Môđun cohen - macaulay dãy

Môđun cohen - macaulay dãy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

NGUYỄN THỊ NHUNG

MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY

Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2010

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

NGUYỄN THỊ NHUNG

MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010

Mục lục

Lời nói đầu 2

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Lý thuyết bội 5

1.2 Đối đồng điều địa phương 6

1.3 Môđun Cohen - Macaulay 7

2 dd- Dãy, lọc chiều và hệ tham số tốt 10 2.1 Các tính chất cơ bản của dd - dãy 10

2.2 Lọc thoả mãn điều kiện chiều và hệ tham số tốt 12

3 Môđun Cohen - Macaulay dãy 20 3.1 Môđun Cohen - Macaulay dãy 20

3.2 Đặc trưng của môđun Cohen - Macaulay dãy 26

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Lời nói đầu

Nghiên cứu cấu trúc của môđun thông qua nghiên cứu các tính chất củahàm độ dài xác định bởi độ dài môđun thương qua một hệ tham số nào đó làphương pháp nghiên cứu quan trọng trong Đại số giao hoán Từ những năm

50 của thế kỷ trước, Serre đã chỉ ra có thể dùng phức Koszul để tính bội củamột môđun đối với một hệ tham số, từ đó đưa ra mối liên hệ giữa hàm độdài, số bội với độ dài của các môđun đối đồng điều Koszul Các mối liên hệ

đó được tiếp tục nghiên cứu trong các công trình của Auslander-Buchsbaum

và các tác giả khác, dẫn đến những kết quả mà ngày nay trở thành cơ bảntrong Đại số giao hoán Ta luôn xét (R, m) là vành giao hoán, địa phương,Noether với iđêan cực đại m, M là một R- môđun hữu hạn sinh có chiềudim M = d Ký hiệu x = x1, x2, , xd ∈ m là một hệ tham số của M Khi

đó ta luôn có l(M/xM) ≥ e(x, M), trong đó l(∗) là hàm độ dài, e(x, M) là

số bội của M đối với hệ tham số x Khi dấu bằng xảy ra thì M được gọi làmôđun Cohen-Macaulay Có thể nói môđun Cohen-Macaulay là một trongnhững cấu trúc được nghiên cứu kỹ và có nhiều ứng dụng nhất trong Đại sốgiao hoán

Một mở rộng tự nhiên của môđun Cohen - Macaulay là môđun Macaulay dãy Tính Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên được giới thiệu bởiStanley cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh Sau đó N.T Cường, L.T Nhàn[6] và P Schenzel [9] đã nghiên cứu lớp môđun này trên vành địa phương Tagọi M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu tồn tại một lọc D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M các môđun con của M sao cho l(D0) < ∞, mỗi thương

Cohen-Di/Di−1 là Cohen-Macaulay và

0 < dim(D1/D0) < dim(D2/D1) < < dim(Dt/Dt−1) = d

Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M cũng là môđun Cohen-Macaulaydãy với lọc 0 = D0 ⊂ D1 = M Một lọc D của M được gọi là lọc chiều

của M nếu Di−1 là môđun con lớn nhất của Di với dim Di−1 < dim Di, i =

1, 2, , t, D0 = Hm0(M )là môđun đối đồng điều địa phương thứ không của

M đối với m Nếu t = 1 trong lọc chiều D ở trên, khi đó M là Macaulay dãy nếu và chỉ nếu lR(D0) < ∞ và D1/D0 là Cohen-Macaulay

Cohen-và từ định lý về số bội trong trường hợp này M là Cohen-Macaulay dãy nếu

và chỉ nếu tồn tại hệ tham số x = x1, , xd của M sao cho l(M/xM) =

lR(D0) + e(x, D1) Cho D là lọc chiều của M với dim Di = di và x =

x1, , xd là hệ tham số của M sao cho Di ∩ (xdi+1, , xd)M = 0, i =

0, 1, , t − 1( hệ tham số như vậy được gọi là hệ tham số tốt của M) Mộtcâu hỏi tự nhiên đặt ra liệu các mệnh đề sau đây còn đúng không:

1 M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu với mọi hệ tham số tốt

x = x1, , xd của M, l(M/xM) = Pt

i=0

e(x1, , xdi, Di)?

