Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne [20], [50] nổi tiếng còn khẳng định rằng nếu I là iđêan của vành địa phương R, m với dim R = n thì HInR = 0 khi và chỉ khi dimR/I bb R + P ≥ 1 v

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quảviết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vàoluận án Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trongbất kì công trình nào khác.

Tác giả

Trần Đỗ Minh Châu

Luận án này chắc chắn không thể hoàn thành được nếu không có sự hướngdẫn nghiêm khắc nhưng vô cùng tận tình và tâm huyết của Cô tôi-PGS.TS.

Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Cô đã

đưa tôi đến với Đại số giao hoán và truyền đạt cho tôi phương pháp nghiêncứu, từ cách đọc sách, phát hiện và nảy sinh ra những ý tưởng toán học đếncách giải quyết vấn đề Tôi thực sự thấy mình trưởng thành lên rất nhiều vàngày càng say mê nghiên cứu hơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy tôi-GS.TS Lê Văn Thuyết Thầy luôntận tình, động viên tôi trong suốt bốn năm nghiên cứu sinh Sự ân cần củathầy đã giúp tôi vượt qua nhiều khó khăn mỗi khi xa nhà Thầy luôn là mộttấm gương về sự say mê nghiên cứu khoa học cũng như sự cống hiến chocộng đồng Toán học Việt Nam để tôi học tập

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của hai người thầyPGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn và GS.TS Lê Văn Thuyết Một lần nữa tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người thầy của tôi và sẽ phấn đấu hơn nữa

để xứng đáng với công lao của thầy, cô, xứng đáng với niềm tin của thầy, cô

đã dành cho tôi

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo Khoa Toán ĐHSP Huế, phòngSau ĐH đã luôn giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để cho tôi học tập, nghiên cứu

và hoàn thành luận án này

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Thái Nguyên đã chotôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm

tạo điều kiện và sắp xếp công việc thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôiviết luận án.

Tôi xin cảm ơn những đồng nghiệp, các anh, chị, em đã và đang công táctại trường THPT Chuyên, chị Nguyễn Thị Kiều Nga, bạn Trần Nguyên An

đã động viên, chia sẻ, giúp đỡ tôi trong suốt bốn năm nghiên cứu sinh.Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thântrong gia đình của mình - những người đã động viên, chia sẻ mọi khó khăncùng tôi suốt những năm tháng qua để tôi có thể hoàn thành luận án

Mục lục

1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin 14

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin 16

1.3 Vành catenary phổ dụng 20

1.4 Chiều và tính bão hòa nguyên tố 22

Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 28 2.1 Chuyển iđêan nguyên tố gắn kết qua đầy đủ 28

2.2 Trường hợp vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Cohen-Macaulay 35

2.3 Đối địa phương hóa 44

Chương 3 Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý 56 3.1 Tính bão hòa nguyên tố 57

3.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết 61

3.3 Đối giá và số bội 64

Mở đầu

Vào những năm 1960, A Grothendieck [18] đã giới thiệu lý thuyết đối

đồng điều địa phương dựa trên công trình của J P Serre [56] năm 1955 vềcác bó đại số Ngay sau đó, lý thuyết này nhanh chóng phát triển và đượcnhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm (có thể kể đến một số công trình

điển hình như [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52],[57], [58]) Ngày nay, lý thuyết đối đồng điều địa phương đã trở thành công

cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại sốgiao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp

Một trong những kết quả quan trọng về môđun đối đồng điều địa phương

là tính triệt tiêu Cho M là môđun trên vành giao hoán Noether R Năm

1967, A Grothendieck [18] đã chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương

HIi(M ) triệt tiêu tại mọi cấp i > dim SuppRM và nếu (R, m) là vành địaphương, M là hữu hạn sinh thì Hd

m(M ) 6= 0, trong đó d = dim M Sau đó,

ông cũng chứng minh được độ sâu của M là số i bé nhất để Hi

m(M ) 6= 0

Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne ([20], [50]) nổi tiếng còn khẳng

định rằng nếu I là iđêan của vành địa phương (R, m) với dim R = n thì

HIn(R) = 0 khi và chỉ khi dimR/(I bb R + P) ≥ 1 với mọi iđêan nguyên tốliên kết chiều cao nhất P của vành đầy đủ m-adicR.b Tính chất tiếp theo đượcrất nhiều người quan tâm là tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địaphương Ngay cả khi M hữu hạn sinh thì Hi

I(M ) nhìn chung không hữu hạnsinh Vì thế người ta đặt ra câu hỏi với điều kiện nào thì môđun Hi

I(M ) hữu

hạn sinh Năm 1978, G Faltings [57] đã đặc trưng số i bé nhất để Hi

I(M )không hữu hạn sinh Ông còn đưa ra nguyên lý địa phương toàn cục về tínhhữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương (xem [58])

Một trong những tính chất rất được chú ý của môđun đối đồng điều địaphương là tính Artin Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương

và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Năm 1971, bằng mộtchứng minh ngắn gọn, sử dụng giải nội xạ tối tiểu của M và tính Artin củabao nội xạ E(R/m), I G Macdonald và R Y Sharp [31] đã suy ra được

Hmi (M ) luôn là Artin với mọi i ≥ 0 Sau đó, sử dụng Định lý triệt tiêuLichtenbaum-Hartshorne, R Y Sharp [50] phát hiện ra lớp môđun đối đồng

điều địa phương Artin thứ hai là Hd

I(M ) Về sau, L Melkersson [34] đãchứng minh lại hai kết quả về tính Artin này bằng một phương pháp sơ cấp.Nhiều thông tin về hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin Hi

m(M )

và Hd

I(M ) đã được phản ánh thông qua các công trình của R Y Sharp [47],

M Brodmann-Sharp ([3], [4], [5]), M Hochster và C Huneke [21], K E.Smith [53], K Divaani-Aazar và P Schenzel [17], H Zăoschinger [61] và cáccông trình của N T Cường cùng các học trò (xem [10], [11], [38], [39]).Theo I G Macdonald [30], tập iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđunArtin A, kí hiệu là AttRA, có vai trò quan trọng tương tự như tập iđêannguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh Mục đích của luận án lànghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phươngcấp bất kì với giá cực đại Hi

m(M ) và môđun đối đồng điều địa phương cấpcao nhất với giá tùy ý Hd

I(M ), từ đó làm rõ cấu trúc của môđun M và vànhcơ sở R Đồng thời, các tập iđêan nguyên tố gắn kết này còn được nghiêncứu trong mối liên hệ với số bội, tính bão hòa nguyên tố và đối địa phươnghóa của hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M ) và Hd

I(M ) Nhắclại rằng một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên

tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố p chứa AnnRA Tínhbão hòa nguyên tố được giới thiệu bởi N T Cường và L T Nhàn [11] nhằmnghiên cứu cấu trúc của môđun Artin.

