x} =m

a/ giải pt khi m = 2 b/ tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

4-(SHKTQD-1998) Cho pt VI+x +V¥8—x +,/(1+x)(8—x) =a

a/Gpt khi a = 3 b/ tìm các giá trị của a để pt có nghiệm

5-(-1999) tìm các giá trị của m để pt có nghiệm

V¥x—-14+v3-x +(x -DG-x) =m

6-(2001) Vx+1+V4—x+./(x+1)(4-x) =5

Trong đó , Ð, €,1m là hằng số với a # Ö

Cchgi4i: đặtt =^/x—b §K:f > ( đưa pt về dạng:

lt+al+|t—a|=c(“+b)+m

4-(_ -2001) \x+2+2Ax+I+Ax+2-2s+ _X13

2

x+3

x+m

6- Xét pt VX +6V¥x—9 +V¥x—-6Vx—-9 = 6

a/ Giải pt khi m = 23 b/ tìm các øt của m dé pt có nghiệm

H_Sử dụng ân phụ đưa pt về ân phụ đó, còn ẩn ban đâu coi là tham số

I- 6x” —10x+5—(4x—l1) 6xˆ—6x+5 =0

3- 2(1-x) vx? +2x-1=x?-2x-l

4- (4x—1) Vx? +1 =2x° 42x41 5-2(1—x) Vx? +x4+1=x?-3x-l

6(§HQG-HVNH KA2001) x? 43x 41 = (x +3)Wx? 41

HI-Sử dung ấn phụ đưa về hệ pí:

DạngI: P(tDạng: x"+a —bl/bx—a

Cách giải: tyra wits ~byta=0

y —bx+a=0

- x?T-l=Ax+I 2 x? 4V¥x45=5

Dạng 2: P( dạng: Yax b =r(ux+v) +dx+e trong doa,u,r #0

Vụu =ar+d,v=br+e

2

ax+b=(uy+v}

2 xJ2x+15 =32x”+32x—20 3 (3x41 = 4x2 +13x—5

+ Vx+5=x?-4x-3 sx? = V/2-x +2

6- Jx—-1=3+x-—x’

Dang 3: PT Dang: la — f{ x] +mlb+f| x) =C

Cách giải: dat u = #a—f(x),v = ®b+f{ x] iano

I-( -2000) ÄJ2—x =l-Nx-—l

2 Älx+34—ÄJx—3 =1 3- ¥x—-24+Vx+1 =3

Phương pháp 3: Nhân lương liên ho

Dang 1: Pt Dang: f(x) +a + /f( x] =b

Cách giải nhân lượng liên hợp của về trái ta được hệ pt: |

utv=c

u°+v”=a+b

Jf(x)+a+-Jf(x) =b

Jf(x) +a +,/f(x) =a/b

l l

VNT4+LVN VNI 2EVN

Dang 2: Ptdang: Jf (x) +/2(x} =m|f(x) —g(x)]

5-( -2001)

I-(HVBCVT-2001) V4x +1-V3x-2 = "

2-(HVKTQS-2001) 32+wx-2)=2x+wx+6

Phương pháp 4:Phương pháp đánh siá:

3 J4x—14+V4x?-1=1 4 Vx? -2x4+54+Vx-1=2

Phương pháp 5 :Phương pháp cần và đủ:

1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: vx +A42—x =m

2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4X — 5 +A'9—x =m

3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4xqx+4ll—x+Ax+^All—x =m

Phương pháp 6 : phương pháp sử dụng đạo hàm

I-tìm m đê pt sau có nghiệm:

m|xI+x?=vI=x? +2] =2NI—x*+AI+x?—x—x?

