Cho hình vuông ABCD, trên cạch BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = BM.. Chứng minh các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngọai tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại
Trang 1UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
_
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 (VÒNG 2)
Môn thi : Tóan Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 18/1/2009
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có:
a b b c c a
Bài 2: (4 điểm)
Cho
2 2
A
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 3: (5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2x2 + 3y = 1 3x2 - 2y = 2
Bài 4: (5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạch BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = BM Chứng minh các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngọai tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm
Bài 5: (3điểm)
Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trong đoạn AB lấy điểm M khác O Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) CM.CN = 2R2
d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?
Hết
Trang 2UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
_
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 (VÒNG 2)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN LÝ
Bài 1
(3đ)
(*)
0,5
A
c b
0,5
Theo giả thiết: 2
2
a c
b a c bb a c b , nên:
b a A
1,0
A
Đẳng thức (*) được nghiệm đúng
1,0
Bài 2a
(2đ)
x2 - 7x + 10 = (x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 0.5
2 2
2
( 5)( 2)
A
1.5
Bài 2a
(2đ)
1
x A
, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi 1
2
x nguyên, khi đó x – 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 nghĩa là x = 3, hoặc x=1.
2đ
Trang 3Bài 3
(5đ)
Đặt u = x2 0, ta có:
2u + 3y = 1 8
13
u
3u - 2y = 2 1
13
2đ
Do đó: 2 8
13
x
1
13
y
Hệ PT có 2 nghiệm là:
3đ
Bài 4
(5đ)
M
C
O D
A
C
B
H N
Xét ∆AMB và ∆CNB là hai tam giác vuông có :
AB = BN (cạnh hình vuông)
BM = BN (gt)
∆AMB = ∆CNB (c.g.c)
1đ
Xét trong ∆AMB và ∆CMH có :
AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1)
CHM ABM 90 0 hay ACH 90 0
1đ
H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn
ngọai tiếp ABCD)
Vậy AM, CN và đường tròn ngọai tiếp ABCD đồng quy tại H
1đ
13
y
Trang 4Bài 5
(3đ)
C
A B
N
E P D F
a) * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường
kính OP
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường
kính OP
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP
1đ
b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)
NMP NCD (hai góc đồng vị)
ONC OCN (hai góc đáy của tam giác cân ONC)
NMP NOP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra MNO NOP ; do đó, OP//MC
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành
1.5
c) CND COM g g( )
Nên OC CM
d) Vì MP = OC = R không đổi
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy trên đoạn
AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên
1đ
Hết