Chú ý rằng các môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M ) có cấu trúc Rbmôđun Artin nên tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hi

m(M ) trên R Tuy nhiên, vấn

đề ngược lại, cho trước tập AttRHmi (M ), bằng cách nào xác định được tậpAtt

m(M ) qua địa phương hóa Hi−dim R/p

pR p (Mp) ý tưởng này tiếp tục

được M Brodmann và R Y Sharp [4] sử dụng để nghiên cứu chiều và số bộicho các môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M )và mở rộng kết quả đó cholớp vành catenary phổ dụng có mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay Chú

ý rằng nguyên lý chuyển dịch địa phương này không đúng trong trường hợptổng quát Vì thế bài toán thứ hai được giải quyết trong luận án này là tìm

điều kiện của vành cơ sở R để tồn tại một đối địa phương hóa tương thíchvới mọi môđun Hi

m(M )

Kết quả của I G Macdonald và R Y Sharp [31] năm 1971 đã mô tả rất

rõ ràng tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều cấp cao nhấtvới giá cực đại Hd

m(M ) trên R và Rb Từ Định lý triệt tiêu Hartshorne, năm 1981, R Y Sharp [50] tiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố

Lichtenbaum-gắn kết của Hd

I(R) trên vành R.b Sau đó, K Divaani-Aazar và P Schenzel[17] đã mở rộng kết quả này cho môđun Mặc dù vậy, vấn đề xác định tậpiđêan nguyên tố gắn kết của Hd

I(M )trên vành R vẫn là vấn đề mở Bài toánthứ ba được giải quyết trong luận án này là mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kếtcủa môđun Hd

I(M ) trên vành R trong mối liên hệ với tính bão hòa nguyên

tố, đối địa phương hóa và công thức bội liên kết của môđun này

Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phươngvới giá cực đại, nếu R là thương của vành Gorenstein thì bằng cách sử dụng

đối ngẫu địa phương và các tính chất quen biết của môđun hữu hạn sinh ta cóthể thu được những thông tin của Hi

m(M ) một cách nhanh chóng Tuy nhiên,trên vành tùy ý, chúng tôi phải sử dụng khéo léo tập giả giá giới thiệu bởi M.Brodmann và R Y Sharp [4] và những tính chất đặc thù về chiều của môđunArtin để chứng minh các kết quả Để nghiên cứu lớp môđun Hd

I(M ), chúngtôi cần đến những hiểu biết sâu về Định lý phân tích nguyên sơ Noether, tínhchất đối hữu hạn của Hd

I(M ) và một số kết quả đã biết về lớp môđun đối

đồng điều địa phương này

Luận án được chia làm 3 chương Chương 1 nhắc lại một số kiến thứccơ sở như biểu diễn thứ cấp, môđun đối đồng điều địa phương Artin, tínhcatenary phổ dụng của vành, chiều và tính bão hòa nguyên tố của môđunArtin Chương 2, được viết dựa theo các bài báo [7] và [41], trình bày cáckết quả của luận án về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều

địa phương cấp tùy ý với giá cực đại Chương 3 trình bày các kết quả củaluận án về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phươngcấp cao nhất với giá bất kì dựa theo bài báo [40]

Trong suốt luận án, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địaphương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d và A là

R-môđun Artin

Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả liên quan đến việc chuyểntập iđêan nguyên tố gắn kết của Hi

m(M ) qua đầy đủ m-adic Cụ thể, chúngtôi đặc trưng vành catenary phổ dụng với các thớ hình thức Cohen-Macaulaythông qua mối quan hệ giữa các tập AttRHmi(M ) và AttRbHmi (M ) Chúngtôi cũng đưa ra điều kiện cần của vành cơ sở R để tồn tại một hàm tử đối địaphương hóa tương thích với mọi môđun Artin Hi

m(M ) Với mỗi R-môđunhữu hạn sinh, công thức sau được suy ra từ [33, Định lý 23.2(ii)] cho ta mốiquan hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên kết của M và tập iđêan nguyên tố liênkết của Mc

Assb

RM =c [

p∈Ass R M

Assb

R( bR/p bR)

Tuy nhiên công thức đối ngẫu cho môđun Artin A

Attb

RA = [

p∈Att R A

Assb

R( bR/p bR) (1)

nhìn chung không đúng thậm chí khi A = Hi

m(M )(xem Ví dụ 2.1.2) Chúngtôi chỉ ra rằng công thức (1) đúng cho mọi môđun Artin A khi và chỉ khi ánhxạ cảm sinh fa : Spec( bR) → Spec(R) là song ánh Hơn nữa, nếu giả thiết

R là vành thương của vành Gorenstein địa phương (R0, m0) chiều n, kí hiệu

Ki(M ) là R-môđun hữu hạn sinh Extn−i

R 0 (M, R0) với mỗi số nguyên i ≥ 0.Môđun Ki(M ) được gọi là môđun khuyết thứ i của M và K(M) := Kd(M )

được gọi là môđun chính tắc của M Khi đó Định lý Đối ngẫu địa phươngcho ta các đẳng cấu Hi

m(M ) ∼= HomR(Ki(M ), E(R/m)) với mọi i, trong

đó E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m Trong trường hợp này,

sử dụng các tính chất đã biết của iđêan nguyên tố liên kết của Ki(M ) và đốingẫu địa phương, đối ngẫu Matlis, chúng tôi chứng minh được mối quan hệsau giữa AttRHmi (M ) và AttRbHmi (M )

Attb

RHmi(M ) = [

p∈Att H i (M )

Assb

R( bR/p bR) (2)

Chú ý rằng tồn tại vành Noether địa phương R không thể viết dưới dạngthương của vành Gorenstein địa phương nhưng công thức (2) vẫn đúng vớimọi R-môđun hữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0 (xem Ví dụ2.1.8) Vì thế một câu hỏi tự nhiên là liệu quan hệ (2) còn đúng trong trườnghợp tổng quát hơn, khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức làCohen-Macaulay Định lý sau, là kết quả chính đầu tiên của Chương 2, trảlời một phần cho câu hỏi này ở đây, với mỗi R-môđun Artin A, ta kí hiệuN-dimRA là chiều Noether của A giới thiệu bởi R N Roberts [46].

R( bR/p bR) với mọi R-môđunhữu hạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0;

(iii) dim(R/ AnnRHmi(M )) = N-dimRHmi (M ) với mọi R-môđun hữuhạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0

Công cụ chính để chứng minh Định lý 2.2.5 là khái niệm giả giá giới thiệubởi M Brodmann và R.Y Sharp [4] Với mỗi số nguyên i ≥ 0, giả giá thứ icủa M, kí hiệu là Psuppi

R(M ), được cho bởi công thứcPsuppiR(M ) = {p ∈ Spec(R) : HpRi−dim R/p

p (Mp) 6= 0}

Chú ý rằng Psuppi

R(M ) có vai trò quan trọng trong nghiên cứu chiều và sốbội cho Hi

m(M ) (xem [4], [38]) cũng như quỹ tích không Cohen-Macaulay

và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M (xem [2], [14], [42]),trong đó vai trò của Psuppi

R(M ) đối với môđun Artin Hi

m(M ) theo nghĩanào đó tương tự như tập giá đối với môđun hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.5,chúng tôi suy ra một đặc trưng nữa cho lớp vành catenary phổ dụng và mọithớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa Psuppi

R(M )