2- -Tìm m đề các phương trình sau có nghiệm :

1⁄2/4—x? =mx-m+2 2 Ax+I+Ax—1—A5—x—AI8—3x =2m~T: 3) 3Jx—l+mXx+lI=2Ÿx?—I

4-) CMR Vm > ()ptsaucó 2 nghiệm pb:X” + 2x —8 = 4|m(x—2)

$1 AVx+AYx—=5+Xx+7+Vx+l6 =14

6-(HVAn ninh KA-1997)Tim m dé pt sau c6 nghiém: /y2 49x 44 —Jx?_2x44=m

Phần II: Bất phương trình vô tỉ

Phương pháp 1:phương pháp giải dạng cơ bản:

| (g(x) <0

<0

V Jf(x) > g(x) © 2//f(X) < g(x) & 4 f(x) 20

| (E(x) > 8° (X)

3/ 4 if (x) + g(x) >, h(x) binh phuong hai vé bpt

2-(DHTCKT Tphem-1999) ./2x —] < 8—x

4-(DH -2000) V(x +1)(4—-x) >x-2

5-(DH ) Xx+5-Nx+4>wxwx+3

6-(ĐHCĐKA2005) ý5x—l-Nx—-l>42x-4

7-(DH Ngoai thương-2000) /x +3 > J2x -8 + JV7—x

8-(DH -2000) Vx+2—-V3-x <V5-2x

9-(DH An ninh -1999) J5x —1—-V4x —1 <3Vx

10-(DHBK -1999) Vx +] >3-V¥x4+4

2

Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi tương đươn

f(x) tree > 0 tree <0

1 ——=>UÚ<© hoặc

g(x) g(x) > 0 g(x) <0

f(x) >0 f(x) <0

9 co ee) nef

g(x) g(x) < 0 g(x) > 0

B>0

Lưuý: I*/ ——>Ì<> , ww —<1le hay A>0

A<B

\51—2x—x? V—3x2+x+442

Phương pháp 2: Nhân lượng liên hợp

>X—

1-(SP Vinh-2001 2-( -1999

( " ‘(1+ I+x| t '|3-9+2x]2

3- 4(x +1) < (2x +10)(1-V3+2x)y

Phương pháp 3 : xác đỉnh nhân tử chunø của hai về:

2-(DHBK-2000) Vx? 43x4+24Vx2 46x45 <V2x? 49x47

3-(ÐH DƯỢC -2000) Vx? —8x +15 +Vx2 42x -15 < V4x2 -18x 418

4-(DH KIEN TRUC -2001) Vx? —4x 43 — \2x?—3x+I >x-]

PhUONG PHAP 4: Dat 4n phu:

5-x(x—4)N-x”+4x+(x—2)“ <2 6-3ýX + T= <2X+ TT

8) Xx+2ýx—-lI+x—-2vx—l1 >3/2

9- Cho bpt: —4,/(4—x)(2+ x) <x? -2x+a—-18

a/ Giải bpt khi a = 6

b/Tìm a để bpt có nghiệm đúng Wxe |—2;4|

10-Xác định m đề bpt sau thỏa mãn trên đoạn đã chỉ ra:

\(4+x)(6— x) <x”—2x+m trn| -4;6]

Phương pháp 5: phương pháp hàm số:

1-(DHninh-2000) V/7x +7 +A/7x—6+2A49x?+7x—42 <181—14x

3- VX4+24Vx454+2Vx°+7x4+10 <5-2x

4-Xác định m để phương trình sau có nhiệm a/ V44x-2+xXl6õ-4x <m

b /2x +l<m-—x

Phan II: Hệ phương trình

A- Mot SỐ, hệ phương trình cơ bản

I-Hệ pt đôi xứng loại Í

f(x;y) =0 1*/định nghĩa: Trong do f(x; y) = f(y; x), g(%3 y) = g(y;x)

g(x;y)=0

2*/ Cach giai § dat S=X+y,P=xy ĐÐk:S2 >4P

Dang 1 : giai pt

2-

x? +y* +3(x+y) = 28 xửx tuy =39

x+y +xy=7

1-(DHQG-2000)

x+y+xy=l1l1

3-(ĐHGTVT-2000)