2 M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ tham

số tốt x = x1, , xd của M sao cho l(M/xM) = Pt

i=0

e(x1, , xdi, Di)?Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại những kết qủa chính của

N T Cường và Đ T Cường [5] về đặc trưng, tính chất của môđun Macaulay dãy thông qua hệ tham số tốt, qua đó trả lời trọn vẹn cho hai câuhỏi trên

Cohen-Luận văn bao gồm 3 chương Trong Chương 1, trước hết chúng tôi trìnhbày một số kiến thức cơ sở như lý thuyết bội, tính triệt tiêu của đối đồng

điều địa phương, môđun Cohen- Macaulay Chúng là những công cụ cơ bảncho các kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn

Chương 2 giới thiệu khái niệm d-dãy, dd-dãy, lọc thoả mãn điều kiệnchiều và hệ tham số tốt trong [4], [6] Các khái niệm này đóng vai tròquan trọng trong các nghiên cứu chương này và chương sau Tiếp theochúng tôi trình bày sự tồn tại hệ tham số tốt của M và hiệu ID,M(x) =

Chương 3 là chương quan trọng nhất của luận văn Trong chương nàychúng tôi nghiên cứu môđun Cohen-Macaulay dãy trên vành địa phương.Phần đầu chương trình bày tính chất môđun Cohen-Macaulay dãy qua hệtham số tốt và dd-dãy Phần tiếp theo đưa ra các đặc trưng môđun Cohen-Macaulay dãy và là khẳng định đúng cho câu hỏi thứ nhất Với câu hỏithứ hai chúng tôi chỉ ra M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếutồn tại hệ tham số tốt x = x1, , xd của M sao cho l(M/(x2

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn GS TSKH Lê Tuấn Hoa, PGS TS NguyễnQuốc Thắng, PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS TS Nông Quốc Chinh, TS.Nguyễn Thị Dung đã tận tình giảng dạy giúp tôi nắm đựơc những kiến thứccơ sở

Tôi xin cảm ơn các bạn và anh chị lớp Cao học K16 đã cổ vũ động viêntôi trong quá trình làm luận văn

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đìnhtôi Sự động viên về mặt tinh thần và vật chất để tôi hoàn thành bản luận vănnày

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta nhắc lại một số định nghĩa và kết quả cần thiết

sẽ được sử dụng trong luận văn: lý thuyết bội [3], đối đồng điều địa phương[2]; [3], môđun Cohen-Macaulay [3]

1.1 Lý thuyết bội

Trước khi nhắc lại một số tính chất hệ bội, ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 Cho (R, m) là vành địa phương, Noether, M là một môđun hữu hạn sinh, dim M = d Một hệ phần tử x = x1, , xr của Rsao cho lR(M/xM ) < +∞ được gọi là hệ bội của M Khi đó kí hiệu bộie(x, M ) của M đối với hệ bội x được định nghĩa quy nạp theo r như sau:nếu r = 0 thì lR(M ) < +∞, đặt e(∅, M) = lR(M ) và nếu r ≥ 1 thì đặt

R-0 :M x1 = {m ∈ M | mx1 = 0} Dễ thấy x2, , xr là hệ bội của 0 :M x1

áp dụng giả thiết quy nạp cho các môđun M/x1M và 0 :M x1, ta có

e(x, M ) = e(x2, , xr, M/x1M ) − e(x2, , xr; 0 :M x1)

Bội e(x, M) có các tính chất cơ bản sau đây:

Chú ý 1.1.2 i) Cho 0 −→ M0 −→ M −→ M ” −→ 0 là dãy khớp các môđun hữu hạn sinh và x là hệ bội của M Khi đó

R-e(x, M ) = R-e(x, M0) + e(x, M ”)

Bổ đề 1.1.3 [8, Bổ đề Lêch 14.12] Cho (R, m) là vành địa phương, Noether

có chiều d, M là môđun hữu hạn sinh, và x1, , xd là hệ tham số của R,

q = (x1, , xd) là iđêan sinh bởi hệ này Khi đó

1.2 Đối đồng điều địa phương

Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy chính quy của môđun M Cho(R, m)là vành địa phương, M là môđun hữu hạn sinh, x = x1, , xr là dãyphần tử của R