Với mỗi iđêan nguyên tố p của R, hàm tử địa phương hóa tại p là hàm

tử khớp, tuyến tính từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđunthỏa mãn Mp là Rp-môđun Noether và Mp 6= 0 với mọi p ⊇ AnnRM Hàm

tử này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun Noether Tuy nhiên,ngay cả khi p ⊇ AnnRA, nếu p 6= m thì Ap = 0 Vì thế, trên nhiều khíacạnh, hàm tử địa phương hóa không hữu ích trong việc nghiên cứu môđunArtin Do đó chúng ta cần xây dựng với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử "đối

địa phương hóa" Fp : MR → MRp từ phạm trù các R-môđun đến phạm trùcác Rp-môđun sao cho Fp tương thích với mọi R-môđun Artin A, nghĩa là

Fp có các tính chất sau:

(a) Fp là tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin;

(b) Fp biến các R-môđun Artin thành các Rp-môđun Artin;

(c) Fp(A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnRA với mỗi R-môđun Artin A

Chúng tôi chỉ ra một điều kiện cần để tồn tại hàm tử đối địa phương hóanhư vậy trong định lý sau Nhắc lại rằng ánh xạ tự nhiên R → Rb được gọi

là thỏa mãn tính chất đi lên nếu với bất kì p, q ∈ Spec(R), Q ∈ Spec(R)bthỏa mãn q ⊆ p và Q ∩ R = q, tồn tại P ∈ Spec(R)b sao cho Q ⊆ P và

P∩ R = p

Định lý 2.3.8 Giả sử với mỗi p ∈ Spec(R) luôn tồn tại một hàm tử

Fp : MR → MRp thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) Khi đó ánh xạ

tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên Đặc biệt, mọi thớ hình thức của

R đều là vành Artin

Một số tác giả đã xây dựng đối địa phương hóa Fp, với mỗi p ∈ Spec(R)(xem [35], [45], [53] ) Tuy nhiên không một đối địa phương hóa nào thỏamãn cả ba tính chất (a), (b), (c) ở trên Cũng trong [4], với giả thiết R làcatenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, M Brodmann

và R.Y Sharp đã xem vai trò của Rp-môđun Hi−dim(R/p)

pR p (Mp) như là đối địaphương hóa của môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M )để xây dựng thànhcông công thức bội liên kết của Hi

m(M ) Câu hỏi đặt ra là với điều kiện nào

ta có được một đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun đối đồng

và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M Khi đó vành R là catenary phổ dụng

và mọi thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay

Phần cuối của Chương 2 đưa ra ví dụ cho thấy đối địa phương hóa tươngthích cho mọi môđun Artin nhìn chung không tồn tại ngay cả khi R là thươngcủa vành chính quy Noether địa phương (xem Ví dụ 2.3.9)

Trong Chương 3, chúng tôi quan tâm đến tập iđêan nguyên tố gắn kết củamôđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kì trong mối liên

hệ với tính bão hòa nguyên tố và số bội của môđun này Theo N T Cường

và L T Nhàn [11], một R-môđun A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếuAnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRA Tính bão hòanguyên tố nhìn chung không thỏa mãn với mọi môđun đối đồng điều địaphương Artin (xem [11, Ví dụ 4.4]) Trong [10], N T Cường - N T Dung

- L T Nhàn đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều

địa phương cấp cao nhất với giá cực đại Hd

m(M ) thông qua tính catenarycủa vành R/ AnnR(Hmd(M )) và chỉ ra rằng nếu R là miền nguyên khôngcatenary thì Hdim R

m (R) không bão hòa nguyên tố Với cấp i tùy ý, L T.Nhàn và T N An [38] đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của Hi

I(M ), chúng tôi đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho môđun nàythông qua tính catenary của vành rồi chuyển nó về môđun đối đồng điều địaphương cấp cao nhất với giá cực đại của một môđun thương của M Kí hiệu

Định lý 3.1.2 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(ii) Vành R/ AnnRHId(M )là catenary và√I + p = mvới mọi iđêan nguyên

HIdim R(R) trên vành đầy đủ Rb như sau

I(M ) thỏa mãn tính bão hòanguyên tố

Hệ quả 3.2.2 Nếu Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì

AttRHId(M ) = p ∈ AssRM | dim(R/p) = d,pI + p = m

Phần cuối của chương dành để nghiên cứu đối giá và số bội cho môđun

HId(M ) Với hàm tử "đối ngẫu với địa phương hóa" định nghĩa bởi K E.Smith [53]

Fp(−) = HomR HomR(−, E(R/m)), E(R/p)

từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun, trong đó E(−) làbao nội xạ, ta thấy rằng nếu R đầy đủ thì Fp(HId(M )) ∼= HpRd−dim R/p

p (M/N )p.Kết quả này gợi ý cho chúng tôi định nghĩa khái niệm tập đối giá của môđun

đối đồng điều địa phương Hd

I(M ) Tập này được kí hiệu là CosR(HId(M )),

và được cho bởi công thức

CosR(HId(M )) =p ∈ Spec(R) | HpRd−dim(R/p)

p (M/N )p 6= 0 ,trong đó N xác định như trong Định lý 3.1.2 Định lý sau đây đưa ra đặctrưng khác cho tính bão hòa nguyên tố của Hd

I(M ) thông qua tập đối giá

Định lý 3.3.5 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(ii) CosR(HId(M )) = Var(AnnRHId(M ))

Để chứng minh Định lý 3.3.5, chúng tôi cần sử dụng kĩ thuật phân tíchnguyên sơ khá phức tạp Định lý 3.3.5 cũng khẳng định rằng CosR(HId(M ))

là tập con đóng của Spec(R) trong tôpô Zariski khi môđun đối đồng điều địaphương Hd

I(M )thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Chú ý rằng CosR(HId(M ))

có thể không đóng thậm chí khi I = m (xem [4, Ví dụ 3.2]) Chúng tôi cũng

đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng ngay cả khi R là thương của vành chính quy địaphương và tập CosR(HId(M )) là đóng, Hd

I(M ) vẫn không thỏa mãn tính bãohòa nguyên tố (xem Ví dụ 3.3.7)

Theo D Kirby [27], nếu q là iđêan của R sao cho (0 :A q) có độ dài hữuhạn thì `R(0 :A qn+1) là một đa thức bậc N-dimRA với hệ số hữu tỷ khi n

đủ lớn, ta kí hiệu đa thức này là Θq

A(n) Đặt N-dimRA = s.Ta có biểu diễn

ΘqA(n) = `R(0 :A qn+1) = e

0(q, A)s! n

s +đa thức có bậc nhỏ hơn skhi n  0, trong đó e0(q, A) là một số nguyên dương Ta gọi e0(q, A) là sốbội của A ứng với q (xem [4], [13]) Trong [4], M Brodmann và R Y Sharp

đã giới thiệu khái niệm tập giả giá Psuppi

R(M )để xây dựng thành công côngthức bội liên kết cho môđun Hi

m(M ).Kết quả cuối cùng của Chương 3 là sửdụng tập đối giá CosR(HId(M )) để đưa ra công thức liên kết về số bội cho

HId(M ) khi môđun này thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố Chú ý rằng N vàAssR(I, M ) vẫn được kí hiệu như trong Định lý 3.1.2

