Về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương

Ngày nay nó trởthành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình học Giảitích, Hình học Đại số ...Trong nhiều ứng dụng của môđun đối đồng điềuđịa phương, các kết quả về linh hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS PHẠM HÙNG QUÝ

THÁI NGUYÊN - 2015

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất 3 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 3

1.2 Chiều đối đồng điều 8

1.3 Linh hóa tử 11

Chương 2 Môđun đối đồng điều địa phương giá cực đại 18 2.1 Vành catenary và catenary phổ dụng 18

2.2 Tính bão hòa nguyên tố và tập giả giá 19

2.3 Linh hóa tử 26

2.4 Linh hóa tử qua địa phương hóa và đầy đủ hóa 29

KẾT LUẬN 34

Tài liệu tham khảo 34

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A.Grothendieck vào những năm 1960, sau đó được quan tâm nghiên cứu bởirất nhiều nhà toán học trên thế giới như R Hartshorne, M Brodmann, J.Rotman, C Huneke Lý thuyết đối đồng điều địa phương đã có nhữngứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học Ngày nay nó trởthành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình học Giảitích, Hình học Đại số Trong nhiều ứng dụng của môđun đối đồng điềuđịa phương, các kết quả về linh hóa tử của các môđun này là chìa khóacho việc chứng minh (xem [1], [3], [8], )

Năm 2014 trong một bài báo đăng trên tạp chí Arch Math (xem[1]) các tác giả A Atazadeh, M Sedghi và R Naghipour đã trình bàymột kết quả nghiên cứu về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địaphương cấp cao nhất với giá bất kì trên một vành giao hoán Noether.Kết quả này là mở rộng của kết quả của L.R Lynch năm 2012 (xem[12]) Mục đích chính thứ nhất của luận văn là trình bày lại kết quả trênmột cách chi tiết

Đối với các môđun đối đồng điều địa phương cấp bất kì, năm 2012trong bài báo đăng trên tạp chí J Algebra (xem [3]), các tác giả K.Bahmanpour, J A’zami and G Ghasemi đã đưa ra một công thức tínhcăn của linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương cấp bất kì vớigiá cực đại trên vành đầy đủ Mục đích chính thứ hai của luận văn là mởrộng kết quả trên đồng thời nghiên cứu dưới giả thiết yếu hơn của vành.Một số ví dụ được đưa ra để chứng tỏ giả thiết của vành trong định lýchính là không thể bỏ đi được Nghiên cứu linh hóa tử của môđun đốiđồng điều địa phương chuyển qua địa phương hóa và đầy đủ hóa là mụcđích chính tiếp theo của luận văn Chúng tôi đã đạt được một số kết

quả trong trường hợp vành đặc biệt Các kết quả mới này được chúngtôi trình bày trong bài báo (xem [16]).

Luận văn được bố cục làm 2 chương Chương 1, trước khi trìnhbày kết quả chính về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phươngcấp cao nhất với giá bất kỳ và trên một vành giao hoán, Noether theobài báo [1] của các tác giả A Atazadeh, M Sedghi và R Naghipourchúng tôi trình bày một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương,chiều đối đồng điều Mục thứ nhất và thứ hai của Chương 2 là các kiếnthức chuẩn bị về vành catenary, catenary phổ dụng, vành có các thớhình thức là Cohen-Macaulay, tập giả giá và tính bão hòa nguyên tố củamôđun đối đồng điều địa phương Mục thứ ba và thứ tư là kết quả mớitrình bày về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương liên hệvới tập giả giá và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương khichuyển qua địa phương hóa và đầy đủ hóa

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.Phạm Hùng Quý Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo của tôi PGS TS

Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã truyền cảm hứng từ những bài học, nhữngbuổi seminar chuyên môn, cô cũng đã đặt ra nhiều vấn đề nghiên cứucho luận văn và luôn giúp tôi tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích

Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và độngviên tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn cũng như khóa học của mình

