Hai chú một phao, thừa bảy chiếc, Hai phao một chú, bốn người không.. Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của AC và các đường thẳng AD, BM và CE đồng qui tại K.. Với giá trị nào của
Trang 1UBND HUYỆN BẠCH THÔNG
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1:(4 điểm)
Rút gọn biểu thức: 2 3 5 13 48
+
Câu 2:(4 điểm)
a Giải phương trình sau: x +2 x − +1 x −2 x − =1 2
b Giải hệ phương trình sau: 2 21
2011
x y
+ =
− =
Câu 3:(4 điểm) Giải bài toán cổ sau:
Một đoàn em bé tắm bên sông, Lấy ống làm phao, nổi bồng bềnh
Hai chú một phao, thừa bảy chiếc, Hai phao một chú, bốn người không
Hỡi người thạo tính, cho hỏi thử, Mấy phao, mấy chú, tính cho thông?
Câu 4:(4 điểm)
a Trong hình bên, cho biết M là
trung điểm của AC và các đường
thẳng AD, BM và CE đồng qui
tại K Hai tam giác AKE và BKE
có diện tích là 10 và 20 Tính
diện tích tam giác ABC
b Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+ 3 cosα có giá trị lớn nhất?
Cho biết giá trị lớn nhất đó
Câu 5:(4 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, Â = 450 Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F Tứ giác EOFC là hình gì? Vì sao?
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
1
2
2
2 3 5 ( 12) 2 12 1
2 3 5 ( 12 1) 2 3 4 2 3
1
0.5
1.0
1.0
1.5
2
a
x
x
≥
<=> ≥
2 2
<=> + − + + − − − + − − =
<=> + − − =
<=> + − =
<=> − = − <=> − ≥ <=> ≤
Kết hợp với điều kiện bài ra ta có: 1≤ x ≤ 2
0.5
0.5 0.25
0.25 0.25 0.25 b
2011
<=>
<=> <=> <=>
1.0
1.0
3 - Gọi số người là x (x >4) ; số phao là y (y >7)
- Vì hai chú một phao thừa bảy chiếc nên ta có : y -
2
x
= 7 (1)
- Vì hai phao một chú bốn người không nên ta có : 2x - y = 8 (2)
- Từ (1) và (2 ) ta có hệ phương trình : 7
2
x y
− =
− =
- Giải hệ phương trình ta tìm được : 10
12
x y
=
=
ĐS: 10 em bé và 12 phao
0.5
0.75 0.75 0.5
1.0 0.5
Trang 3a
- vì MA = MC => S∆ABM =S∆CBM và S∆AK M = S∆CKM = x (1)
AK E
BK E
∆
∆
= = = => =
=> 1
2
AEC BEC
S∆ = S∆ (2)
- Từ (1) và (2) => S∆BKC = 30 (3)
=> 20 + 30 = 2(10 + 2x) => x = 7,5
= >S∆ABC = 10 + 20 + 30 +2 7,5 = 75
0.5 0.25 0.25
0.25 0.25 0.5
b - Vì 00 < α < 900 =>P= 3sin α + 3 cos α>0
- Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
3sin α 3 cos α (3 ( 3) ).(sin α cos α ) 2 3
P
=> giá trị lớn nhất của P là: P = 2 3 với 00 < α < 900
0.5 1.0
0.5
5 Ta có = mà = 450 nên = 900 Điểm O nhìn đoạn BC dưới một góc
vuông nên O thuộc đường tròn đường kính BC Từ đó :
- ∆BOC vuông cân tại O nên = = 450, = = 450 (góc nội tiếp cùng
chắn cung OC của dd]ơngf tròn đường kính BC)
- ∆AEC vuông tại E có Â = 450 nên = 450
Tứ giác EOFC nội tiếp có = = 450 nên = = 1350
=> EOFC là hình thang cân
1.0
1.0
1.0
1.0
Trang 4Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác nhưng đúng thì vẫn cho điểm tối đa.