Định nghĩa 1.2.1 x được gọi là dãy chính quy của M nếu (x1, , xr)M 6=

M và xi không là ước của không của môđun M/(x1, , xi−1)M, i =

1.3 Môđun Cohen - Macaulay

Trong mục này trình bày hệ tham số và một số tính chất của nó, môđunCohen-Macaulay Trước tiên ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.1 Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M là R - môđunhữu hạn sinh, dim M = d Khi đó hệ gồm d phần tử x = x1, , xd ∈ m là

hệ tham số nếu l(M/xM) < ∞

Cho x = x1, , xd ∈ m là một hệ tham số và q = (x1, , xd) là iđêansinh bởi hệ này Khi đó q gọi là iđêan tham số của M

Khi x là hệ tham số ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.2 [3, Định lý A.4] Cho (R, m) là vành địa phương Noether,

M là R- môđun hữu hạn sinh và x1, , xr ∈ m Khi đó

dim M/(x1, , xi)M ≥ dim M − i

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1, , xr là hệ tham số của M

Bổ đề 1.3.3 Cho M là môđun hữu hạn sinh Khi đó phần tử x ∈ m là mộtphần tử tham số của M nếu và chỉ nếu x /∈ P với mọi P ∈ Ass(M) sao chodim R/P = d

Chứng minh Giả sử x là phần tử tham số của M thì với mọi n nguyêndương xn cũng là phần tử tham số của M Khi đó dim(M/xnM ) = d − 1,dim(xnM ) = d vì dim M = max{dim(M/xnM ); dim(xnM )} Gọi N làmôđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Khi đó xn

M * N với mọi nnguyên dương Ta có Supp(M/N) = Var(Ann(M/N) nên pAnn(M/N) =T

M in(Ass(M/N )) = M in(Supp(M/N )) Suy ra

x /∈ pAnn(M/N ) = \

P ∈Ass(M/N )

P

Theo [2, Bổ đề 7.3.1], N có tính chất

Ass(M/N ) = {P ∈ Ass(M )| dim R/P = d}

Suy ra x /∈ P với mọi P ∈ Ass(M) thoả mãn dim R/P = d Đảo lại tachứng minh bằng phản chứng Giả sử x /∈ P với mọi P ∈ Ass(M) thoả mãndim R/P = d và dim M/xM = d Suy ra tồn tại P ∈ Ass(M/xM) sao chodim R/P = d Vì P = 0 :M η + xM với phần tử η nào đó của M nên x ∈ P

điều này mâu thuẫn với giả thiết Do đó dim M/xM < d nên theo Mệnh đề1.3.2 ta có dim M/xM = d − 1 và x là phần tử tham số của M

Bổ đề 1.3.4 Cho N là một môđun con của M Khi đó nếu dim(M/N) < dthì tồn tại x là phần tử tham số của M sao cho x ∈ pAnn(M/N) Hơn nữanếu dim(M/N) = d − t < d thì tồn tại t phần tử tham số x1, , xt của Msao cho x1, , xt ∈ Ann(M/N )

Chứng minh Từ pAnn(M/N) = TP ∈Ass(M/N )P và Bổ đề 1.3.3 tồn tạiphần tử x ∈ TP ∈Ass(M/N )P mà x /∈ SQ∈Ass(M ),dim R/Q=dQ Giả sử ngượclại TP ∈Ass(M/N )P ⊆ S

Q∈Ass(M ),dim R/Q=dQ Theo Định lý tránh nguyên tốtồn tại P ∈ Ass(M/N) và Q ∈ Ass(M) với dim R/Q = d sao cho P ⊆ Q.Suy ra dim R/P = d Điều này mâu thuẫn với dim M/N < d, suy ra khẳng