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương

Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điềuđịa phương và một số kết quả về tính triệt tiêu, tính Artin của các môđunnày Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong cuốn sách [7] của M.Brodman và R.Y Sharp

Định nghĩa 1.1.1 Cho a là iđêan của R và M, N là các R-môđun Đặt

Γa(M ) = S

n≥0

(0 :M an) Vì (0 :M a) ⊆ (0 :M a2) ⊆ là dãy tăng cácmôđun con của M nên Γa(M ) là môđun con của M Cho f : M −→ N

là một đồng cấu giữa các R-môđun Lấy x ∈ Γa(M ), khi đó tồn tại t ∈ Nsao cho x ∈ (0 :M at), tức là atx = 0 Vì vậy 0 = f (atx) = atf (x) Suy

ra f (x) ∈ Γa(N ) Vậy ta có đồng cấu f∗ : Γa(M ) −→ Γa(N ) cho bởi

f∗(x) = f (x) Đặt Γa(f ) = f∗ Khi đó Γa(−) là một hàm tử hiệp biến,khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến chính nó Γa(−) được gọi làhàm tử a-xoắn

Môđun dẫn xuất phải thứ i của hàm tử a-xoắn Γa(−) ứng với Mđược gọi là môđun đối đồng điều thứ i của M với giá a, kí hiệu là Hai(M )

−→ Γa(E1) d

∗ 1

(ii)Nếu M là nội xạ thì Hai(M ) = 0 với mọi i ≥ 1

(iii) Hai(M ) là môđun a-xoắn với mọi i

(iv) M là a-xoắn thì Hai(M ) = 0 với mọi i > 0 Đặc biệt với mỗiR-môđun M , ta có Haj(Hai(M )) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 1

(v) Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun.Khi đó với mỗi i ∈ N, tồn tại một đồng cấu δi : Hai(M00) → Hai+1(M0)sao cho ta có dãy khớp dài

0 → Γa(M0) → Γa(M ) → Γa(M00) δ0

−→ Ha1(M0)

→ Ha1(M ) → Ha1(M00) δ1

−→ Ha2(M0) →

Đồng cấu δi ở trên gọi là đồng cấu nối thứ i

(vi) Cho r ∈ R Khi đó nếu r ∈ AnnRM thì r ∈ AnnRHai(M ) vớimọi i

Ví dụ 1.1.3 Cho R là một vành, a là một iđêan của R Với mỗi iđêannguyên tố p của R Ta có Haj(ER(R/p)) = 0 với mọi j ≥ 1 và

Ha0(ER(R/p)) =

(

ER(R/p), nếua ⊆p,

0, nếua 6⊆p

Định lý sau được gọi là Định lí chuyển phẳng.

Định lý 1.1.4 ([7],4.3.2) Cho R, R0 là những vành Noether, ánh xạ

f : R −→ R0 là một đồng cấu phẳng, gọi aR0 là iđêan mở rộng của a

trong R0 Khi đó, với mọi i ∈ N0 tồn tại duy nhất đẳng cấu tự nhiên

Hai(M ) ⊗R R0 ∼= Hi

aR 0(M ⊗R R0),những R0-môđun

Nhận xét 1.1.5 (i) Xét S là một tập đóng nhân trong R, do đồng cấu

tự nhiên R −→ RS là phẳng nên có đẳng cấu RS-môđun

(ii) Xét (R,m) là vành Noether địa phương, gọi R vàb M lần lượt làc

đầy đủ theo tôpô m-adic của R và M Vì f : (R,m) −→ (R,b mb) là hoàntoàn phẳng nên ta có đẳng cấu những R-môđunb

a(M ) làc R−môđun hữu hạn sinh.b

Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương được thể hiệntrong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.6 ([7], 7.1.3, 7.1.6) Cho (R,m) là vành Noether địaphương, M là hữu hạn sinh chiều d Khi đó

(i) Hmi(M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0

(ii) Had(M ) là Artin với mọi iđêan a của R

Để biết được thông tin nhiều hơn về môđun đối đồng điều địaphương ta cần biết khái niệm tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđunđối đồng điều địa phương cấp cao nhất Trước hết ta nhắc lại một sốkhái niệm và kết quả về biểu diễn thứ cấp của môđun.