Hệ quả 3.3.8 Cho q là iđêan m-nguyên sơ Nếu Hd

I(M ) thỏa mãn tính bãohòa nguyên tố thì

e0(q, HId(M )) = X

p∈Cos R (H d

I (M )) dim(R/p)=d

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết về biểudiễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết, môđun đối đồng điều địa phươngArtin, chiều và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin, lớp vành catenaryphổ dụng nhằm thuận tiện cho việc theo dõi kết quả trong các chương sau.Trong suốt cả chương, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địaphương, Rb là vành đầy đủ m-adic của R, M là R-môđun hữu hạn sinh vớichiều là d, A là R-môđun Artin và L là một R-môđun (không nhất thiết hữuhạn sinh hay Artin) Ta cũng kí hiệu I là iđêan tùy ý của R và Var(I) là tậpcác iđêan nguyên tố của R chứa I

1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I G.Macdonald [30] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ.Trong tiết này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả về biểu diễnthứ cấp

Định nghĩa 1.1.1 (i) Một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu L 6= 0 và vớimỗi x ∈ R, phép nhân bởi x trên L là toàn cấu hoặc lũy linh Trong trườnghợp này, tập hợp các phần tử x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là lũy

linh làm thành một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi L là p-thứ cấp.(ii) Cho L là R-môđun Một biểu diễn L = L1 + + Ln, trong đó mỗi

Li là môđun con pi-thứ cấp L, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của L Nếu

L = 0 hoặc L có biểu diễn thứ cấp thì ta nói L là biểu diễn được Biểu diễnnày được gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau vàmỗi Li là không thừa với mọi i = 1, , n

Chú ý rằng, nếu L1, L2 là các môđun con p thứ cấp của L thì L1+ L2 cũng

là môđun con p-thứ cấp của L Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L đều có thể

đưa được về dạng tối tiểu bằng cách bỏ đi những thành phần thừa và gộp lạinhững thành phần cùng chung một iđêan nguyên tố Tập hợp {p1, , pn}

là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L và được gọi là tậpcác iđêan nguyên tố gắn kết của L, kí hiệu là AttRL Các hạng tử Li, với

i = 1, , n, được gọi là các thành phần thứ cấp của L Nếu pi là tối tiểutrong tập AttRL thì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của L và

Li được gọi là thành phần thứ cấp cô lập của L

Mệnh đề 1.1.2 (Xem [30, 4.2]) Giả sử L là một R-môđun biểu diễn được.Khi đó các phát biểu sau là đúng:

(i) AttRL 6= ∅ khi và chỉ khi L 6= 0

(ii) min AttRL = min Var(AnnRL) Đặc biệt,

dim(R/ AnnRL) = max{dim(R/p) | p ∈ AttRL}

(iii) Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn

được Khi đó ta có

AttRL00 ⊆ AttRL ⊆ AttRL0 ∪ AttRL00

Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được

Định lý 1.1.3 [30, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được

Cho A là R-môđun Artin vàbr ∈ bR, u ∈ A Gọi (rn)n∈N là dãy Côsi trong

R đại diện cho lớp br Vì Ru có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên ksao cho mku = 0 Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi

m, n ≥ n0 Suy ra rnu = rn0u với mọi n ≥ n0 Ta định nghĩa tích vô hướngb

ru = rn0u Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như Rb-môđun Với cấu trúc này,một môđun con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của

A xét như Rb-môđun Do đó A là Rb-môđun Artin Nếu xem Rb-môđun A nàynhư là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb thì ta được cấu trúc

R-môđun ban đầu trên A Như vậy, tập iđêan nguyên tố gắn kết của A trên

R vàRb luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắnkết này như sau

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương Artin

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A.Grothendieck [18] vào những năm 1960 và nhanh chóng phát triển, đượcnhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm (có thể kể đến một số công trình

điển hình như [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52],[57], [58]) Ngày nay, lý thuyết đối đồng điều địa phương đã trở thành công

cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Đại sốgiao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp Một số tính chất rất được chú ýcủa môđun đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu, tính hữu hạn sinh vàtính Artin Khoảng những năm 1970, I G Macdonald và R Y Sharp ([31],

[50]) đã phát hiện ra các lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin và sửdụng lý thuyết biểu diễn thứ cấp để nghiên cứu các môđun này Trong tiếtnày, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất của môđun đối đồng

điều địa phương như tính độc lập với vành cơ sở, tính triệt tiêu, tính Artin.Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến những tính chất về tập iđêan nguyên tố gắnkết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin

Định nghĩa 1.2.1 (Xem [3, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R.Với mỗi R-môđun L, đặt ΓI(L) = S

n≥0

(0 :L In) Nếu f : L → L0 là

đồng cấu các R-môđun thì f(ΓI(L)) ⊆ ΓI(L0)) Do đó ta có đồng cấu

ΓI(f ) : ΓI(L) → ΓI(L0) được xác định bởi ΓI(f )(x) = f (x) với mỗi

x ∈ ΓI(L) Khi đó ΓI(−) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù các

R-môđun và được gọi là hàm tử I-xoắn

Định nghĩa 1.2.2 (Xem [3, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0,hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử ΓI(−) được gọi là hàm tử đối đồng

điều địa phương thứ i đối với I và được kí hiệu là Hi

J thì Hi

I(L) = HJi(L).Hai tính chất cơ bản đầu tiên của môđun đối đồng điều địa phương đềuliên quan đến đồng cấu vành Chú ý rằng nếu f : R → R0 là một đồng cấuvành và L0 là R0-môđun thì L0 là R-môđun cảm sinh bởi f, trong đó phépnhân vô hướng r ∈ R với m0 ∈ L0 là f(r)m0.Với phép nhân vô hướng này, taluôn xác định được các R-môđun Hi

IR 0(L0) và Hi

I(L0), trong đó IR0 là iđêancủa R0 sinh bởi f(I) Lúc này việc tính môđun đối đồng điều địa phương thứ

i của L0 trên R và trên R0 là như nhau Đây chính là tính chất cơ bản đầutiên và được gọi là tính độc lập với vành cơ sở

Định lý 1.2.3 (Xem [3, Định lý 4.2.1]) Cho f : R → R0 là một đồng cấuvành, L0 là R0-môđun và I là một iđêan của R Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có

Một trong những kết quả quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết

đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địaphương (xem [3, 6.1.2, 6.1.4])

Định lý 1.2.5 (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A Grothendieck)(i) Hi

I(L) = 0 với mọi i > dim SuppRL;

(ii) Nếu M 6= 0 thì d = max{i|Hi

m(M ) 6= 0};(iii) Nếu M 6= 0 thì depth(I, M) = min{i|Hi

I(M ) 6= 0}

Ngoài ra, tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương còn liên quan

đến các môđun I-xoắn (xem [3, Hệ quả 2.1.7]) và bậc số học của iđêan (xem[3, Hệ quả 3.3.7]) Đặc biệt, Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne cho

ta tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương của vành tại cấp caonhất với giá tùy ý (xem [3, Định lý 8.2.1])

Định lý 1.2.6 Giả sử dim R = n và I là một iđêan của R Các mệnh đề sau

Khoảng những năm 1970, I G Macdonald và R Y Sharp ([31], [50]) đãphát hiện ra hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin, đó là : môđun

đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giá cực đại và môđun đối đồng điều

địa phương cấp cao nhất với giá bất kì (xem [31, Mệnh đề 2.1], [50, Định

lý 3.3]) Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạnsinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin (xem [3, Hệ quả7.3.3]) Vì thế, hai kết quả về tính Artin này của I G Macdonald và R Y.Sharp rất được quan tâm

Định lý 1.2.7 Các phát biểu sau luôn đúng:

(i) Hi

m(M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0;

(ii) Hd

I(M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp của I G Macdonald [30] đóng một vai tròquan trọng trong việc nghiên cứu các môđun đối đồng điều địa phương Artin.Dưới đây là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun

đối đồng điều địa phương Artin được chứng minh bởi I G Macdonald và R

Y Sharp ([31], [50]) Trước hết, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun

đối đồng điều địa phương với giá cực đại được cho bởi công thức sau

Định lý 1.2.8 [31, Định lý 2.2] Cho M 6= 0 với dim M = d Khi đó

Hmd(M ) 6= 0 và

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim(R/p) = d}

Kết quả sau đây được chứng minh bởi R Y Sharp [47, Định lý 4.8] và

được gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu

Định lý 1.2.9 Cho p ∈ SuppR(M ) sao cho dim R/p = t Giả sử

i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với q ⊆ p sao cho

qRp ∈ AttRp(HpRi (Mp)) Khi đó q ∈ AttR(Hmi+t(M ))

tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q bão hòa giữa p và q, nghĩa là với mọi

i = 0, , n − 1, không thể chèn thêm iđêan nguyên tố nào giữa pi và pi+1.Khi đó n được gọi là độ dài của dãy các iđêan nguyên tố bão hòa này

Định nghĩa 1.3.1 Vành R được gọi là catenary nếu với mỗi cặp iđêannguyên tố p ⊂ q của R, mọi dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa p và q

đều có chung độ dài

Năm 1937, W Krull đã chỉ ra lớp vành catenary đầu tiên Ông chứngminh rằng nếu K là một trường thì mọi K-đại số hữu hạn sinh đều là vànhcatenary và do đó vành đa thức trên trường K là catenary Năm 1946, I.Cohen [8] đã chứng minh rằng mọi vành địa phương đầy đủ là catenary Sau

đó, M Nagata [37] cũng chỉ ra rằng mọi miền nguyên địa phương tựa khôngtrộn lẫn là catenary Rõ ràng nếu R là vành catenary thì Rp là catenary vớimọi p ∈ Spec(R) Ngoài ra, vành catenary còn có tính chất sau.

Mệnh đề 1.3.2 (Xem [44]) Các mệnh đề sau là đúng:

(i) Nếu R là catenary thì vành thương của R cũng là catenary

(ii) R là catenary khi và chỉ khi dim R/q = dim R/p + ht p/q với mọiiđêan nguyên tố p, q thỏa mãn q ⊆ p

Phần tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của một loạivành catenary đặc biệt, đó là vành catenary phổ dụng

Định nghĩa 1.3.3 (Xem [33]) Vành R được gọi là vành catenary phổ dụngnếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary

Vì mỗi R-đại số sinh bởi n phần tử đều là thương của vành đa thứcR[x1, , xn] và thương của vành catenary lại là vành catenary nên vành

R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa thức hữu hạn biến trên

R là catenary

Định lý sau đây đưa ra điều kiện để một vành là catenary phổ dụng thôngqua tính tựa không trộn lẫn và tính Cohen-Macaulay của vành Chú ý rằng,theo thuật ngữ của M Nagata [36], vành R được gọi là tựa không trộn lẫnnếu dimR/P = dim bb R với mọi P ∈ min AssRb Vành R được gọi là vànhCohen-Macaulay địa phương nếu depth R = dim R

Định lý 1.3.4 [33, Định lý 17.9, 31.6] R là catenary phổ dụng nếu thỏamãn một trong các điều kiện sau:

(i) R là tựa không trộn lẫn;

(ii) R là thương của một vành Cohen-Macaulay

Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng

Định lý 1.3.5 [33, Định lý 31.7] Các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là catenary phổ dụng;

(ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary;

(iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R)

Chú ý rằng, nếu dim R ≤ 2 thì R là catenary Suy ra, khi dim R ≤ 1 ta

có dim R[x] ≤ 2, do đó R[x] là catenary Vì thế, nếu dim R ≤ 1 thì R làcatenary phổ dụng

1.4 Chiều và tính bão hòa nguyên tố

Trong [46], R N Roberts đã giới thiệu khái niệm chiều Krull (kí hiệu làKdim) cho môđun tùy ý và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho cácmôđun Artin Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các môđunhữu hạn sinh, D Kirby trong [28] đã đổi thuật ngữ của Roberts và đề xuấtthành chiều Noether Sau đây là khái niệm chiều Noether cho môđun Artintheo thuật ngữ của D Kirby [28]

Định nghĩa 1.4.1 Chiều Noether của R-môđun Artin A, kí hiệu bởiN-dimRA, được định nghĩa như sau: khi A = 0, đặt N-dimRA = −1 Bằngquy nạp, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dimRA = dnếu N-dimRA < d

là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ của A, tồn tại một

số tự nhiên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d với mọi n > n0

Như vậy N-dimRA = 0 khi và chỉ khi A 6= 0 và A là Noether Trongtrường hợp này, A có độ dài hữu hạn Khi N-dimRA > 0,nếu chỉ dùng Địnhnghĩa 1.4.1 thì rất khó có thể xác định được N-dimRA.Cần chú ý thêm, vớimỗi R-môđun Artin A và mỗi iđêan q của R sao cho `R(0 :A q) < ∞, D.Kirby [27] đã chỉ ra rằng tồn tại một đa thức Θq

A(n)với hệ số hữu tỷ sao cho

`R(0 :A qn+1) = ΘqA(n) khi n  0 Đa thức này, theo một nghĩa nào đó, là

đối ngẫu với đa thức Hilbert - Samuel của môđun hữu hạn sinh và được gọi

là đa thức Hilbert-Samuel của môđun Artin A tương ứng với q Trong [46],

R N Roberts đưa ra kết quả quan trọng sau về chiều Noether của môđunArtin

N-dimRA = deg(`R(0 :A qn+1))

= inf{t | ∃x1, , xt ∈ m : `R(0 :A (x1, , xt)R) < ∞}

Kết quả này cho phép chúng ta có thể tính toán được chiều Noether, có thể

định nghĩa các khái niệm hệ bội, hệ tham số, phần hệ tham số một cách tựnhiên và từ đó nghiên cứu số bội của môđun Artin Kết quả này cũng cho

ta thấy khái niệm chiều Noether trong nhiều khía cạnh có vai trò quan trọng

đối với môđun Artin tương tự như vai trò của chiều Krull đối với môđun hữuhạn sinh Tuy nhiên, có những kết quả về chiều Noether lại khác biệt sovới chiều Krull Chẳng hạn, chiều Noether của môđun Artin luôn hữu hạnngay cả khi vành cơ sở R không là vành Noether, trong khi đó tồn tại vànhNoether (không địa phương) với chiều Krull vô hạn (xem [36])

Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa chiều Noether của môđun Artin

A và chiều Krull của vành R/ AnnRA

Mệnh đề 1.4.2 [11, Mệnh đề 2.5, Hệ quả 2.6] Các phát biểu sau là đúng:(i) N-dimR(A) = 0 nếu và chỉ nếu dim R/ AnnRA = 0 Trong trườnghợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnRA là vành Artin

(ii) N-dimRA 6 dim(R/ AnnRA)

Chú ý rằng tồn tại R-môđun Artin A sao cho N-dimRA < dim(R/ AnnRA)(xem [11, Ví dụ 4.1]) Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện nào củavành R hoặc của môđun Artin A ta có N-dimRA = dim(R/ AnnRA)?

