quỹ tích cohen - macaulay của các môđun

Kawasaki [9, Định lý 8.3] đã chỉ ra rằng khi vành A là catenaryxem Định nghĩa 1.2.5, thì tính mở của CMB của bất kì A−đại số hữu hạn B là mộtgiả thiết quan trọng để nghiên cứu tính hữu h

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2014

Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

Mục lục

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết và tập giá của môđun 4

1.2 Chiều và độ cao 5

1.3 Tôpô Zariski và thớ hình thức của vành 7

1.4 Môđun đối đồng điều 9

1.5 Môđun Cohen - Macaulay 10

2 Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương 13 2.1 Phân tích thứ cấp 13

2.2 Phức Cousin 16

2.3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương 17

3 Quỹ tích Cohen-Macaulay 24 3.1 Môđun đẳng chiều và môđun có linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương 24 3.2 Quỹ tích Cohen-Macaulay của môđun 25

3.3 Điều kiện cho tính mở của quỹ tích Cohen-Macaulay của môđun 27

4 Vành có các thớ hình thức là Cohen-Macaulay 36 4.1 Một số tính chất của vành có các thớ hình thức là Cohen-Macaulay 36

4.2 Tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay trong trường hợp vành

có các thớ hình thức là Cohen-Macaulay 41

Mở đầu

Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether A Quỹ tích Cohen-Macaulay của

Mkí hiệu là CM(M), nó được xác định bởi công thức

CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mplà Ap−môđun Cohen-Macaulay}

Ta dễ thấy quỹ tích Cohen-Macaulay của một môđun Cohen-Macaulay là Spec(A), vàcủa một môđun Cohen-Macaulay suy rộng M trên vành địa phương (A, m) chứa tậpSpec(A) \ {m} Vì thế trong những trường hợp này, CM(M) là tập con mở của Spec(A)đối với tôpô Zariski Tính chất tôpô của quỹ tích Cohen-Macaulay của các môđun là mộtcông cụ quan trọng T Kawasaki [9, Định lý 8.3] đã chỉ ra rằng khi vành A là catenary(xem Định nghĩa 1.2.5), thì tính mở của CM(B) (của bất kì A−đại số hữu hạn B) là mộtgiả thiết quan trọng để nghiên cứu tính hữu hạn của các phức CousinCA(M) (xem Địnhnghĩa 2.2.2) của A−môđun hữu hạn sinh đẳng chiều M (nghĩa là dim M = dim A/p vớimọi phần tử p cực tiểu của Supp(M))

Quỹ tích Cohen-Macaulay của môđun được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn

A Grothendick [7] đã khẳng định rằng CM(M) là một tập con mở của Spec(A) khi A

là một vành hoàn hảo (excellent ring) Trong [13], C Rotthaus-L Sega đã nghiên cứucác quỹ tích Cohen-Macaulay của các môđun phân bậc trên một vành Noether phân bậcthuần nhất A =L

i ∈NAi khi xét như là các A0−môđun Trong [8], R Hartshorne đã chỉ

ra CM(A) là tập mở khi A có phức đối ngẫu Tiếp đến, M.T Dibaei [3, Hệ quả 2.3] đãchỉ ra rằng CM(A) là tập mở khi A là vành địa phương với tất cả các thớ hình thức của

nó là Cohen-Macaulay và thỏa mãn điều kiện Serre (S2)

Mặt khác, R Sharp-P Schenzel trong [18, Ví dụ 4.4] đã chỉ ra rằng M là môđunCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu phức CousinCA(M) là một dãy khớp Vì vậy CM(M) =Spec(A) \ ∪i≥−1SuppA(Hi(CA(M))), trong đó đó Hi(CA(M)) là ký hiệu của môđun đốiđồng điều thứ i của phức Cousin CA(M) Từ đó suy ra rằng CM(M) là tập mở khi màphức CousinCA(M) có các môđun đối đồng điều hữu hạn sinh trên A Các tác giả trong[4] đã chỉ ra rằng nếu các môđun Hi(CA(M)) hữu hạn sinh trên A thì M có linh hóa

tử đều đối đồng điều địa phương (tức là, tồn tại phần tử x ∈ A \ ∪p∈MinA(M)p sao cho

xHmi (M) = 0 với mọi i < dimA(M) và mọi iđêan cực đại m của A) Gần đây, năm 2011,M.T Dibaei-R Jafari [5] tiếp tục nghiên cứu về tính mở của quỹ tích Cohen-Macaulaycủa các môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương Noether (A, m) Trong mối quan

hệ này, họ cũng nghiên cứu về một số vành có các thớ hình thức (trên một số các iđêannguyên tố đặc biệt) là Cohen-Macaulay

Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại những nghiên cứu của M.T

Dibaei-R Jafari năm 2011 như vừa nêu trên Nói cách khác, uận văn trình bày chi tiết lại các

chứng minh của bài báo [5] M.T Dibaei and R Jafari, Cohen-Macaulay Loci of Modules,

Commutative Algebra, 39 (2011), 3681-3697 Bên cạnh đó để việc trình bày có hệ thống

và rõ ràng hơn, luận văn cũng bổ sung một số kiến thức từ những bài báo khác, chẳnghạn của T Kawasaki [9], C Zhou [19],

Luận văn được chia làm 4 chương Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở để chứngminh các kết quả chính của luận văn Chương 2 mô tả về tập các iđêan nguyên tố gắnkết AttA(Him(M)) của môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M trên một vành địaphương (A, m) dưới điều kiện phức Cousin C (M) của M là hữu hạn (Định lý 2.3.3 và

Hệ quả 2.3.6) Chương 3 trình bày về quỹ tích Cohen-Macaulay của M Bổ đề 3.2.3 chỉ

ra rằng để nghiên cứu tính mở của CM(M) trong trường hợp A/(0 :AM) là catenary thìchỉ cần xét với giả thiết M là đẳng chiều Hơn nữa, một đặc trưng mới của các vànhCohen-Macaulay suy rộng liên quan đến linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương cũng

được đưa ra (Hệ quả 3.3.9) Vì quỹ tích không Cohen-Macaulay của M đóng nếu và chỉnếu tập các phần tử tối tiểu của nó là hữu hạn, nên dưới một số giả thiết trung gian chúng

ta chứng minh được rằng Min(non-CM(M)) là tập con của tậpS

i≤dim MAttA(Him(M)) ∪non-CM(A) (Định lý 3.3.10) Như một hệ quả ta suy ra rằng quỹ tích Cohen-Macaulaycủa bất kỳ môđun hữu hạn sinh nào trên vành Noether địa phương (A, m) là một tậpcon mở của Spec(A) nếu A là catenary và CM(A) là một tập hữu hạn (Hệ quả 3.3.11).Chương 4 chứng minh rằng M có linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương nếu và chỉnếu bM đẳng chiều và các thớ hình thức trên các phần tử tối tiểu của SuppA(M) là Cohen-Macaulay Kết quả là ta có Hệ quả 4.1.3 nói về các điều kiện tương đương với một vành

là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂNHOÀNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp này tôixin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiêncứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, côngsức hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáocủa: Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích

lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạoTrường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD-ĐT TháiNguyên, Ban Giám hiệu và Tổ Toán Tin - Trường THPT Lê Hồng Phong (Phổ Yên-TháiNguyên) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập Cuốicùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thểhoàn thành tốt khóa học của mình

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014

TÁC GIẢ

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm đưa ra một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệthống và những kiến thức đó thực cần thiết phục vụ cho chứng minh các kết quả ở nhữngchương sau Chương này ta luôn giả thiết A là vành giao hoán có đơn vị

1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết và tập giá của môđun

Kí hiệu 1.1.1 Cho M là một A−môđun Linh hóa tử của M, ký hiệu là annA(M) hoặc(0 :AM), đó là tập hợp {a ∈ A | aM = 0} (nó cũng là một iđêan của A) Cho x ∈ M, khi

đó ta gọi linh hóa tử của x, kí hiệu là annA(x) hay (0 :Ax), đó là iđêan annA(Ax)

Định nghĩa 1.1.2 (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M là một A−môđun và p ∈ Spec(A).

Ta nói p là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho p = annA(x) Hơnnữa, tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của A−môđun M được ký hiệu là AssA(M)hoặc Ass(M)

Nhận xét 1.1.3 Cho M là A−môđun và p ∈Spec(A) Khi đó, p ∈AssA(M) khi và chỉ khitồn tại một môđun con N của M sao cho A/p ∼= N Nếu giả thiết thêm A là vành Noether

và M là A−môđun khác 0 Khi đó mọi phần tử tối đại của tập Σ = {annA(x) | 0 6= x ∈ M}đều nằm trong tập AssA(M) Đặc biệt, ta suy ra rằng M 6= 0 khi và chỉ khi AssA(M) 6= /0

Định nghĩa 1.1.4 (Giá của môđun) Cho M là R−môđun Ta gọi tập hợp SuppA(M) ={p ∈ Spec(A) | Mp6= 0} là tập giá của M Ta cũng kí hiệu MinA(M) là tập tất cả các phần

tử tối tiểu của tập Supp(M).