định thứ nhất đúng Giả sử dim(M/N) = d − t < d, theo chứng minhtrên tồn tại x1 là phần tử tham số của M sao cho x1 ∈ Ann(M/N ) Suy ra

x1M ⊆ N Với t = 1 đã chứng minh ở trên Với t > 1, đặt M1 = M/x1M

và N1 = N/x1M Ta có

dim M1/N1 = dim M/N = d − t < d − 1 = dim M1.Suy ra tồn tại x2 là phần tử tham số của M1 sao cho x2 ∈ Ann(M1/N1) =Ann(M/N ) Ta có

dim M/(x1, x2)M = dim M1/x2M1 = dim M1 − 1 = d − 2

Do đó x1, x2 là một phần hệ tham số của M và x1, x2 ∈ Ann(M/N ), suy

ra (x1, x2)M ⊆ N Nếu d − t < d − 2 thì đặt M2 = M/(x1, x2)M, N2 =

N/(x1, x2)M và lý luận tương tự như M1, N1 Bằng quy nạp tại bước thứ

k, 1 ≤ k ≤ t − 1 tồn tại xk+1 sao cho x1, , xk, xk+1 là một phần của hệtham số của M và x1, , xk+1 ∈ Ann(M/N ) Vậy ta có điều phải chứngminh

Định nghĩa 1.3.5 Cho (R, m) là vành địa phương, M là R- môđun hữu hạnsinh Khi đó M là môđun Cohen - Macaulay nếu dim M = depth M.Tiếp theo là một số tính chất tương đương của môđun Cohen-Macaulay.Mệnh đề 1.3.6 [3, Định lý 4.4.6, Định lý 4.6.10] Các khẳng định sau làtương đương:

i) M là môđun Cohen-Macaulay

ii) Tồn tại iđêan tham số q sao cho e(q, M) = l(M/qM)

iii) e(q, M) = l(M/qM) với mọi iđêan tham số q của M

Chương 2

dd- Dãy, lọc chiều và hệ tham số tốt

Mục đích của chương này giới thiệu khái niệm dd-dãy, lọc thoả mãn điềukiện chiều, hệ tham số tốt và một số kết quả liên quan đến khái niệm này.Trong luận văn, chúng tôi luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương, Noether,

M là R- môđun hữu hạn sinh có chiều d

2.1 Các tính chất cơ bản của dd - dãy

Đầu tiên ta nhắc lại định nghĩa d-dãy, d-dãy mạnh

Định nghĩa 2.1.1 Cho một dãy các phần tử x = x1, , xr ∈ m Ta gọi

x là d- dãy của M nếu (x1, , xi−1)M : xj = (x1, , xi−1)M : xixj vớimọi i = 1, , r và j ≥ i Khi đó x1, , xr là một d-dãy mạnh của M nếu(xn1

1 , , xnr

r ) là d- dãy với mọi số nguyên dương n1, , nr

Định nghĩa 2.1.2 Một dãy những phần tử x1, , xr ∈ m là dd-dãy của

M nếu (x1, , xi)là một d-dãy mạnh của môđun M/(xn i+1

i+1, , xnr

mọi số nguyên dương n1, , nr; i = 1, , r

Từ định nghĩa dd-dãy ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1.3 Nếu x1, , xr là một dd- dãy của M thì mọi dãy xn1

1 , , xnr

r

cũng là dd- dãy của M với n1, , nr > 0

Chứng minh Vì x1, , xr là một dd- dãy của M nên xm 1

1 , , xmi

i là dãy của môđun M/(xmi+1

(ii) ⇒ (iii): hiển nhiên khi lấy k = j

(iii) ⇒ (ii): Xét 1 ≤ i ≤ j ≤ r, n1, , nr > 0 Dùng định lý Giao Krull

Bổ đề 2.1.5 [4, Hệ quả 3.6] Cho x = x1, , xd là một hệ tham số của M.Khi đó x là dd- dãy trên M nếu và chỉ nếu tồn tại các số a0, , ad sao chovới mọi n1, , nd > 0, ta có

trong đó ai = e(x1, , xi; (xi+2, , xd)M : xi+1/(xi+2, , xd)M )

2.2 Lọc thoả mãn điều kiện chiều và hệ tham số tốt

Trong mục này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của lọc chiều, hệ tham sốtốt và một số tính chất của nó Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.2.1 i) Ta nói một lọc hữu hạn các môđun con của M

