Về lớp Môđun đối Cohen - Macaulay dãy

Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sựlớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã được biết đếnbởi [6], [15], [18],.... Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đó

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————-ĐỖ THỊ THU GIANG

VỀ LỚP MÔĐUN ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

phương 131.5 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay 16

2.1 Môđun Cohen-Macaulay 182.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 19

3.1 Lọc chiều cho môđun Artin 283.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 353.3 Đặc trưng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy 38

Tài liệu tham khảo 48

Trang 3

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy

và khích lệ, động viên tôi vượt qua được những lúc khó khăn trong họctập

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT và trường THPT CaoBình tỉnh Cao Bằng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốtthời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộtôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học củamình

Trang 4

Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho tanhững lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tựlớp môđun Cohen-Macaulay Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum

và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do các nhà toán học W Vogel và

J Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P Schenzel và Ngô Việt Trung phát hiệnvào những năm 1970, khi trả lời giả thuyết của D A Buchsbaum

Một trong những hướng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay

là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên được đưa ra bởi R P.Stanley [18] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó được P Schenzel[15], Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợpvành địa phương Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sựlớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã được biết đếnbởi [6], [15], [18], thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phươnghóa, đối đồng điều địa phương, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đangđược quan tâm nghiên cứu

Trang 5

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọngtương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán họcnghiên cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc của lớp môđunnày đã được biết đến thông qua dãy đối chính quy, đồng điều địa phương,(xem [3], [4], [6], [19], )

Tương tự như các ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay trongphạm trù các môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suyrộng và đối Buchsbaum đã được đưa ra và chúng chứa thực sự lớp môđunđối Cohen-Macaulay và có những đặc trưng, tính chất tương tự như lớpmôđun Cohen-Macaulay suy rộng và Buchsbaum đã quen biết trong phạmtrù các môđun Noether Tiếp theo đó, thông qua lý thuyết chiều Noether,lọc chiều cho môđun Artin đã được xây dựng, từ đó dẫn đến việc đưa ralớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy như là một sự mở rộng khác của lớpmôđun đối Cohen-Macaulay (xem [7])

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số nghiên cứu về hai lớpmôđun Cohen-Macaulay dãy và môđun đối Cohen-Macaulay dãy tronghai bài báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules" của N T Cuong and L T Nhan [6] và "On sequentiallyco-Cohen-Macaulay modules" của N T Dung [7]

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương

Để tiện theo dõi, chương 1 dành để tóm tắt lại những kết quả chungnhất về môđun Artin được sử dụng trong các chương tiếp theo: Phươngpháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham

số, số bội, đồng điều địa phương cho môđun Artin, dãy đối chính quy vàmôđun đối Cohen-Macaulay

Toàn bộ nội dung chính của luận văn nằm trong chương 2 và chương 3.Chương 2 trình bày lại một phần trong bài báo [6] Đó là một số kết quả

Trang 6

về lớp môđun được gọi là Cohen-Macaulay dãy có tính chất là tồn tại mộtlọc 0 = N0 ⊂ N1 ⊂ ⊂ Nt = M các môđun con của M sao cho

(a) Mỗi thương Ni/Ni−1 là Cohen-Macaulay

(b) dim(N1/N0) < dim(N2/N1) < < dim(Nt/Nt−1)

Lớp môđun này có quan hệ chặt chẽ với các lớp môđun Cohen-Macaulay,Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, giả Cohen-Macaulay, đã đượcnghiên cứu trước đây Cấu trúc của lớp môđun này được đặc trưng quađịa phương hóa, đầy đủ theo tô pô m-adic, đặc biệt chúng được đặc trưngqua đối đồng điều địa phương như sau

Định lý 2.2.9 Cho 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là một lọc chiều của

M và dim Mi = di với mọi i = 1, , t Giả sử R là vành có phức đốingẫu Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay dãy

(ii) Với mọi j = 0, 1, , d các môđun Kj(M ) hoặc bằng không hoặc làCohen-Macaulay chiều j

(iii) Với mọi j = 0, 1, , d − 1 các môđun Kj(M ) hoặc bằng khônghoặc là Cohen-Macaulay chiều j

Chương 3 dành để trình bày lại các kết quả về một mở rộng của lớpmôđun đối Cohen-Macaulay: R-môđun Artin A được gọi là đối Cohen-Macaulay dãy nếu A có một lọc các môđun con

0 = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A

sao cho Bi/Bi−1 là môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1, , t và

N-dim A/Bt−1 < N-dim A/Bt−2 < < N-dim A/B0 = d

Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng

có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy Nội dungchương này nằm trong bài báo [7], trong đó đưa ra các khái niệm lọc chiềucho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số đặc trưng,

Trang 7

tính chất của chúng Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của môđun Artin, ta

có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi

A là bR-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lại không có tínhchất tương tự như vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví

dụ 6.1]) Một trong những kết quả chính của Chương 3 là đặc trưng đồngđiều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy như sau