Mệnh đề 1.4.3 [11, Hệ quả 2.6] Nếu R đầy đủ thì

N-dimRA = dim(R/ AnnRA)

Chú ý rằng A có cấu trúc tự nhiên như Rb-môđun Với cấu trúc này, mốiquan hệ giữa chiều Noether của A trên R và Rb như sau

Theo Định lý 1.2.7, các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i Vì thế chiều của các môđun này cũngluôn xác định và có các tính chất đã nêu ở trên Ngoài ra, chiều của cácmôđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hi

m(M ) còn có mối liên hệvới cấp của môđun này

Định lý 1.4.5 [11, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6] Các phát biểu sau là đúng:(i) N-dimR(Hmi(M )) ≤ i

(ii) N-dimR(Hmd(M )) = dim R/ AnnR(Hmd(M )) = d

Một trong những tính chất được quan tâm khi nghiên cứu môđun Artin

là tính bão hòa nguyên tố, được giới thiệu bởi N T Cường và L T Nhàntrong [11] với tên gọi là tính chất (*) Ta đã biết AnnR(M/pM ) = p vớimỗi R-môđun hữu hạn sinh M và với mỗi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM.Xét tính chất tương tự AnnR(0 :A p) = p, với mọi p ⊇ AnnRA, cho môđunArtin A Tính chất này nhìn chung không đúng (xem [11, Ví dụ 4.6]) Từ đó

ta có định nghĩa sau (xem [11, Định nghĩa 4.3])

Định nghĩa 1.4.6 Một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòanguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRA

Rõ ràng AnnR(0 :A p) ⊇ p Do đó A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tốkhi và chỉ khi AnnR(0 :A p) là bé nhất có thể, với mỗi iđêan nguyên tố

p ⊇ AnnRA Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tồn tại những môđun Artin thỏamãn tính bão hòa nguyên tố.

Mệnh đề 1.4.7 [11, Bổ đề 4.5] A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố nếu mộttrong các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) R là đầy đủ;

(ii) A chứa một môđun con đẳng cấu với bao nội xạ của R/m

Tính bão hòa nguyên tố ngày càng được quan tâm sử dụng nhiều trongviệc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu hạn sinh và cấu trúc vành cơ sở(xem [10], [11], [38], [39], [60], [61]) Trước hết là kết quả của N T Cường

và L T Nhàn [11] về mối liên hệ giữa tính bão hòa nguyên tố và chiều củamôđun Artin

Mệnh đề 1.4.8 [11, Mệnh đề 4.5] Nếu A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tốthì dim R/ AnnRA = N-dimRA

Trong [11], họ cũng đưa ra ví dụ khẳng định chiều ngược lại của Mệnh đề1.4.8 là không đúng (xem [11, Ví dụ 4.6]) Sau đó, H Zăoschinger [61] đã

đặc trưng vành cơ sở R để mọi R-môđun Artin đều thỏa mãn tính bão hòanguyên tố Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên R → Rb được gọi là thỏa mãn tínhchất đi lên nếu với bất kì p, q ∈ Spec(R), Q ∈ Spec(R)b thỏa mãn q ⊆ p và

Q∩ R = q, luôn tồn tại P ∈ Spec(R)b thỏa mãn Q ⊆ P và P ∩ R = p

Định lý 1.4.9 (Xem [61]) Đồng cấu tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đilên khi và chỉ khi tính bão hòa nguyên tố được thỏa mãn cho mọi R-môđunArtin A

N T Cường, N T Dung và L T Nhàn [10] đã chỉ ra mối liên hệ giữa tínhbão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất vớigiá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở Chú ý rằng, Hd

m(M ) là

R-môđun Artin theo Định lý 1.2.7 Mối liên hệ này được phát biểu như sau

Định lý 1.4.10 (Xem [10]) Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hd

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(ii) Vành R/ AnnRHmd(M ) là catenary

Gần đây, L T Nhàn và T N An trong [39] đã nghiên cứu tính bão hòanguyên tố cho các môđun Artin tựa không trộn lẫn trong mối liên hệ vớitính catenary của vành cơ sở và chiều của các môđun Artin đó Theo L T.Nhàn và T N An [39], một R-môđun Artin A là tựa không trộn lẫn nếudim( bR/P) = dim( bR/ Ann

Định lý 1.4.11 [39, Định lý 1.1] Giả sử A là tựa không trộn lẫn Nếu

A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì vành R/ AnnRA là catenary vàdim(R/ AnnRA) = dim( bR/ Ann

b

RA).Chú ý rằng chiều ngược lại của Định lý 1.4.11 là không đúng (xem [39,

Ví dụ 3.4]) Thay cho việc nghiên cứu tất cả các môđun Artin không trộnlẫn, L T Nhàn và T N An đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho cácmôđun đối đồng điều địa phương Artin không trộn lẫn

Định lý 1.4.12 [39, Định lý 1.2] Giả sử Hi

m(M ) là tựa không trộn lẫn Khi

đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hi

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố ;

(ii) dim(R/ AnnR(Hmi(M ))) = N-dim(Hmi(M )) và R/ AnnR(Hmi(M ))

hiệu bởi Psuppi

R(M ), là tập hợp gồm các iđêan nguyên tố p của R sao cho

m(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(ii) Var(AnnR(Hmi(M ))) = PsuppiR(M )

Chương 2

Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương,

A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Vớimỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I

Kí hiệuRb vàMclần lượt là đầy đủ m-adic của R và M Mục tiêu của chươngnày là nghiên cứu việc chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun

đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hi

m(M ) qua đầy đủ m-adic trongmối liên hệ với tính catenary phổ dụng và các thớ hình thức Cohen-Macaulaycủa vành cơ sở Cấu trúc của vành cơ sở còn được phản ánh qua sự tồn tạimột đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun Artin Hi

m(M )mà chúngtôi nghiên cứu trong phần cuối của chương này Nội dung của chương này

được trình bày dựa theo hai bài báo [7] và [41]

2.1 Chuyển iđêan nguyên tố gắn kết qua đầy đủ

Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên

tố liên kết của M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của Mcđược cho bởihai công thức sau

Bổ đề 2.1.1 (i) AssRbM =c [

p∈Ass M

Assb

R( bR/p bR);