F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M, t < ∞thoả mãn điều kiện chiều nếu dim M0 < dim M1 < < dim Mt = d.ii) Một lọc thoả mãn điều kiện chiều, D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M đượcgọi là lọc chiều của M nếu

a) D0 = Hm0(M ) môđun đối đồng điều địa phương bậc không của M đốivới m

b) Di−1 là môđun con lớn nhất của Di có chiều nhỏ hơn dim Di, i =

Bổ đề 2.2.3 Cho I là iđêan của R, M là một R- là môđun hữu hạn sinh và

N là một môđun con của M Giả sử l(M/IM) < ∞ Khi đó l(N/IN) < ∞

Chứng minh Vì l(M/IM) < ∞ nên pAnn(M/IM) = m Mặt khácpAnn(M/IM) = √Ann M + I Suy ra √Ann M + I = m Do đó tồntại số nguyên dương k sao cho Ann M + I ⊇ mk Vì Ann N ⊇ Ann M nênAnn N + I ⊇ mk Suy ra l(N/IN) < ∞.

Bổ đề sau đây cho ta các tính chất cơ bản của lọc chiều và hệ tham số tốt

Bổ đề 2.2.4 i) Lọc chiều D của M luôn tồn tại và duy nhất Hơn nữa, gọiT

Di trong D sao cho N ⊆ Di và dim N = dim Di Khi đó mỗi lọc F :

M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt0 = M thoả mãn điều kiện chiều, tồn tại các chỉ số

i0 < i1 < < it0 sao cho Mj ⊆ Dij và dim Mj = dim Dij

iii) Nếu x1, , xd là một hệ tham số tốt đối với lọc F thì xn 1

1 , , xnd

là hệ tham số tốt đối với F với n1, , nd > 0

vi) Nếu x1, , xdlà một hệ tham số tốt của M thì x1, , xdlà một hệ tham

số tốt đối với lọc thoả mãn điều kiện chiều

Chứng minh i) Gọi Γ là tập tất cả các môđun con của M có chiều nhỏ hơn

d thì Γ 6= ∅ Vì M là môđun Noether nên luôn tồn tại phần tử cực đại M0

của Γ Giả sử Γ có một phần tử cực đại khác là M” thì M0 + M ” thực sựchứa M1 và M2 Ta có ánh xạ f : M0 ⊕ M00 −→ M0 + M00 xác định bởi(n1, n2) 7−→ n1 + n2 là toàn cấu nên dim(M0 ⊕ M00) ≥ dim(M0 + M00).Mặt khác ta có dãy khớp 0 −→ M0 −→ M0 ⊕ M00 −→ M00 −→ 0 Do

đó dim(M0 + M00) ≤ dim(M0 ⊕ M00) = max{dim M0, dim M00} < dim M.Suy ra điều này mâu thuẫn với tính cực đại của M0 và M00 Vậy phần tử cực

đại M0 của Γ là duy nhất Lấy bất kỳ N ∈ Γ và gọi ΓN là tập hợp tất cảcác môđun con của M chứa N và có chiều nhỏ hơn d Khi đó ΓN 6= ∅ nênluôn có phần tử cực đại Hơn nữa mọi phần tử cực đại của ΓN đều là phần

tử cực đại của M Suy ra ΓN có duy nhất phần tử cực đại là M0 Vì vậy M0

chứa mọi N ∈ Γ và nó là môđun con lớn nhất có chiều nhỏ hơn d Lý luậntương tự đối với M0 và sau hữu hạn bước quy nạp lùi ta đựơc dãy tăng chặtcác môđun con của M

D0 ⊂ D1 ⊂ Dt−1 = M0 ⊂ Dt = Mthoả mãn các tính chất sau:

a) Di−1 là môđun con lớn nhất của Di sao cho dim Di−1 < dim Di, với

i = 1, , t Bằng quy nạp lùi ta chỉ ra Di−1 là môđun con lớn nhất của Mthoả mãn dim Di−1 < dim Di, và do đó nó chứa mọi môđun con của M cóchiều nhỏ hơn hoặc bằng dim Di−1