Định nghĩa 1.1.7 (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N 6= 0

và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên N là toàn cấu hoặc lũy linh.Trong trường hợp này, Rad(AnnRN ) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là

Dễ thấy rằng nếu N1, N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì

N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N Vì thế mọi biểu diễn thứcấp của N đều có thể đưa được về dạng tối thiểu bằng cách ghép chungnhững thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố và bỏ đinhững thành phần thừa Tập hợp {p1, ,pn} là độc lập với việc chọnbiểu diễn thứ cấp tối thiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tốgắn kết của N , kí hiệu là AttRN Các hạng tử Ni, i = 1, , n, được gọi

là các thành phần thứ cấp của N Nếu pi là tối thiểu trong tập AttRNthì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi

Mệnh đề 1.1.9 Cho R là vành Noether, N là một R-môđun biểu diễnđược Khi đó các khẳng định sau là đúng.

(i) Tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa AnnRN chính làtập các phần tử tối thiểu của AttRN

(ii) AttRN 6= ∅ khi và chỉ khi N 6= 0

Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được

Định lý 1.1.10 Mọi môđun Artin đều biểu diễn được

Cho (R,m) là vành Noether địa phương, A là R-môđun Artin Khi

đó A có cấu trúc tự nhiên như R-môđun Với cấu trúc này, một môđunb

con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của A xétnhư R-môđun Do đó A làb R-môđun Artin và ta có mối liên hệ giữa cácb

tập iđêan nguyên tố gắn kết như sau

Bổ đề 1.1.11 ( [7], 11.3.7) Cho (R,m) là vành Noether địa phương, A

là R-môđun Artin Khi đó

AttR(A) = {bp∩ R | bp ∈ Att

b

R(A)}

Kết quả sau đây, gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu.Định lý 1.1.12 ( [7], 11.3.2) Cho (R,m) là vành Noether địa phương.Giả sử M 6= 0 và p ∈ SuppR(M ) sao cho dim R/p = t Giả sử i > 0

là một số nguyên và q là một iđêan nguyên tố của R sao cho q ⊆ p và

qRp ∈ AttRp(HpRi

p(Mp)) Khi đó q ∈ AttR(Hmi+t(M ))

Từ Định lý 1.1.12 ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.1.13 Cho (R,m) là vành Noether địa phương Giả sử M 6= 0

và p ∈ AssRM với dim R/p = t Khi đó Hmt (M ) 6= 0 vàp ∈ AttRHmt(M )

Theo Mệnh đề 1.1.6, môđun đối đồng điều địa phương cấp caonhất với giá cực đại là Artin, do đó nó có biểu diễn thứ cấp Tập iđêannguyên tố gắn kết của Hmd(M ) được cho bởi công thức sau

Định lý 1.1.14 ([7], 7.3.2) Cho (R,m) là vành Noether địa phương Giả

sử M hữu hạn sinh và M 6= 0 và dim M = d Khi đó Hmd(M ) 6= 0 và

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim(R/p) = d}

Các định lý sau được đưa ra bởi Grothendieck có tên lần lượt làĐịnh lý triệt tiêu và Định lý không triệt tiêu của Grothendieck

Định lý 1.1.15 ([7], 6.1.2) Cho R là Noether và M là hữu hạn sinh.Khi đó Hai(M ) = 0 với mọi i > dimR(M )

Định lý 1.1.16 ([7], 6.1.4) Cho (R,m) là vành Noether địa phương, Mkhác 0 là hữu hạn sinh chiều d Khi đó Hmd(M ) 6= 0