(ii) AssRM = P ∩ R | P ∈ Ass

b

RMc Chứng minh Khẳng định (i) được suy ra ngay từ [33, Định lý 23.2(ii)] Cho

f : R → bR là đồng cấu tự nhiên và fa : Spec( bR) → Spec(R) là ánh xạ cảmsinh của f Vì f là ánh xạ phẳng hoàn toàn nên theo [33, Định lý 7.3(i)], fa

là toàn ánh áp dụng [33, Định lý 23.2(ii)] ta có

AttRA = {P ∩ R | P ∈ Att

b

RA}

Công thức này là đối ngẫu với công thức (ii) trong Bổ đề 2.1.1 Tuy nhiên

đối ngẫu với công thức (i) trong Bổ đề 2.1.1

Attb

RA = [

p∈Att R A

Assb

cho dim(R/P) = 1b Khi đó theo Hệ quả 1.2.10 ta có P ∈ AttRbH1

m b R( bR).Hơn nữa, P ∩ R ∈ Ass R theo Bổ đề 2.1.1(ii) Vì vành R là miền nguyênnên Ass R = {0} Do đó P ∩ R = 0 Chú ý rằng theo Định lý 1.2.7, H1

m(R)

là R-môđun Artin Suy ra H1

m(R)có cấu trúc Rb-môđun Artin áp dụng Định

lý 1.2.4 ta có các Rb-đẳng cấu

Hm1(R) ∼= Hm1(R) ⊗R R ∼b = Hm b1R( bR)

Vì thế P ∈ AttRbHm1(R) Suy ra 0 = P ∩ R ∈ AttRHm1(R) theo Mệnh đề1.1.4 Vì dimR = dim R = 2b nên tồn tại iđêan nguyên tố Q ∈ AssRb saocho dim(R/Q) = 2.b Khi đó Q∩R = 0 theo Bổ đề 2.1.1(ii) Đặt A = H1

p∈Att R A

Assb

R( bR/p bR) với mỗi R-môđun Artin A;

(ii) ánh xạ cảm sinh fa : Spec( bR) → Spec(R) là song ánh

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Vì ánh xạ tự nhiên R → Rb là phẳng hoàn toàn nêntheo [33, Định lý 7.3(i)] ánh xạ cảm sinh fa : Spec( bR) → Spec(R) là toàn

ánh Giả sử tồn tại P1, P2 ∈ Spec( bR) sao cho P1 ∩ R = P2 ∩ R Đặt

áp dụng Mệnh đề 1.1.4 ta có AttRA = p} Vì vậy AttRbA = Ass

b

R( bR/p bR)theo giả thiết (i) Suy ra {P1} = Ass

b

R( bR/p bR) Tương tự, bằng cáchxét Rb-môđun Artin B := Ht

(ii) ⇒ (i) Lấy P ∈ AttRbA Đặt p := P ∩ R Khi đó p ∈ AttRA theo Mệnh

đề 1.1.4 Lấy Q ∈ AssRb( bR/p bR) Suy ra Q ∩ R = p Từ giả thiết (ii) ta có

P = Q và do đó P ∈ AssRb( bR/p bR), trong đó p ∈ AttRA Ngược lại, giả sử

p ∈ AttRA và P ∈ AssRb( bR/p bR) Theo Mệnh đề 1.1.4, tồn tại Q ∈ AttRbAsao cho p = Q ∩ R Vì P ∈ AssRb( bR/p bR) nên P ∩ R = p Suy ra P = Q

do giả thiết (ii) Vì thế P ∈ AttRbA

Nhận xét 2.1.4 Tồn tại vành Noether địa phương (R, m) không đầy đủ saocho

Attb

RA = [

p∈AttRA

Assb

R( bR/p bR)

với mọi R-môđun Artin A Chẳng hạn, nếu R là một vành định giá rời rạckhông đầy đủ thì R thỏa mãn điều kiện trong Mệnh đề 2.1.3(ii) và do đócông thức này là đúng Chú ý rằng R là vành định giá rời rạc nếu và chỉnếu R là miền nguyên Noether địa phương chiều 1 và iđêan cực đại là iđêanchính (xem [33, Định lý 11.2]) Nếu R là vành định giá rời rạc thì Rb cũng làvành định giá rời rạc, do đó ánh xạ Spec(R) → Spec(R)b là song ánh Một ví

dụ về vành định giá rời rạc không đầy đủ là địa phương hóa của vành K[x]tại iđêan cực đại (x), trong đó K là một trường và K[x] là vành đa thức mộtbiến x trên K

Ví dụ 2.1.2 đã chứng tỏ rằng công thức (1) nhìn chung không đúng chocác môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Vì thế ta tiếp tục xem

xét mối quan hệ

Attb

RHmi(M ) = [

p∈Att R H i

m (M )

Assb

R( bR/p bR)

giữa hai tập AttRHmi(M ) và AttRbHmi (M ).Kết quả sau đây đưa ra một điềukiện đủ để công thức này luôn đúng Trước hết chúng ta nhắc lại một số kếtquả liên quan đến đối ngẫu địa phương và đối ngẫu Matlis Kí hiệu E(R/m)

là bao nội xạ của R-môđun R/m và đặt D(−) := HomR(−, E(R/m)).Khi đó D(N) được gọi là đối ngẫu Matlis của R-môđun N Trong trườnghợp vành R là đầy đủ, đối ngẫu Matlis cho ta một tương đương khá đẹpgiữa phạm trù các R-môđun Artin và phạm trù các R-môđun hữu hạnsinh Cụ thể, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artinthì D(M) là R-môđun Artin và D(A) là R-môđun hữu hạn sinh Hơn nữa,D(D(M )) ∼= M và D(D(A)) ∼= A (xem [32, Hệ quả 4.3]) Nếu vành Rkhông đầy đủ thì D(D(M)) ∼= cM và D(M) là R-môđun Artin Đồng thờiAttRD(M ) = AssRM (xem [47, Định lý 2.3]) Hơn nữa, vì A có cấu trúcb

R-môđun Artin nên D(A) là Rb-môđun hữu hạn sinh và DR(A) ∼= D

b

R(A)(xem [3, Định lý 10.2.19])

Một câu hỏi tự nhiên là, khi vành R đầy đủ, R-môđun hữu hạn sinh nàotương ứng với R-môđun Artin Hi

m(M )? Định lý đối ngẫu địa phương khôngchỉ trả lời cho câu hỏi này cho trường hợp vành đầy đủ mà còn cho một lớpvành rộng hơn: vành thương của vành Gorenstein Đồng thời, đối ngẫu địaphương cung cấp một công cụ cơ bản để nghiên cứu các môđun đối đồng

điều địa phương ứng với giá cực đại Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vànhGorenstein địa phương nếu R có chiều nội xạ hữu hạn, tức là R có một giảinội xạ trong đó chỉ có hữu hạn môđun nội xạ khác 0

Bổ đề 2.1.5 (Xem [47, Hệ quả 3.5]) Giả sử R là thương của một vànhGorenstein địa phương (R0, m0) với dim R0 = n0 và f : R0 → R là toàn cấu

vành Khi đó Exti

R 0(M, R0) là R-môđun hữu hạn sinh và ta có R-đẳng cấu

Hmi(M ) ∼= D(ExtnR00−i(M, R0)) với mọi i ≥ 0

Ta kí hiệu Ki(M ) = KRi(M ) := ExtnR00−i(M, R0) với mỗi i ≥ 0.Theo P Schenzel [51], Ki(M ) được gọi là môđun khuyết thứ i của M vàK(M ) := Kd(M ) được gọi là môđun chính tắc của M Định lý 2.1.5 suy

ra kết quả sau về các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địaphương Hi