Mệnh đề 1.1.5 Cho A là vành Noether và

0 → N → M → P → 0

là một dãy khớp ngắn các A−môđun Khi đó ta có các phát biểu

i)AssA(N) ⊆ AssA(M) ⊆ AssA(N) ∪ AssA(P).

ii)SuppA(M) = SuppA(N) ∪ SuppA(P).

Mệnh đề 1.1.6 Cho A là một vành Noether và M là A−môđun hữu hạn sinh khác 0.

Khi đó tồn tại dãy các môđun con của M dạng0 = M0⊂ M1⊂ · · · ⊂ Mn= M và có các

pi∈ Spec(A) sao cho Mi/Mi−1 ∼= A/p

i với mọi i = 1, · · · , n.

Mệnh đề 1.1.7 Cho A là vành Noether và M là A−môđun Khi đó ta có

i)MinA(M) ⊆ AssA(M) ⊆ SuppA(M).

ii) Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên A thì |AssA(M)| < ∞.

1.2 Chiều và độ cao

Định nghĩa 1.2.1 (Chiều của vành và môđun) Cho A là một vành giao hoán, một dãy

giảm thực sự các iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ · · · pn của vành A được gọi là một xíchnguyên tố có độ dài n Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong A được gọi làchiều Krull của A, hay chiều của vành A, ký hiệu là dim A Giả sử M là một A−môđun.Khi đó, chiều của M, ký hiệu là dim M được xác định bởi dim M = dim(A/ ann(M))

Định nghĩa 1.2.2 (Độ cao của iđêan) Cho A là một vành giao hoán và p là iđêan

nguyên tố của A Chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thức sự các iđêan nguyên tố

p= p0⊃ p1⊃ · · · ⊃ pr xuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht(p) Cho I làmột iđêan của A Độ cao của I, ký hiệu là ht(I), được cho bởi ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ V(I)}trong đó V(I) là tập các iđêan nguyên tố của A chứa I

Chú ý 1.2.3 i) Cho p ∈ Spec A, khi đó dim Ap= ht(pAp) = ht(p) Đặc biệt nếu (A, m)

là vành địa phương thì dim A = ht(m)

iii) Nếu M là A−môđun hữu hạn sinh thì SuppA(M) = V (annA(M)) Từ đó ta có

dim M = dim(SuppA(M))

trong đó dim(SuppA(M)) được xác định là cận trên đúng các độ dài của các dãy iđêannguyên tố lồng nhau thực sự trong SuppA(M) (nếu nó tồn tại, trường hợp ngược lại tanói dim(SuppA(M)) = ∞)

Định nghĩa 1.2.4 i) (xem [10, Trang 250]) Một vành A được gọi là đẳng chiều nếu

dim A = dim(A/p) với mọi iđêan nguyên tố tối tiểu p của A

ii) Cho A là một vành Noether giao hoán và M là một A−môđun hữu hạn Khi đó, Mđược gọi là đẳng chiều nếu MinA(M) = AsshA(M) (tức là dimA(M) = dim(A/p) với mọiiđêan nguyên tố tối tiểu p của SuppA(M))

Định nghĩa 1.2.5 Một vành A được gọi là catenary nếu với bất kỳ hai iđêan nguyên

tố p và q của A với p ⊂ q, luôn tồn tại dãy bão hòa các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p vàkết thúc ở q, đồng thời mọi dãy như vậy đều có cùng độ dài (hữu hạn), và A được gọi là

catenary phổ dụng nếu A là vành Noether và mọi A−đại số hữu hạn đều là catenary.

Định nghĩa 1.2.6 (Xem sách [10, Trang 67, 68]) Cho A là một vành và B là A−đại số,

phát biểu dưới đây được gọi là định lý going-up: cho trước hai iđêan nguyên tố p ⊂ p0của A và một iđêan nguyên tố P của B sao cho P ∩ A = p, lúc đó tồn tại iđêan nguyên tố

P0 của B sao cho P ⊂ P0 và P0∩ A = p0 Một cách tương tự, định lý going-down là phátbiểu sau đây: cho trước hai iđêan nguyên tố p ⊂ p0của A và một iđêan nguyên tố P0của Bsao cho P0∩ A = p0, lúc đó tồn tại iđêan nguyên tố P của B sao cho P ⊂ P0và P ∩ A = p

Định lý 1.2.7 (Định lý going-up/going-down) Cho A ⊆ B là một mở rộng vành Khi đó

các phát biểu sau là đúng.

i) Nếu B là nguyên trên A thì định lý going-up là đúng.

ii) Nếu B là miền nguyên, B nguyên trên A, và A là đóng nguyên thì định lý going-down

là đúng.