Ký hiệu DR(−) là hàm tử đối ngẫu Matlis trên phạm trù các môđun Định lý Đối ngẫu địa phương [7, Định lý 11.2.6] cho ta mối liên

R-hệ giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử Ext

Định lý 1.1.17 (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả sử (R,m) là ảnhđồng cấu của một vành địa phương Gorenstein (R0,m0) chiều n0 và ánh

xạ f : R0 −→ R là toàn cấu vành Giả sử M là một R-môđun hữu hạnsinh Khi đó ExtjR0(M, R0) là R-môđun hữu hạn sinh và ta có đẳng cấu:

Hmi (M ) ∼= DR(ExtnR00−i(M, R0))

1.2 Chiều đối đồng điều

Từ đây đến hết chương ta giả thiết thêm R là vành Noether và M

là hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.2.1 Chiều đối đồng điều của M tương ứng với a, kí hiệu

là cd(a, M ), được định nghĩa như sau

cd(a, M ) := sup{i ∈ N| Hai(M ) 6= 0}

Nhận xét 1.2.2 Từ định nghĩa trên và Định lý 1.1.16 ta có nếu (R,m) làvành Noether địa phương thì cd(m, M ) = dim M và cd(a, M ) ≤ dim M

Ví dụ 1.2.3 Theo Ví dụ 1.1.3 ta có cd(a, ER(R/p)) = 0 với mọi a ⊆ p.

Để chứng minh một kết quả cần thiết về chiều đối đồng điều tacần kết quả sau, kết quả này được gọi là Định lý Gruson

Bổ đề 1.2.4 ([19], Định lý 4.1) Cho M và N là hai R-môđun hữu hạnsinh Khi đó, nếu SuppRN ⊆ SuppRM thì tồn tại xích hữu hạn cácmôđun con của N

0 = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ Nk = Nsao cho với mỗi j ∈ {1, 2, , k} ta có Nj/Nj−1 là ảnh đồng cấu củatổng trực tiếp của các bản sao của M

Bổ đề 1.2.5 Cho M và N là hai R-môđun hữu hạn sinh Khi đó nếuSupp(N ) ⊆ Supp(M ) thì cd(a, N ) ≤ cd(a, M ) Hơn nữa, nếu ta cóSupp(N ) = Supp(M ) thì cd(a, N ) = cd(a, M )

Chứng minh Vì dim N ≤ dim M nên ta chỉ cần chứng minh Hai(N ) = 0với mọi i thỏa mãn

cd(a, (M )) < i ≤ dim(M ) + 1

Ta chứng minh bằng quy nạp lùi theo i Với i = dim(M ) + 1 khẳng định

là đúng theo Định lý 1.1.15 Giả sử i ≤ dim(M ) và khẳng định đúng với

i + 1 ta chứng minh khẳng định đúng với i Vì Supp(N ) ⊆ Supp(M ) nêntheo Bổ đề 1.2.4 tồn tại xích các môđun con của N

0 = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ Nk = Nsao cho Nj/Nj−1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp của hữu hạn cácbản sao của M Tức là với mỗi j ∈ {1, 2, , k} luôn tồn tại nj ∈ N vàtoàn cấu R-môđun Mnj −→ Nj/Nj−1 Ta chứng minh Hai(Nk) = 0 Với

k = 1 ta có xích 0 ⊆ N và dãy khớp ngắn

0 −→ L1 −→ Mn1 −→ N −→ 0

với n1 ∈ N và L1 là R-môđun hữu hạn sinh Dãy khớp này cảm sinh dãykhớp dài các môđun đối đồng điều địa phương

0 −→ Lk −→ Mnk −→ Nk/Nk−1 −→ 0,tương tự như trên ta có Hai(Nk/Nk−1) = 0 Xét dãy khớp