PS +y°x =30 4-(ĐHSP-2000) x*+y°+x'y =2l 32

X®y+C +» 5

5- (DH NGOAI THUONG-1997) "

x+y + s+—=09

X

6-(-1998)) 7 | {DHCD KA-2006)

Dạng 2 : tìm đk để pt có nghiệm:

Vx +Jy =1

xvx + y./y =1-3m x+y+xy=a

I-(ĐHCĐKD-2004) tìm m để pt sau có nghiệm:

2- tim a để pt sau có nghiệm: 2 2

xX +y =a

2 2_

X+ty+Xx+y =6

3-Cho hé pt:

xy(x+l)(y+l)=m

a/ Giải hệ pkh m=l2 b/Tìm m để hệ pt co nghiệm

Xx+xy+y=m+]

4-Cho hO pt:

xy+yx=m

a/ Giải hệ khi m=-2

b/ Tìm M dé hé có ít nhất một nghiệm X; y] thoa man X > 0, y > O

x+y =2(+m)

5- Tìm m để pt có đúng 2 nghiệm:

(x+y) =4

X+—+y+—=5

6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m đê pt sau có nghiệm:

3, 13!

x +—+z+y + =15m-10

Dạng 3 : tìm đk để hệ có nghiệm duy nhát

x+y+xy=m+2

1-(HHVKTQS-2000) Tim m để hệ sau có nghiệm duy nhất 2 2

x ytyx=m+l Xx+xy+y=2m+]

2-(§HQGHN-1999) Tìm m đề hệ có nghiệm duy nhất: 2

xY(x+y)=m“+m

_ |X5Yy+y x=2(m+~])

3- Tìm m đê hệ sau có nghiệm duy nhất:

2xy+x+y=2(m+2)

Dang 4 ; hé pt đối xứng 3 ân số:

Nếu ba số X›: Y›Z thoảmãn X † Y † Z —= p, XY T† YZ + ZX = q XYZ — T thì chúng là

Nghiệm của pt: t? — pt + qt —r=0

1-Giai các hệ pt sau :

Z

a4 XY+YZ+ZX=-4 wax’ +y +z =1 oyxytyztzx =27

x+y +z =1 x+y +z =1 Am

|X y Z

x+y +Z =8

2- Cho hé pt: Gia su hé co nghiém duy nhat

xy + yzZ+zx =4

8 CMR: — < x,y,ZS—

3

II-Hệ pt đối xứng loại hai:

f(x;y)=0

1*/ Định nghĩa | ( y) trong do f(x; y) = 2(y;X), f(y; x) = 2(x;y)

g(x; y) = 0

3*/ Cách giải: Hệ pL C> I(x;y)—g(X;y) =0 _ J(X—y)h(X:y) =0

có f(x;y) =0 f(x;y) =0 x=y=U h(x;y) =0

f(x;y)=0 f(x;y) =0

Dang 1: Giai pt

_3v=4#

1-(DHQGHN-1997) 2-(DHQGHN-1998) )

y

¬- |

3-(DHQGHN-1999) 4-(DH Thai nguyén-2001)

X

10

§

5-(DH-2001) 6-(DH Hué-1997)

2

y

Jx+1+jy=2 =vm

I-(ĐHSP Tphem-2001) Tìm m để pt có nghiệm:

Jy+l+wx-2 = Vm

2x+4y-3 =m 2y+vx-3=m

Dang 2 : Tìm Đk để hệ p( có nghiệm:

2- Tìm m để hệ có nghiệm:

2 (x+l] =y+a Dạng 3 : tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất I-(ĐHSP-Tphem-2001) :

(y+ 1)’ =x+a

xy +x? =m(y-l)

2)

xy+yˆ =m(x—])

Xxˆ+y=axy+l

3)

yˆ+x=axy+l

II -Hệ pt đăng cấp */ Hệ pt được gọi là đăng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng ax’ + bxy + cy” =d