1.3 Tôpô Zariski và thớ hình thức của vành

Định nghĩa 1.3.1 (Tôpô Zariski, xem [10, Trang 24, 25]) Cho A là vành giao hoán

có đơn vị Đặt X =Spec(A) Một tập con V thuộc X được gọi là một tập đóng nếu

và chỉ nếu tồn tại một iđêan I của vành A sao cho V =V(I) Khi đó, ta dễ dàng thấyrằng: i) Giao vô hạn các tập đóng là một tập đóng; ii) Hợp hữu hạn các tập đóng làmột tập đóng Do vậy, X trở thành một không gian tôpô Tôpô của X xác định bởi họcác tập đóng {V (I) | I là iđêan của A} được gọi là tôpô Zariski Với mỗi a ∈ A, tậpD(a) = {p ∈Spec(A) | a /∈ p} là phần bù của V(aA), do vậy sẽ là một tập mở Như vậymọi tập mở của X đều viết được dưới dạng hợp của các tập mở có dạng D(a) Nếu

U =Spec(A)\V(I) thì U =S

a∈ID(a) Do đó, các tập mở dạng D(a) là cơ sở của tôpôZariski

Định nghĩa 1.3.2 (Tôpô tuyến tính và tôpô tách, [10, Trang 55]) Cho A là vành giao

hoán có đơn vị và M là A−môđun Giả sửW

là tập định hướng (tức là (W

, ≤) là tập sắpthứ tự và có tính chất với mọi λ , µ ∈W

, luôn tồn tại υ ∈ A để λ ≤ υ, µ ≤ υ) và giả sử

J= {Mλ}λ ∈W là một họ các môđun con của M sao cho mỗi khi λ ≤ γ thì Mλ ⊇ Mγ Taxem J như là một hệ lân cận của 0 Khi đó, M là một nhóm tôpô với phép toán cộng.Hơn nữa, trong tôpô đó, với bất kỳ x ∈ M, ta thấy một hệ lân cận của x được cho bởi{x + Mλ}λ ∈W Trong M, phép toán cộng, phép toán trừ và phép toán nhân vô hướng làliên tục Trong trường hợp M = A và mỗi Mλ là một iđêan thì phép nhân cũng liên tục

vì (a + Mλ)(b + Mλ) ⊆ ab + Mλ Kiểu tôpô như trên được gọi là tôpô tuyến tính trên M.

Và nó là tôpô tách nếu và chỉ nếuT

λMλ = 0

Nhận xét 1.3.3 Mỗi Mλ ⊂ M là một tập mở, mỗi lớp ghép x + Mλ cũng là mở và phần

bù M \ Mλ là hợp của các lớp ghép nên cũng là tập mở (vì M \ Mλ = x∈M/

λ(x + Mλ))

Do đó Mλ vừa là tập con mở, vừa là tập con đóng; vì thế môđun thương MMλ là rờirạc đối với tôpô thương Ta nói M/T

λMλ gọi là môđun tách liên kết với M Hơn nữa,

vì mỗi khi λ < µ có một đồng cấu tự nhiên ϕλ µ : M/Mµ −→ M/Mλ, nên ta có thể xâydựng được một hệ ngược {M/Mλ, ϕλ µ} gồm các A−môđun; và giới hạn ngược của nólim

←−(M/Mλ) được gọi là cái đầy đủ của M và được viết là bM Ta cho mỗi M/Mλ một tôpôrời rạc, môđun tích trực tiếp ∏λ(M/Mλ) một tôpô tích, và bMlà không gian tôpô con của

∏λ(M/Mλ) Lấy ψ : M −→ bM là A−đồng cấu tự nhiên, khi đó ψ liên tục và ψ(M) trùmật trong bM

Định nghĩa 1.3.4 (Tôpô I-adic, xem [10, Trang 57]) Trong số các tôpô tuyến tính thì

trường hợp được định nghĩa bởi các iđêan đặc biệt quan trọng Cho I là iđêan của A và

M là A−môđun Khi đó tôpô trên M được định nghĩa bởi {InM}n≥1 được gọi là tôpôI−adic Nếu ta cũng cho A tôpô I − adic thì cái đầy đủ bA và bM của A và M được gọi là

cái đầy đủ I−adic; và ta thấy bMlà bA−môđun; với mỗi α = (a1, a2, · · · ) ∈ bAvới an∈ A/In

và ξ = (x1, x2, · · · ) ∈ bM với xn ∈ M/InM với mọi n, khi đó tích vô hướng được xác địnhbởi aξ = (a1x1, a2x2, · · · ) ∈ bM

Định nghĩa 1.3.5 (Khái niệm thớ, theo sách [10, Trang 116 và 255])

(i) Cho f : A → B là một đồng cấu vành, và lấyaf : Spec(B) → Spec(A), β 7−→af(β ) =

f−1(β ) (với β ∈ Spec B) Cho p ∈ Spec(A), khi đó ta dễ thấy có một song ánh giữa(af)−1(p) và X = Spec(S−1(B/pB)) = Spec(B ⊗Ak(p)) (trong đó S = A \ p và k(p) =

Ap/pAp) Ta gọi X là thớ của f tại p.