Hệ quả 1.2.6 Giả sử 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 là một dãy khớpngắn các R-môđun hữu hạn sinh Khi đó

cd(a, M ) = max{cd(a, L), cd(a, N )}

Chứng minh Từ dãy khớp ngắn đã cho ta có

SuppRM = SuppRL ∪ SuppRN

ta có với i > max{cd(a, L), cd(a, N )} thì Hai(M ) = 0 do đó

cd(a, M ) ≤ max{cd(a, L), cd(a, N )}

Vậy cd(a, M ) = max{cd(a, L), cd(a, N )}

Hệ quả 1.2.7 Cho a là iđêan của R Khi đó

cd(a, M ) = cd(a, R/ AnnRM ) = max{cd(a, R/p) | p ∈ min Var(AnnRM )}.Chứng minh Đẳng thức thứ nhất được suy ra từ

cd(a, M ) = max{cd(a, R/p) | p ∈ min Var(AnnRM )}

Hệ quả được chứng minh

1.3 Linh hóa tử

Mục này tìm hiểu về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địaphương cấp cao nhất Trước hết ta cần một số kiến thức bổ trợ Bổ đềsau tương tự như Mệnh đề 7.3.1 trong [7]

Bổ đề 1.3.1 Cho M khác 0 có chiều đồng điều cd(a, M ) = t Đặt Ω làtập các môđun con N của M thỏa mãn cd(a, N ) < cd(a, M ) Khi đó

(i) Trong Ω có phần tử lớn nhất, kí hiệu TR(a, M )

(ii) cd(a, G) = t, trong đó G = M/TR(a, M )

(iii) G không có môđun con khác 0 nào có chiều đối đồng điềutương ứng với a nhỏ hơn t

(iv) Hat(G) ∼= Hat(M )

Chứng minh (i) Ta có Ω 6= ∅ vì 0 ∈ Ω Vì R là vành Noether nên trong

Ω có phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) giả sử là N Lấy N0 ∈ Ω

ta có

SuppR(N + N0) ⊆ SuppR(N ) ∪ SuppR(N0) ⊆ SuppR(M )

Với mọi iđêan p ∈ min Var(AnnR(N + N0)) ta có p ∈ Var(AnnRN ) hoặc

p ∈ Var(AnnRN0) Kéo theo cd(a, R/p) < cd(a, M ) Do đó theo Hệ quả1.2.7 ta có cd(a, N +N0) < cd(a, M ) Vậy N +N0 ∈ Ω Ta có N ⊆ N +N0

mà N là phần tử tối đại trong Ω nên N0 ⊆ N Vậy trong Ω có phần tửlớn nhất, kí hiệu TR(a, M ) Khi đó

TR(a, M ) = ∪N | N là môđun con của M và cd(a, N ) < cd(a, M ) .Đặt G = M/TR(a, M )

Bổ đề 1.3.2 Với a là một iđêan của R, đặt A = {p ∈ Ass(M ) | p ⊇ a}.Giả sử 0 = ∩

jNj là phân tích nguyên sơ của 0 trong M trong đó Nj là

pj-nguyên sơ Khi đó Ha0(M ) = T

p j 6∈A

Nj.Chứng minh Ta có

đó anjM ⊆ Nj kéo theo anM ⊆ Nj hay (Nj :

Bổ đề 1.3.3 Cho M khác 0 thỏa mãn cd(a, M ) = c và giả sử dãy

M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mc là một dãy các môđun con của M sao chovới mỗi 0 ≤ i ≤ c ta có Mi là môđun con lớn nhất của M thỏa mãncd(a, Mi) ≤ i Khi đó

cd(a, R/p) ≤ cd(a, Rx) Mặt khác vì p ∈ AssR(Rx) ⊆ AssRM nên tồntại 1 ≤ j ≤ n sao cho pj = p Do đó ta có

a i(M ) tồn tại j ≥ 1 thỏamãn pj ⊆ p và cd(a, R/pj) ≤ i Vì Supp R/p ⊆ Supp R/pj nên theo Bổ

đề 1.2.5 ta có cd(a, R/p) ≤ cd(a, R/pj) ≤ i Theo Hệ quả 1.2.7 ta cócd(a, Ha0i(M )) ≤ i Theo tính tối đại của Mi nên Mi = Ha0(M )

