Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương (tt)

Đồng thời, các tập iđêan nguyên tố gắn kết này còn được nghiên cứutrong mối liên hệ với số bội, tính bão hòa nguyên tố và đối địa phương hóacủa hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Hi

trần đỗ minh châu

Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 62.46.01.04

tóm tắt luận án tiến sĩ toán học

Huế - 2014

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS Lê thị Thanh Nhàn - ĐHKH Thái Nguyên

2 GS.TS Lê Văn Thuyết - Đại học Huế

Có thể tìm hiểu luận án tại:

-Thư viện quốc gia Việt Nam

-Thư viện trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế

Mở đầu

Vào những năm 1960, A Grothendieck đã giới thiệu lý thuyết đối

đồng điều địa phương dựa trên công trình của J P Serre năm 1955 về các

bó đại số Ngay sau đó, lý thuyết này nhanh chóng phát triển và được nhiềunhà toán học trên thế giới quan tâm Ngày nay lý thuyết đối đồng điều địaphương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhaucủa toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp

Một trong những kết quả quan trọng về môđun đối đồng điều địa phương làtính triệt tiêu Cho M là môđun trên vành giao hoán Noether R Năm 1967,

A Grothendieck đã chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương Hi

I(M )triệt tiêu tại mọi cấp i > dim Supp M và nếu (R, m) là vành địa phương,

M là hữu hạn sinh thì Hd

m(M ) 6= 0, trong đó d = dim M Sau đó, ông cũngchứng minh được độ sâu của M là số i bé nhất để Hi

m(M ) 6= 0 Định lý triệttiêu Lichtenbaum-Hartshorne nổi tiếng còn khẳng định rằng nếu I là iđêancủa vành địa phương (R, m) với dim R = n thì Hn

I(R) = 0 khi và chỉ khidim bR/(I bR + P) ≥ 1 với mọi iđêan nguyên tố liên kết chiều cao nhất Pcủa vành đầy đủ m-adic R.b Tính chất tiếp theo được rất nhiều người quantâm là tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương Ngay cả khi

M hữu hạn sinh thì Hi

I(M ) nhìn chung không hữu hạn sinh Vì thế người ta

đặt ra câu hỏi với điều kiện nào thì môđun Hi

I(M ) hữu hạn sinh Năm 1978,

G Faltings đã đặc trưng số i bé nhất để Hi

I(M ) không hữu hạn sinh Đặcbiệt, ông còn đưa ra nguyên lý địa phương toàn cục về tính hữu hạn sinh củamôđun đối đồng điều địa phương

Một trong những tính chất rất được chú ý của môđun đối đồng điều địaphương là tính Artin Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương và

M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Năm 1971, bằng một chứng

minh ngắn gọn sử dụng giải nội xạ tối thiểu của M và tính Artin của baonội xạ E(R/m), I G Macdonald và R Y Sharp đã suy ra được Hi

m(M )luôn là Artin với mọi i ≥ 0 Sau đó, sử dụng Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R Y Sharp phát hiện ra lớp môđun đối đồng điều địa phươngArtin thứ hai là Hd

I(M ) Về sau, L Melkersson đã chứng minh lại hai kếtquả về tính Artin này bằng một phương pháp sơ cấp Nhiều thông tin vềhai lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin Hi

m(M ) và Hd

I(M ) đã đượcphản ánh thông qua các công trình của R Y Sharp, M Brodmann-Sharp, M.Hochster và C Huneke , K E Smith, K Divaani-Aazar và P Schenzel, H.Zăoschinger và các công trình của N T Cường cùng các học trò

Theo I G Macdonald, tập iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđun Artin