(ii) Cho (A, m) là vành địa phương, và f : A → bA là đồng cấu chính tắc (trong đó bA làđầy đủ m−adic của A) Khi đó các thớ của f tại các iđêan nguyên tố của A được gọi là

các thớ hình thức của A

(iii) Nếu A là vành giao hoán tùy ý và p ∈ Spec(A), thì các thớ hình thức của Ap được

gọi là các thớ hình thức của A tại p.

1.4 Môđun đối đồng điều

Định nghĩa 1.4.1 (Môđun xạ ảnh) Một A−môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi

toàn cấu f : M → N và với mọi đồng cấu g : P → N ta luôn có đồng cấu h : P → M saocho f h = g

Mệnh đề 1.4.2 Mọi A−môđun tự do đều là môđun xạ ảnh Hơn nữa, mỗi A−môđun M

đều có giải xạ ảnh · · · → Pn→ Pn−1 → · · · → P0→ M → 0 trong đó Pilà các A−môđun

Định nghĩa 1.4.5 (Chiều xạ ảnh) Cho M là một A−môđun, chiều xạ ảnh của M, ký

hiệu là pd(M), là số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại một giải xạ ảnh P• của

Mvới Pi= 0 với mọi i > n Nếu không tồn tại số nguyên không âm n nào như vậy thì tađặt pd(M) = ∞

Định nghĩa 1.4.6 (Môđun con a−xoắn) Cho A là một vành Noether, a là một iđêan

của A, và M là A−môđun Khi đó Γa(M) =S

n≥0(0 :M an) là môđun con a−xoắn củaA−môđun M

Mệnh đề 1.4.7 Cho M là một A−môđun hữu hạn sinh Khi đó ta có AssA(Γa(M)) =AssA(M) ∩ V(a), và AssA(M/Γa(M)) = AssA(M) \ V(a).

Định nghĩa 1.4.8 (Môđun nội xạ) Một A−môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn

cấu f : N → M và mọi đồng cấu g : N → E, thì tồn tại A−đồng cấu h : M → E sao cho

g= h ◦ f

Định nghĩa 1.4.9 (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của A−môđun M là dãy khớp 0 →

M→ E0→ E1→ E2 → · · · trong đó Ei là các A−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0

Định nghĩa 1.4.10 (Môđun đối đồng điều địa phương) Nếu f : M → M0 là đồng cấucác A−môđun thì ta có đồng cấu f∗ : Γa(M) → Γa(M0) xác định với f∗(x) = f (x).Như vậy, nếu 0 → M → E0 u

Nhận xét 1.4.11 Cho a là một iđêan của vành Noether A và M là A−môđun Khi

đó Γa(M) là a - xoắn Môđun con và ảnh đồng cấu của một môđun a−xoắn là môđuna−xoắn Trường hợp M là môđun hữu hạn sinh trên A thì M là a−xoắn nếu và chỉ nếutồn tại n ∈ N sao cho anM= 0

Mệnh đề 1.4.12 Cho a là một iđêan của vành Noether A và M là một A−môđun Khi

đó ta có

(i)Hia(M) là môđun a−xoắn với mọi i ∈ N.

(ii) Nếu M là a−xoắn thìHia(M) = 0 với mọi i > 0.

(iii) Đồng cấu tự nhiên π : M → M/Γa(M) sinh ra đẳng cấu Hia(M) ∼= Hia(M/Γa(M))

với mọi i > 0.

Định lý 1.4.13 (Định lý triệt tiêu của Grothendick) Cho M là một A−môđun Khi đó

Hia(M) = 0 với mọi i > dim(M).

1.5 Môđun Cohen - Macaulay

Định nghĩa 1.5.1 ([10, Trang 127]) Cho dãy x = x1, · · · , xn các phần tử của vành A, tađịnh nghĩa phức K• như sau: đặt K0= A và Kp= 0 nếu p không thuộc miền 0 ≤ p ≤ n,Với 1 ≤ p ≤ n ta đặt Kp là A−môđun tự do có hạng np
với cơ sở là {ei1,··· ,i p | 1 ≤ i1 <

AM Môđun đồng điều của K•(x, M) kýhiệu là Hi(x, M) với mọi i.