Nhận xét 1.3.4 Với những kí hiệu như trên ta có TR(a, M ) = Mc−1 và

Bổ đề 1.3.5 Cho (R,m) là vành địa phương, x ∈ R và M khác 0

có chiều d sao cho Had(M ) 6= 0 Khi đó Had(xM ) = 0 nếu và chỉ nếu

ta có cd(a, M/TR(a, M )) = d và Had(M ) ∼= Had(M/TR(a, M )) Suy ra đểchứng minh định lí ta chứng minh

AnnR(Had(M/TR(a, M ))) = AnnR(M/TR(a, M ))

Đặt G = M/TR(a, M ) ta có TR(a, G) = 0 Do vậy không mất tính tổngquát giả sử TR(a, M ) = 0 và chứng minh AnnR(Had(M )) = AnnR(M )

Dễ thấy AnnR(M ) ⊆ AnnR(Had(M )) Để chứng minh bao hàm thứcngược lại ta chứng minh AnnR/ AnnR(M )(Had(M )) = 0 Tức là chứng minhAnnR/ AnnR(M )(Ha(R/ Annd

R (M ))(M )) = 0 Vì M, R/ AnnR(M ) là các môđunhữu hạn sinh nên SuppR(R/ AnnR(M )) = Var(AnnR(M )) = SuppR(M )theo Bổ đề 1.2.5 ta có

cd(a, R/ AnnR(M )) = cd(a, M ) = dim M = dim R/ AnnR(M ) = d

Do đó ta có thể giả sử cd(a, R) = d = dim R và AnnR(M ) = 0 và chứngminh AnnR(Had(M )) = 0 Trước hết ta chứng minh với mọi phần tử

d = dimRp(xMp) ≤ dimRp(Mp) ≤ dimR(M ) = d

Suy ra dimRp(Mp) = d Nếu HaRd

p(Mp) = 0 thì cd(aRp, Mp) < d kéo theocd(aRp, xMp) < d tức HaRd

p(xMp) = 0, do đó ta giả sử HaRd

p(Mp) 6= 0,theo Bổ đề 1.3.5 ta có xHaRd

p(Mp) = 0 khi và chỉ khi HaRd

p(xMp) = 0 vớimọi p ∈ Spec(R) Khẳng định được chứng minh Từ đó cd(a, xM ) < dlại vì TR(a, M ) = 0 nên xM = 0 kéo theo x ∈ AnnR(M ) = 0 Vậy

AnnR(Hmd(M )) = AnnRM/UM(0).

Chứng minh (i) Theo Bổ đề 1.3.3 và Định lý 1.3.6 ta có điều phải chứngminh

(ii)Vì (R,m) là vành địa phương nên cd(m, M ) = dim M Áp dụngĐịnh lý 1.3.6 ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.3.8 Giả sử dim R = d và cd(a, R) = d Khi đó

AnnR(Had(R)) = TR(a, R)

Chứng minh Theo Định lý 1.3.6 ta có AnnR(Had(R)) = AnnR(R/TR(a, R))

mà AnnR(R/TR(a, R)) = TR(a, R) Vậy AnnR(Had(R)) = TR(a, R)

Hệ quả 1.3.9 Giả sử dim R = d và cd(a, R) = d Khi đó các khẳngđịnh sau là tương đương

(i) AnnR(Had(R)) = 0;

(ii) AssR(R) = {p ∈ Spec R | cd(a, R/p) = d}

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Áp dụng Hệ quả 1.3.7,(i) với R-môđun R ta có

AnnR(Had(R)) = ∩

cd(a,R/pj)=dqj

trong đó 0 = Tn

j=1qj là phân tích nguyên sơ tối tiểu của iđêan 0 của

R,qj là iđêan pj-nguyên sơ của R với mọi 1 ≤ j ≤ n.Theo giả thiết