A, kí hiệu là AttRA, có vai trò quan trọng tương tự như tập iđêan nguyên

tố liên kết đối với môđun hữu hạn sinh Mục đích của luận án là nghiêncứu tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấpbất kì với giá cực đại Hi

m(M ) và môđun đối đồng điều địa phương cấp caonhất với giá tùy ý Hd

I(M ), từ đó làm rõ cấu trúc của môđun M và vành cơ

sở R Đồng thời, các tập iđêan nguyên tố gắn kết này còn được nghiên cứutrong mối liên hệ với số bội, tính bão hòa nguyên tố và đối địa phương hóacủa hai lớp môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M ) và Hd

I(M ) Nhắc lạirằng một R-môđun Artin A được gọi là thỏa mãn tính bão hòa nguyên tốnếu AnnR(0 :A p) = p với mỗi iđêan nguyên tố p chứa AnnRA Tính bãohòa nguyên tố được giới thiệu bởi N T Cường và L T Nhàn nhằm nghiêncứu cấu trúc của môđun Artin

Chú ý rằng các môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M ) có cấu trúcb

R-môđun Artin nên tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hi

m(M ) trên Rb luônxác định Câu hỏi tự nhiên đặt ra là mối quan hệ giữa hai tập AttRHmi(M )

và AttRbHmi(M ) như thế nào Năm 1975, R Y Sharp chứng minh được khiiđêan nguyên tố P của Rb chạy trong AttRbHmi(M ) thì tập các iđêan nguyên

tố P ∩ R chính là AttRHmi(M ) Ông còn đưa thêm một số thông tin về

chiều của các iđêan nguyên tố gắn kết của Hi

m(M ) trên R Tuy nhiên, vấn

đề ngược lại, cho trước tập AttRHmi (M ), bằng cách nào xác định được tậpAtt

m(M )qua địa phương hóa Hi−dim R/p

pR p (Mp) ý tưởng này tiếp tục được

M Brodmann và R Y Sharp sử dụng để nghiên cứu chiều và số bội cho cácmôđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M ) và mở rộng kết quả đó cho lớpvành catenary phổ dụng có mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay Chú ýrằng nguyên lý chuyển dịch địa phương này không đúng trong trường hợptổng quát Vì thế bài toán thứ hai được giải quyết trong luận án này là tìm

điều kiện của vành cơ sở R để tồn tại một đối địa phương hóa tương thíchvới mọi môđun Hi

m(M )

Kết quả của I G Macdonald và R Y Sharp năm 1971 đã mô tả rất rõ ràngtập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều cấp cao nhất với giácực đại Hd

m(M ) trên R và Rb Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne,năm 1979, R Y Sharp tiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hd

I(R)trên vành R.b Sau đó, K Divaani-Aazar và P Schenzel đã mở rộng kết quảnày cho môđun Mặc dù vậy, vấn đề xác định tập iđêan nguyên tố gắn kếtcủa Hd

I(M ) trên vành R vẫn là vấn đề mở Bài toán thứ ba được giải quyếttrong luận án này là mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Hd

I(M )trên vành R trong mối liên hệ với tính bão hòa nguyên tố, đối địa phươnghóa và công thức bội liên kết của môđun này

Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phươngvới giá cực đại, nếu R là thương của vành Gorenstein thì bằng cách sử dụng

đối ngẫu địa phương và các tính chất quen biết của môđun hữu hạn sinh ta cóthể thu được những thông tin của Hi

m(M ) một cách nhanh chóng Tuy nhiên,trên vành tùy ý, chúng tôi phải sử dụng khéo léo tập giả giá giới thiệu bởi

M Brodmann và R Y Sharp và những tính chất đặc thù về chiều của môđunArtin để chứng minh các kết quả Để nghiên cứu lớp môđun Hd

I(M ), chúngtôi cần đến những hiểu biết sâu về Định lý phân tích nguyên sơ Noether, tínhchất đối hữu hạn của Hd

I(M ) và một số kết quả đã biết về lớp môđun đối

đồng điều địa phương này

Luận án được chia làm 3 chương Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ

sở như biểu diễn thứ cấp, môđun đối đồng điều địa phương Artin, chiều vàtính bão hòa nguyên tố của môđun Artin, tính catenary phổ dụng của vành.Chương 2, được viết dựa theo các bài báo và trình bày các kết quả của luận