Bổ đề 1.5.2 ([2, Hệ quả 1 6 22]) Cho A là vành, I là iđêan hữu hạn sinh và M là

A−môđun (không nhất thiết là hữu hạn sinh) Giả sử x = x1, · · · , xm và y = y1, · · · , yn là hai hệ các phần tử sinh của I và lấy h ∈ N Khi đó Hi(x, M) = 0 với mọi i = m − h +

1, · · · , m nếu và chỉ nếu Hi(y, M) = 0 với mọi i = n − h + 1, · · · , n.

Từ bổ đề trên ta có thể định nghĩa khái niệm grade của một A−môđun M tùy ý (khôngnhất thiết phải hữu hạn sinh) trong một iđêan hữu hạn sinh I

Định nghĩa 1.5.3 ([2, Định nghĩa 9.1.1]) Cho A là một vành, I là iđêan sinh bởi hệ

x= x1, · · · , xn, và M là A−môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh) Nếu môđun đồngđiều Koszul Hi(x, M) = 0 với mọi i thì ta đặt grade(I, M) = ∞; trường hợp ngược lại tađặt grade(I, M) = n − h, trong đó h =sup{i | Hi(x, M) 6= 0}

Chú ý 1.5.4 Ta thấy định nghĩa grade(I, M) như trên không phụ thuộc vào việc lựa

chọn hệ sinh hữu hạn x của I Trong trường hợp M là môđun (không nhất thiết hữu hạnsinh) trên vành địa phương Noether (A, m) thì độ sâu của M, ký hiệu là depthA(M) hoặcdepth(M) được xác định bởi depthA(M) =grade(m, M)

Định nghĩa 1.5.5 ([10, Trang 123]) Cho A là vành giao hoán và M là A−môđun Một

phần tử x ∈ A được gọi là M−chính quy nếu (0 :Mx) = 0 (hay xa 6= 0 với mọi 0 6= a ∈ M).Một dãy các phần tử x1, · · · , xncủa A được gọi là M−dãy chính quy nếu (x1, · · · , xn)M 6=

Mvà xilà M/(x1, · · · , xi−1)M−chính quy với mọi i = 1, , n

Chú ý 1.5.6 Cho (A, m) là vành địa phương Noether và M là A−môđun hữu hạn sinh.

Khi đó mọi M−dãy cực đại trong m đều có cùng độ dài và độ dài đó bằng depthA(M)

Định nghĩa 1.5.7 (Môđun Cohen-Macaulay, xem [2, Định nghĩa 2.1.1]) Cho (A, m)

là một vành địa phương Noether và M là một A−môđun hữu hạn sinh M được gọi làmôđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M 6= 0 và depth(M) = dim(M) Vành A đượcgọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là A−môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.5.8 ([2, Trang 104]) i) Cho (A, m) là vành địa phương Noether và M là

A−môđun hữu hạn sinh có dimA(M) = d Hệ gồm d phần tử x1, · · · , xd ∈ m được gọi là

hệ tham số của M nếu `A(M/(x1, · · · , xd)M) < ∞

ii) Cho vành Noether địa phương (A, m) có dim(A) = d Ta nói A là vành chính quy nếu

mđược sinh bởi d phần tử

Bổ đề 1.5.9 (Công thức Auslander-Buchsbaum, xem [2, Định lý 1.3.3]) Cho (A, m) là

vành địa phương Noether và M là A−môđun hữu hạn sinh khác 0 Khi đó, nếu M có

chiều xạ ảnh hữu hạn thìpdA(M) + depthA(M) = depth(A).

Chương 2

Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

môđun đối đồng điều địa phương

Trong chương này, ta giả thiết (A, m) là vành địa phương và M là A−môđun hữu hạnsinh có số chiều là d Mục đích chính của chương là tìm ra công cụ chính (Định lý 2.3.3

và Hệ quả 2.3.6- về mối quan hệ giữa tập các iđêan nguyên tố gắn kết của các môđunđối đồng điều địa phương Hmi (M) và các môđun đối đồng điều của phức CousinCA(M)của M) để sử dụng cho chứng minh kết quả của Chương 3