b) dim D0 > 0 và nếu môđun con N của M thoả mãn dim N < dim D0 thìdim N = 0

Bây giờ ta chứng minh H0

m(M ) là môđun con lớn nhất của M có chiều bằng

0 Vì M là môđun hữu hạn sinh nên Γm(M ) = Hm0(M ) = (0 :M mn)với n là

số nguyên dương nào đó Suy ra mn ⊆ Ann(H0

mM ), do đó dim(H0

mM ) = 0.Giả sử N là môđun con có chiều 0 Khi đó √Ann N = m nên tồn tại

số nguyên dương k sao cho mk ⊆ Ann N Suy ra N ⊆ (0 :M mk) ⊆

Hm0(M ) Vậy H0

m(M ) là môđun con lớn nhất của M có chiều 0 Do đó tồntại H0

m(M ) = D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt−1 ⊂ Dt = M là lọc chiều của M và lọcchiều này duy nhất Biểu diễn của Di được suy ra [9, Mệnh đề 2.2]

ii) Dễ dàng suy ra bằng quy nạp lùi

iii)Đầu tiên ta chứng minh xn 1

mnk ⊆ (Ann(M ) + I)n ⊆ Ann(M ) + In ⊆ Ann(M ) + J

tham số tốt ứng với lọc F với mọi số nguyên dương n1, , nd.

iv) Giả sử (x1, , xd) là hệ tham số tốt, và lọc chiều D

D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M,với dim Di = di, i = 0, 1, , t và F là lọc thoả mãn điều kiện chiều

F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt0 = M,với dim Mj = dj, j = 0, 1, , t0 Theo (ii) với mỗi Mj tồn tại một Di

sao cho Mj ⊆ Di và dj = di Vì Di ∩ (xdi+1, , xd)M = 0 nên Mj ∩(xdj+1, , xd)M = 0 Suy ra (x1, , xd) là hệ tham số tốt ứng với lọcF

Bổ đề sau nói rằng ta có thể tính lọc chiều thông qua hệ tham số tốt

Bổ đề 2.2.5 Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều và x =

x1, , xd là hệ tham số tốt của M Đặt di = dim Mi Khi đó x1, , xdi

là hệ tham số tốt của Di và Di = 0 : xj với mọi di < j < di+1, i =

0, 1, , t − 1

Chứng minh Vì Di ∩ (xdi+1, , xd)M = 0 nên (xd i +1, , xd)Di = 0.Suy ra l(Di/(x1, , xi)Di) = l(Di/(x1, , xd)Di) < ∞ theo Bổ đề 2.2.3

Do đó (x1, , xdi) là hệ tham số của Di Hơn nữa D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂

Di là lọc chiều của Di nên (x1, , xdi) là hệ tham số tốt của Di Ta có

xjDi ⊆ Di ∩ (xdi+1, , xd)M = 0 với mọi j > di, i = 0, , t Suy ra

Di ⊆ 0 :M xj với j > di Do đó ta chỉ cần chứng minh 0 :M xj ⊆ Di với

di < j ≤ di+1 Giả sử trái lại 0 :M xj * Di Gọi s là số nguyên dương lớnnhất sao cho 0 :M xj * Ds−1 Khi đó i + 1 ≤ s ≤ t và 0 :M xj ⊆ Ds Suy ra

0 :M xj = 0 :Ds xj Vì ds ≥ di+1 ≥ j nên xj là một phần tử tham số của Ds

và dim(0 :M xj) < ds Do tính cực đại của Ds−1 ta có 0 :M xj ⊆ Ds−1 Điềunày mâu thuẫn với cách chọn s Vì vậy 0 :M xj ⊆ Di với di < j ≤ di+1 và

bổ đề được chứng minh

Sự tồn tại của hệ tham số tốt được chỉ ra trong bổ đề sau

Bổ đề 2.2.6 Luôn tồn tại hệ tham số tốt của M

Chứng minh Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M là lọc chiều của Mvới dim Di = di Xét một phân tích nguyên sơ tối thiểu trong M, 0 =T

p∈Ass(M )