Định lý 3.3.3 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy

(ii) Với mọi j = 0, 1, , d, môđun Hjm(A) hoặc bằng 0 hoặc là bRmôđun Cohen-Macaulay chiều j

-(iii) Với mọi j = 0, 1, , d − 1, môđun Hjm(A) hoặc bằng 0 hoặc làb

R-môđun Cohen-Macaulay chiều j

Ta đã biết rằng nếu xlà một phần tử chính quy của M thìM là môđunCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay

P Schenzel [15] đã chứng minh một kết quả tương tự cho môđun Macaulay dãy Tuy nhiên, đã có phản ví dụ chỉ ra rằng điều trên là khôngđúng (Chú ý 3.3.10) Vì vậy, ở đây lại đặt ra vấn đề là tìm điều kiện chophần tử tham số x để có thể đặc trưng được tính đối Cohen-Macaulay dãykhi chia cho phần tử tham số Các kết quả thu được như sau

Cohen-Định lý 3.3.5 Cho x ∈ m Giả sử rằng x /∈ p với mọi p ∈ Att A \ {m}

Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu hai điều kiệnsau thoả mãn

(a) x /∈bp, với mọi bp ∈

(b) 0 :A x là môđun đối Cohen-Macaulay dãy

Từ Định lý 3.3.5, ta thu lại được một kết quả cho môđun Macaulay dãy, (Hệ quả 3.3.8), đồng thời chỉ ra rằng Định lý 4.7 của P.Schenzel trong [15] là không đúng

Cohen-Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 8

Chương 1

Môđun Artin

Như chúng ta đã biết, môđun Noether đóng vai trò quan trọng trongĐại số giao hoán và Hình học đại số mà cấu trúc của chúng đã được biết

rõ thông qua các lý thuyết cơ bản của Đại số giao hoán: phân tích nguyên

sơ, bội, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, Đã có nhiều tác giảnghiên cứu về môđun Artin và đưa ra một số lý thuyết - theo một nghĩanào đó được xem là tương ứng đối ngẫu với một số lý thuyết quen biếttrong phạm trù các môđun Noether: biểu diễn thứ cấp, bội, chiều Noether,đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [5], [8], [9], [10], [13], [14], [19], ).Mục đích của chương này là hệ thống lại một số kết quả về môđunArtin được dùng trong các chương sau Trong toàn bộ chương này, ta luôn

ký hiệu R là vành giao hoán, Noether không nhất thiết địa phương (giảthiết địa phương khi cần sẽ được nêu trong từng trường hợp cụ thể), A là

R-môđun Artin

Trang 9

A = Γm1(A) ⊕ ⊕ Γmr(A) và Supp A = {m1, ,mr}.

(ii) Với mỗi j ∈ {1, , r}, nếu s ∈ R \ mj, thì phép nhân bởi s cho tamột tự đẳng cấu của Γmj(A) Do đó Γmj(A) có cấu trúc tự nhiên của một

Rmj-môđun và với cấu trúc này, một tập con của Γmj(A) là một R-môđuncon nếu và chỉ nếu nó là Rmj-môđun con Đặc biệt

Amj ∼= Γ

m j(A), với mọi j = 1, , r

Kí hiệu 1.1.2 Để cho thuận tiện, từ giờ trở đi ta đặt

Cho (R,m) là vành địa phương Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adiccủaR, ký hiệu bởi bR, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theoquan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan

Trang 10

mt, t = 0, 1, 2, bR được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng,phép nhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này, bR làm thànhmột vành Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương củadãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r (xem [11]).

Mệnh đề 1.1.3 [16, Bổ đề 1.11, Hệ quả 1.12] Cho A là R-môđun Artinkhác không trên vành địa phương (R,m) Khi đó, A có cấu trúc tự nhiêncủa bR-môđun, trong đó bR là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọitập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là bR-môđun concủa A Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của bR-môđun Artin

Cho (R,m) là vành địa phương, đầy đủ Đặt E = E(R/m) là bao nội

xạ của trường thặng dư R/m Kí hiệu D() = HomR(, E) Khi đó ta cókết quả sau của E Matlis (xem [16, Định lý 2.1])

Mệnh đề 1.1.4 (i) R-môđun E là Artin Với mỗi f ∈ HomR(E, E), tồntại duy nhất af ∈ R : f (x) = afx, ∀x ∈ E

(ii) Nếu N là R-môđun Noether, thì D(N ) là Artin

(iii) Nếu A là R-môđun Artin, thì D(A) là Noether

(iv) Ann M = Ann D(M ), và nếu M là R-môđun sao cho `R(M ) < ∞,thì `R(D(M )) = `R(M )

1.2 Biểu diễn thứ cấp

Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiêncứu bởi D Kirby và D G Northcott Sau đó I G Macdonald [10] đã trìnhbày lại khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tuỳ ý và ông gọi đó

là biểu diễn thứ cấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ đãđịnh nghĩa cho các môđun Noether Trong luận văn này, chúng tôi dùngtheo thuật ngữ của I G Macdonald [10]

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	319,84 KB