2.1 Phân tích thứ cấp

Định nghĩa 2.1.1 (theo [1, Trang 127]) Cho S là một A−môđun Ta nói S là môđun thứ

cấpnếu S 6= 0, và với mỗi a ∈ A ta có aS = S hoặc tồn tại n ∈ N sao cho anS= 0 Trongtrường hợp này, ta có p =p(0 :AS) là một iđêan nguyên tố của A Khi đó, ta còn gọi S

là môđun p−thứ cấp

Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau

Chú ý 2.1.2 (xem [1, Trang 127]) i) Ảnh đồng cấu khác 0 của một môđun p−thứ cấp

của M là một biểu diễn M thành tổng của hữu hạn các môđun con thứ cấp của M Mộtbiểu diễn thứ cấp M = S1+ · · · + Sncủa M (trong đó Silà pi−thứ cấp với mọi i = 1, , n)được gọi là tối giản khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) p1, · · · , pn là n iđêan nguyên tố khác nhau đôi một của A

ii) Sj * ∑n1=i6= jSivới mọi j = 1, · · · , n

Ta nói một A−môđun M là biểu diễn được nếu nó có một biểu diễn thứ cấp nào đó Ta

dễ thấy nếu A−môđun M biểu diễn được thì nó luôn có một biểu diễn thứ cấp tối giản

Định lý 2.1.4 (xem [1, Trang 128], Định lý về tính duy nhất thứ nhất) Cho M là một

A−môđun biểu diễn được và M = S1+ · · · + Sn với Si là pi−thứ cấp (1 ≤ i ≤ n) và

M= S01+ · · · + S0n0 với p0i− thứ cấp (1 ≤ i ≤ n0) là hai biểu diễn thứ cấp tối giản của M Khi đó n = n0và {p1, · · · , pn} = {p01, · · · , p0n0}.

Định nghĩa 2.1.5 (xem [1, Trang 128]) Cho M là một A−môđun biểu diễn được và

M= S1+ · · · + Sn với Si là pi− thứ cấp (1 ≤ i ≤ n) là một biểu diễn thứ cấp tối giản của

M Khi đó, tập hợp {p1, · · · , pn} được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M và

được ký hiệu là Att(M) hoặc AttA(M) Các phần tử của tập Att(M) được gọi là các iđêan

nguyên tố gắn kết của M

Nhận xét 2.1.6 (xem [1, Trang 129]) i) Cho A là một vành Noether, M là môđun biểu

diễn được và p ∈ Spec(A) Khi đó p ∈ Att(M) khi và chỉ khi có một ảnh đồng cấu của M

có linh hóa tử bằng p

ii) (xem [1, Trang 129]) Cho 0 → L → M → N → 0 là một dãy khớp ngắn của cácA−môđun biểu diễn được Khi đó Att(N) ⊆ Att(M) ⊆ Att(L) ∪ Att(N)

Định lý 2.1.7 (xem [1, Trang 129], Định lý về tính duy nhất thứ hai) Cho M là một

A−môđun biểu diễn được và cho M = S1+ · · · + Sn với Si là các pi− thứ cấp (1 ≤ i ≤ n)

là biểu diễn thứ cấp tối giản của M Giả sử pj là phần tử tối tiểu của Att(M) theo quan

hệ bao hàm Khi đó Sj= r∈A\p

jrM Nói riêng, Sj không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn thứ cấp tối giản của M.

Định nghĩa 2.1.8 (xem [1, Trang 129]) Một A−môđun N được gọi là bất khả tổng nếu

nó khác không và không thể biểu diễn thành tổng của hai môđun con thực sự của nó

Nhận xét 2.1.9 i) Cho M là một A−môđun Artin Khi đó nếu M là bất khả tổng thì M

Hệ quả 2.1.11 (xem [1, Trang 130]) Cho (A, m) là một vành địa phương và M là một

A−môđun Artin Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi AttA(M) ⊆ {m}.

Định lý 2.1.12 (xem [1, Trang 132]) Giả sử (A, m) là vành địa phương và M là một

A−môđun khác 0, hữu hạn sinh có số chiều là n Khi đó Hnm(M) 6= 0 và

AttA(Hnm(M)) = {p ∈ AssA(M) | dim(A/p) = n}

Nói cách khácAttA(Hnm(M)) = AsshA(M).

Hệ quả 2.1.13 (xem [1, Trang 133]) Giả sử (A, m) là vành địa phương và M là một

A−môđun hữu hạn sinh khác 0 có số chiều là n > 0 Khi đó Hn

m(M) không hữu hạn sinh.

Định lý 2.1.14 (Nguyên lý dịch chuyển địa phương yếu, xem [1, 11.3.8]) Giả sử

(A, m) là một vành địa phương Cho M là một A−môđun hữu hạn sinh, p ∈ Spec(A)

và dim(A/p) = t Cho i ∈ Z và q ∈ Spec(A) thỏa mãn q ⊆ p và qAp∈ AttA p(HipAp(Mp)).

Khi đó q ∈AttA(Hi+tm (M)).