*/ Cách giải : đặt X = Ty

*/Lưu ý: Nếu (a; b) la nghiém cua hé thi (b; a) cũng là nghiệm của pt

2x“+3xy+y =l12 |x +2xy+3y =9

Dạngl:Giảip l)+ „ › 2) › ›

Xx“=xy+3vy“ =ll 2x“ +2xy+y =2 xˆy+xyˆ =30

3)

x+y =35

Dang 2 :Tim dk đề hệ có nghiệm có Í nghiệm duy nhất:

I-ĐHQG HCM-1998)Tìm m để pt sau cb nghiém:) 2

x +2xy+3y° =17+m

11

x’ —2xy-3y’ =8

2x? +4xy +5y? =a‘ —4a? +4a? -12+ 105

xˆ-mxy+yˆ =mˆ-3m+2

3-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhật: 2 2 2

2):

B- một số phương pháp giải hệ pt:

Phương pháp thê

x+y=m+l

1-(1999) Cho hé pt:

xˆy+yx=2mˆ-m-3

1/ Giải hệ khi m = 3

2/Tìm m đề pt sau có nghiệm

X+y=vx+y+2

4-(§H HuO-1997) Tìm k đê hệ pt có nghiệm:

x-y=k

x+my =m

5-( -2000) Cho hé pt:

x? + y —-x=0

a Giải hệ khi m = Ï b biện luận số nghiệm của pt

c.Khi hệ có 2 nghiệm phân biệt (X;; Vị );(X2; Y2 ) tim m dé:

A =(x,—X,) +(y, —y,)° dat giá trị lớn nhát

x+y=l

6-(SP TPHCM-1999)Tim m đề pt sau có 3 nghiệm phân biệt: 3

3 _

x=y =m(x—y)

Phương pháp biến đôi tương đương:

Xy—3x—2y=l6

I-(ĐHGTV T TPHCM-1999) HD: nhân pt đâu với 2 và cộng với pf sau

x+y -2x-4y=33

12

x+xy+y=l x+y+Z=7

24+V+Yyz+z =4 3)4X +y +z =21

y+xyˆ =6x”

4)

l+x°y? =5x°

Phương pháp đặt ân phụ:

xy-X= 10 X\2 , (%y3

3 (—) +(-y =12

XyT =2 (xy) +xy =6

xy (x >0,y > 0)

x xy + y./xy = 78

x+tl+vy+l=3

xAy+l+yNx+l+.y+l+vx+l=6

PhCn:IV HE BAT PHUONG TRINH

HE BAT PT MOT AN SO

f(x) > 0d)

Cho hé: (I) Goi S,,8, 14 (D&(2)

f,(x) > 0(2)

S là tập nghiệm của () @ S=S, OS,

Tìm m để hệ sau có nghiệm:

— x’ —(m+2)x+2m <0

I-(HVQH Quốc Tế -1997) { „

|X“ +(m+7)x + 7m < 0

xˆ—-2x+l-m<0

2-(ĐH Thuong mại-1997) -

13

HD:chia chia cả 2 về của pt cho x2

x? —(2m+1)x+m’? +m <0

xˆ-2mx<0

4-(-1998)

Ix—l+m|< 2m

x -3x+4<0

x” —3x|x|—-m* —15m 20

Tìm m để hệ pt sau có nghiệm:

x°-1<0 x’ -6x+5<0 x°+7x-8 <0

5( -1998)

Tìm m để hệ pt sau có nghiệm duy nhất:

x? +(2m+1)x+m* +m-2=0

XxỈ-5x +4<0

3-

B-Hệ pt hai ẫn số:

Tim a dé pt sau có nghiệm:

4x -—3y+2<0

3-

x’ +y* =a

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:

Good luck -

flu Kuh wit bO, cấm tao cíứp đướt mot kink thite

14