N (p) Theo Bổ đề 2.2.4(i), Di = T

dim(R/p)≥d i+1

N (p) Đặt Ni =T

dim(R/p)≤di

N (p) Khi đó Di ∩ Ni = 0, nên ta có

Di = Di/Di ∩ Ni ' (Di + Ni)/Ni ⊆ M/Ni,

suy ra dim M/Ni ≥ dim Di = di Mặt khác từ biểu diễn Ni ta có

Ass(M/Ni) = {P ∈ Ass(M )| dim R/P ≤ di},

do đó dim M/Ni = di Sử dụng Bổ đề 1.3.4 và quy nạp lùi để chứng minhtồn tại hệ tham số x = x1, , xd thoả mãn xd i +1, , xd ∈ Ann(M/Ni),

i = 0, 1, , t − 1

Tại i = t − 1, ta có dim M/Nt−1 = dt−1 < d nên theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại(xdt−1+1, , xd) là một phần hệ tham số của M sao cho xd t−1 +1, , xd ∈Ann(M/Nt−1)

Tại i = t − 2, ta có (xd t−1 +1, , xd)M ⊆ Nt−1 ⊆ Nt−2 nên ta đặt M1 =M/(xdt−1+1, , xd)M và N1 = Nt−2/(xdt−1+1, , xd)M Khi đó dim M1/N1

= dim M/Nt−2 = dt−2 < dt−1 = dim M1 Theo Bổ đề 1.3.4 tồn tại

xdt−2+1, , xdt−1 là một phần hệ tham số của M1sao cho xd t−2 +1, , xdt−1 ∈Ann(M1/N1) = Ann(M/Nt−2) Suy ra xd t−2 +1, , xd là một phần hệ tham

số của M với xd t−2 +1, , xd ∈ Ann(M/Nt−2) Tiếp tục sau t bước quynạp lùi tồn tại hệ tham số x thoả mãn xd i +1, , xd ∈ Ann(M/Ni), i =

0, , t − 1 Suy ra (xd i +1, , xd)M ∩ Di ⊆ Ni ∩ Di = 0 Do đó x là hệtham số tốt của M

Kết quả sau là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.2.6 và Bổ đề 2.2.4 (ii)

Hệ quả 2.2.7 Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là một lọc thoả mãn

điều kiện chiều Khi đó tồn tại hệ tham số tốt đối với lọc F

Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là một lọc thoả mãn điều kiện chiềuvới dim Mi = di, x = x1, , xd là hệ tham số tốt ứng với lọc F Khi đó

x1, , xdi là hệ tham số tốt của Mi Xét hiệu

Bổ đề 2.2.8 Cho F là một lọc của M thoả mãn điều kiện chiều và x =

x1, , xd là hệ tham số tốt ứng với lọc F Khi đó IF,M(x) ≥ 0

Chứng minh Xét lọc

F/xdF : (M0 + xdM )/xdM ⊂ ⊂ (Ms+ xdM )/xdM ⊂ M/xdM,trong đó s = t − 1 nếu dt−1 < d − 1 và s = t − 2 nếu dt−1 = d − 1.Theo định lý đẳng cấu, ta có (Mi + xdM )/xdM ' Mi/(Mi ∩ xdM ) mà

dt−1 = d − 1, vì Mt−1 ∩ xdM nên Mt−1 ⊆ 0 :M xd, do đó e(x0, Mt−1) ≤e(x0, 0 :M xd),

IF,M(x) − IF/xdF,M/xdM(x0) = e(x0, 0 :M xd) − e(x0, Mt−1) ≥ 0

Vậy bằng cách quy nạp theo d ta thu được IF,M(x) ≥ 0

Từ chứng minh của Bổ đề 2.2.8 ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.2.9 Cho x = x1, , xdlà hệ tham số ứng lọc F Khi đó IF,M(x) ≥

IF/xdF,M/xdM(x1, , xd−1)

Ta xét hệ tham số với một luỹ thừa nào đó x(n) = xn 1

1 , , xnd

d Ta có thểxem IF,M(x(n)) như một hàm số theo n1, , nd

Mệnh đề 2.2.10 Cho một lọc thoả mãn điều kiện chiều F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M và x = x1, , xd là một hệ tham số tốt đối với F Hàm

IF,M(x(n)) là một hàm không giảm, nghĩa là IF,M(x(n)) ≤ IF,M(x(m)) vớimọi n1 ≤ m1, , nd ≤ md

Chứng minh Vì IF,M(x(n)) không phụ thuộc vào thứ tự các phần tử trong

IF,M(x(n + 1)) − IF,M(x(n)) ≥ e(xr, M0) −X

di≥r

e(x1, , xdi, Mi)