2.2 Phức Cousin

Định nghĩa 2.2.1 (xem [14, Trang 342]) Giả sử M 6= 0 là một A− môđun và p ∈

Supp(M) Khi đó độ cao của iđêan p trong M là htM(p) Đó là cận trên đúng của

độ dài các xích nguyên tố trong Supp(M) bắt đầu từ p Với a là một iđêan của A thì

htM(a) = inf{htM(p) | p ∈ SuppA(M) ∩ V(a)} Đặc biệt, nếu M là A−môđun hữu hạnsinh thì htM(a) = ht(a+annA (M)

annA(M) ) Từ đó ta thấy rằng htM(p) = dimAp(Mp), htM(p) ≤ ht(p)

và htM(a) ≥ 0 khi M 6= aM

Định nghĩa 2.2.2 (Xây dựng phức Cousin của một môđun [15, Trang 344]) Cho trước

các số nguyên i ≥ 0, ta đặt Ui(M) = {p ∈ Supp(M) | htM(p) ≥ i} Khi đó ta thấy

(i) U0(M) = Supp(M);

(ii) Ui+1(M) ⊆ Ui(M) và Ui(M) −Ui+1(M) = {p ∈ Supp(M) | htM(p) = i};(iii) Ui(M) − Ui+1(M) là đáy của Ui(M) (nghĩa là mọi p ∈ Ui(M) − Ui+1(M) đều

là phần tử tối tiểu của Ui(M))

Phức Cousin của M được xây dựng bằng quy nạp như sau: Đặt M−2 = 0, M−1= M,

và d−2: M−2 → M−1 là đồng cấu không Giả sử n ≥ 0 và có một phức

Mn = Mp∈Supp(M)

Như vậy ta xây dựng được một phứcC (M) hay CA(M) như sau

M = Ker(di)/ Im(di−1) Ta nói phức Cousin CA(M) là hữu

hạnnếu mỗi môđun đối đồng điềuH i

M là hữu hạn sinh trên A

Dưới đây ta nhắc lại một số tính chất của phức Cousin

Bổ đề 2.2.3 Cho M là một A−môđun hữu hạn sinh chiều d và a là iđêan của A thỏa

2.3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

Bổ đề 2.3.1 ([5, Bổ đề 2.1]) Giả sử (A, m) là một vành địa phương và i là một số nguyên

thỏa mãn 0 ≤ i < d Khi đó, các phát biểu sau là tương đương

Chứng minh. Giả sử s là một số nguyên thỏa mãn 0 ≤ s < d và dimA(Hs−1

M ) ≤ 0 Theo(2.2.1) với l = s ta có dãy khớp

Bổ đề 2.3.2 (xem [5, Bổ đề 2.2]) Giả sử (A, m) là vành địa phương và 0 ≤ t < d là một

số nguyên sao cho dimA(H i

M) ≤ t − i − 1 với mọi i ≥ −1 ( t = d − 1 là một ví dụ, xem

[14, 2.7 (vii)]) Khi đó, những khẳng định sau là đúng.

iii) Giả sửCA(M) hữu hạn Khi đó,Ht−1

M 6= 0 nếu và chỉ nếu m ∈ AttA(Htm(M)).

Chứng minh. i) Chúng ta chứng minh quy nạp theo j (với −1 ≤ j ≤ t − 1) kết luận sau

AttA(Htm(M)) ⊆

j [

⊆ AttA(Ht− j−2m (H j+1

M ))[AttA(Ht− j−2m (Mj+1/Kj+1)) (2.3.9)

Theo (2.3.6) và (2.3.9) thì phép chứng minh quy nạp đã được hoàn thành Do đó

ii) Theo (2.2.1) với l = t − 1 ta có dãy khớp

Hi−1m (Mt−i) −→ Hi−1m (Mt−i/Dt−i) −→ Hmi (Mt−i−1/Kt−i−1) −→ Him(Mt−i)

Khi 0 ≤ i ≤ t ta được 0 ≤ t − i ≤ t < d và vì vậy Him(Mt−i) = 0 = Hi−1m (Mt−i) (theo [15,Định lý]) Từ đó ta có đẳng cấu

Hi−1m (Mt−i/Dt−i) ∼= Him(Mt−i−1/Kt−i−1), ∀0 ≤ i ≤ t (2.3.10)

Theo (2.2.2) với l = t − i ta có dãy khớp

Him(Ht−i−1

M ) −→ Him(Mt−i−1/Dt−i−1) −→ Him(Mt−i−1/Kt−i−1) −→ Hi+1m (Ht−i−1

M )

Theo giả thiết rằng dimA(Ht−i−1

M ) ≤ i, nên ta có Hi+1m (Ht−i−1

M ) = 0 và vì vậy ta có toàncấu

Him(Mt−i−1/Dt−i−1)  Him(Mt−i−1/Kt−i−1) (2.3.11)