Mệnh đề sau đây là kết quả chính của tiết này

Mệnh đề 2.1.7 Giả sử R là thương của một vành Gorenstein địa phương.Khi đó với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và với mỗi số nguyên i ≥ 0 ta có

Attb

RHmi(M ) = [

p∈Att R H i

m (M )

Assb

R( bR/p bR) (2)

Chứng minh Giả sử (R0, m0) là vành Gorenstein địa phương có chiều là nsao cho vành R là thương của R0 Khi đó Hi

m(M ) ∼= D(Ki(M )) theo Bổ đề2.1.5 Vì Ki(M ) là R-môđun hữu hạn sinh nên theo [47, Định lý 2.3] ta có

AttRHmi(M ) = AttRD(Ki(M )) = AssRKi(M )

Kí hiệu \Ki(M ) là đầy đủ m-adic của Ki(M ) Khi đó đối ngẫu Matlis cho

ta đẳng cấu giữa các Rb-môđun

D(Hmi (M )) ∼= D(D(Ki(M ))) ∼= \Ki(M )

Suy ra Hi

m(M ) ∼= D(D(Hmi (M ))) ∼= D( \Ki(M )) Vì \Ki(M ) là Rb-môđun

hữu hạn sinh nên cũng theo [47, Định lý 2.3] và Bổ đề 2.1.1 ta có

R( bR/p bR)

Vì AssRKi(M ) = AttRHmi(M ) nên ta có

Attb

RHmi(M ) = [

p∈Att R H i

m (M )

Assb

R( bR/p bR)

Chú ý rằng tồn tại vành Noether địa phương (R, m) sao cho công thức(2) luôn đúng với mọi R-môđun Hi

m(M ) nhưng R không là thương của mộtvành Gorenstein địa phương Sau đây là một ví dụ

Ví dụ 2.1.8 Cho (R, m) là miền nguyên Noether địa phương có chiều là 1sao cho R không thể viết dưới dạng thương của một vành Gorenstein địaphương (tồn tại miền nguyên như vậy theo D Ferrand và M Raynaud [54]).Khi đó công thức (2) đúng cho mọi Hi

m(M ) Thật vậy, nếu Hi

m(M ) = 0 thìAtt

m(M ) Nếu H1

m(M ) 6= 0thì theo Định

lý 1.2.8 ta có dim M = dimM = 1c Vì R là miền nguyên nên Ass R = {0}

Do dim M = 1 nên ta có AttRHm1(M ) = {0} = min AssRM theo Định lý1.2.8 Vì min AssRb( cM ) và Ass(R)b chỉ gồm những iđêan nguyên tố chiều 1nên theo Định lý 1.2.8 và Bổ đề 2.1.1(i) ta có

R( bR/p bR)

Do đó công thức (2) đúng cho H1

m(M )

2.2 Trường hợp vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Macaulay

Cohen-Như chúng ta đã biết, nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương thì

R là thương của vành Cohen-Macaulay, nhưng điều ngược lại không đúng,chẳng hạn khi R là miền nguyên chiều 1 trong Ví dụ 2.1.8 là vành Cohen-Macaulay nhưng không là thương của vành Gorenstein Nói cách khác, lớpvành là thương của vành Gorenstein địa phương thực sự nằm trong lớp vành

là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương Trong [26, Hệ quả 1.2], T.Kawasaki đã chứng minh được R là thương của vành Cohen-Macaulay địaphương khi và chỉ khi R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức làCohen-Macaulay Nhắc lại rằng, với mỗi p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(R)b saocho P ∩ R = p, đồng cấu tự nhiên R → Rb cảm sinh ra đồng cấu địa phương

f : Rp → bRP Khi đó vành thớ RbP ⊗ (Rp/pRp) ∼= bRP/p bRP của đồng cấu

f trên iđêan cực đại pRp của Rp được gọi là thớ hình thức của R ứng với p

và P Kết quả này của T Kawasaki là khá thú vị vì nó liên hệ một tính chấttrên vành với một tính chất trên các thớ hình thức của vành Gần đây, N T.Cường và Đ T Cường [9, Định lý 5.2] đưa ra một số đặc trưng khác của lớpvành là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thông qua sự tồn tại

hệ tham số p-chuẩn tắc Một câu hỏi tự nhiên là công thức (2) còn đúng khixét trên lớp vành mở rộng hơn như lớp vành catenary phổ dụng với mọi thớhình thức Cohen-Macaulay? Mục tiêu của tiết này là trả lời một phần chocâu hỏi đó Cụ thể, chúng tôi đưa ra một đặc trưng cho lớp vành catenaryphổ dụng có mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệgiữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết tối tiểu của Hi

m(M ) trên R và R.b Công

cụ chủ yếu mà chúng tôi sử dụng để chứng minh kết quả chính của tiết này

là khái niệm giả giá thứ i của M, được giới thiệu bởi M Brodmann và R Y.Sharp trong [4] Khái niệm này được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 2.2.1 Cho i ≥ 0 là một số nguyên Giả giá thứ i của M, kí hiệu

là Psuppi

R(M ), được cho bởi công thức

PsuppiR(M ) = {p ∈ Spec(R) | HpRi−dim(R/p)

p (Mp) 6= 0}

Khái niệm giả giá là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu chiều

và số bội cho môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M ) (xem [4], [38]),nghiên cứu cấu trúc của môđun chính tắc của M (xem [2]) cũng như quỹtích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộngcủa M (xem [14], [42]) Vai trò của Psuppi

R(M ) đối với các R-môđun đối

đồng điều địa phương Artin Hi

m(M ) theo một nghĩa nào đó là quan trọngnhư vai trò của tập giá đối với môđun hữu hạn sinh Sau đây là một số tínhchất của tập giả giá Chú ý rằng, tập con T của Spec(R) được gọi là tập

đóng dưới phép đặc biệt hóa nếu với hai iđêan nguyên tố bất kì p, q của Rthỏa mãn p ⊆ q và p ∈ T ta luôn có q ∈ T

Bổ đề 2.2.2 [4, Bổ đề 2.2] Giả sử R là catenary Cho số nguyên i ≥ 0 Khi

đó Psuppi

R(M ) là tập đóng dưới phép đặc biệt hóa

Tập giả giá khi chuyển qua đầy đủ có tính chất sau

Bổ đề 2.2.3 [4, Định lý 2.4] Giả sử vành R là catenary phổ dụng và mọithớ hình thức là Cohen-Macaulay Cho i ≥ 0 là một số nguyên Cho

p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(R)b là iđêan tối tiểu của pRb Khi đó p làphần tử tối tiểu của Psuppi

R(M ) nếu và chỉ nếu P là phần tử tối tiểu củaPsuppi

b

R( cM )

Với mọi số nguyên i ≥ 0 ta luôn có Psuppi

R(M ) ⊆ Var(AnnRHmi(M ))(xem [14, Bổ đề 2.3]) Hơn nữa, các ví dụ [4, 3.1, 3.2] cũng chỉ ra rằng