án về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấptùy ý với giá cực đại Chương 3 trình bày các kết quả của luận án về tậpiđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhấtvới giá bất kì

Trong suốt luận án, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địaphương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d và A là

nhìn chung không đúng thậm chí khi A = Hi

m(M )(xem Ví dụ 2.1.2) Chúngtôi chỉ ra rằng công thức (1) đúng cho mọi môđun Artin A khi và chỉ khi ánhxạ cảm sinh fa : Spec( bR) → Spec(R) là song ánh (Mệnh đề 2.1.3) Khi R

là thương của vành Gorenstein địa phương (R0, m0) chiều n, chúng tôi chứngminh được mối quan hệ sau giữa AttRHmi (M )) và AttRbHmi(M ) (Mệnh đề2.1.7)

Công cụ chính để chứng minh Định lý 2.2.5 là khái niệm giả giá giới thiệubởi M Brodmann và R.Y Sharp Với mỗi số nguyên i ≥ 0, giả giá thứ i của

M, kí hiệu là Psuppi

R(M ), được cho bởi công thứcPsuppiR(M ) = {p ∈ Spec R : HpRi−dim R/p

p (Mp) 6= 0}

Chú ý rằng vai trò của Psuppi

R(M )đối với môđun Artin Hi

m(M ) theo nghĩanào đó tương tự như tập giá đối với môđun hữu hạn sinh Từ Định lý 2.2.5,chúng ta suy ra một đặc trưng nữa cho lớp vành catenary phổ dụng và mọithớ hình thức là Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa Psuppi

mãn Mp là Rp-môđun Noether và Mp 6= 0 với mọi p ⊇ AnnRM.Tuy nhiên,ngay cả khi p ⊇ AnnRA, nếu p 6= m thì Ap = 0 Vì thế, trên nhiều khíacạnh, hàm tử địa phương hóa không hữu ích trong việc nghiên cứu môđunArtin Do đó chúng ta cần xây dựng với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử "đối

địa phương hóa" Fp : MR → MRp từ phạm trù các R-môđun đến phạm trùcác Rp-môđun sao cho Fp tương thích với mọi R-môđun Artin A, nghĩa là

Fp có các tính chất sau:

(a) Fp là tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin;

(b) Fp biến các R-môđun Artin thành các Rp-môđun Artin;

(c) Fp(A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnRA với mỗi R-môđun Artin A

Chúng tôi chỉ ra một điều kiện cần để tồn tại hàm tử đối địa phương hóanhư vậy là ánh xạ tự nhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên Đặc biệt, mọithớ hình thức của R đều là vành Artin (Định lý 2.3.8)

Một số tác giả đã xây dựng đối địa phương hóa Fp, với mỗi p ∈ Spec(R).Tuy nhiên không một đối địa phương hóa nào thỏa mãn cả ba tính chất(a), (b), (c) ở trên Với giả thiết R là catenary phổ dụng và mọi thớ hìnhthức là Cohen-Macaulay, M Brodmann và R.Y Sharp đã xem vai trò của

Rp-môđun Hi−dim(R/p)

pRp (Mp) như là đối địa phương hóa của môđun đối đồng

điều địa phương Hi

m(M ) để xây dựng thành công công thức bội liên kết của

Hmi (M ) Câu hỏi đặt ra là với điều kiện nào ta có được một đối địa phươnghóa tương thích cho mọi môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M )? Định

lý 2.3.11 là câu trả lời bộ phận cho câu hỏi này Chúng tôi chỉ ra rằng điềukiện cần để, với mỗi p ∈ Spec(R), tồn tại một hàm tử đối địa phương hóa

Fp : MR → MRp từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđunsao cho Fp tương thích với mọi môđun Hi

m(M ) là vành R là catenary phổdụng với mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay

Trong Chương 3, chúng tôi quan tâm đến tập iđêan nguyên tố gắn kếtcủa môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kì trong mối

liên hệ với tính bão hòa nguyên tố và số bội của môđun này Theo N T.Cường và L T Nhàn, một R-môđun A thỏa mãn tính bão hòa nguyên tốnếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRA Tính bãohòa nguyên tố nhìn chung không thỏa mãn với mọi môđun đối đồng điều

địa phương Artin N T Cường - L T Nhàn - N T Dung đã đặc trưng tínhbão hòa nguyên tố cho môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất vớigiá cực đại Hd

m(M ) thông qua tính catenary của vành R/ AnnR(Hmd(M )) vàchỉ ra rằng nếu R là miền nguyên không catenary thì Hdim R

m (R) không bãohòa nguyên tố Với cấp i tùy ý, L T Nhàn và T N An đã đặc trưng tínhbão hòa nguyên tố của Hi

m(M ).Họ chứng minh rằng Hi

m(M ) thỏa mãn tínhbão hòa nguyên tố nếu và chỉ nếu Psuppi

R(M ) = Var AnnRHmi (M )
Chú

ý rằng môđun đối đồng điều địa phương Hd

I(M ) là Artin và môđun này cóthể không thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố ngay cả khi R là thương củavành chính quy (xem Ví dụ 3.3.7) Để nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắnkết của Hd

I(M ), chúng tôi đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho môđun nàythông qua tính catenary của vành rồi chuyển nó về môđun đối đồng điều địaphương cấp cao nhất với giá cực đại của một môđun thương của M (Định lý3.1.2)

Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R Y Sharp đã mô tả tậpiđêan nguyên tố gắn kết cho môđun đối đồng điều địa phương Hdim R

I (R)trên vành đầy đủ R.b Kết quả này đã được K Divaani-Aazar và P Schenzel

mở rộng cho môđun Trong luận án này, từ Định lý 3.1.2, chúng tôi mở rộngkết quả trên của R Y Sharp cho trường hợp môđun Hd

I(M ) thỏa mãn tínhbão hòa nguyên tố (Hệ quả 3.2.2)

Phần cuối của chương dành để nghiên cứu đối giá và số bội cho môđun

HId(M ) Hàm tử "đối ngẫu với địa phương hóa" định nghĩa bởi K E Smith

Fp(−) = HomR HomR(−, E(R/m)), E(R/p)

từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun, trong đó E(−) là bao

nội xạ đã gợi ý cho chúng tôi định nghĩa khái niệm tập đối giá của môđun

đối đồng điều địa phương Hd

I(M ), kí hiệu là CosR(HId(M )), từ đó đưa ra

đặc trưng khác cho tính bão hòa nguyên tố của Hd

I(M ) thông qua tập đốigiá (Định lý 3.3.5)

Với mỗi R-môđun Artin A, ta kí hiệu N-dimRA là chiều Noether của Agiới thiệu bởi R N Roberts Theo D Kirby, nếu q là iđêan của R sao cho(0 :A q)có độ dài hữu hạn thì `R(0 :A qn+1)là một đa thức bậc N-dimRAvới

hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn, ta kí hiệu đa thức này là Θq

A(n).Đặt N-dimRA = s

Ta có biểu diễn

ΘqA(n) = `(0 :A qn+1) = e

0(q, A)s! n

s+ đa thức có bậc nhỏ hơn skhi n  0, trong đó e0(q, A) là một số nguyên dương Ta gọi e0(q, A) là sốbội của A ứng với q Năm 2002, M Brodmann và R Y Sharp đã giới thiệukhái niệm tập giả giá Psuppi

R(M ) để xây dựng thành công công thức bộiliên kết cho môđun Hi

m(M ) Kết quả cuối cùng của Chương 3 là sử dụng tập

đối giá CosR(HId(M )) để đưa ra công thức liên kết về số bội cho Hd

I(M )khi môđun này thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố (Hệ quả 3.3.8)

Chương 1

kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết về biểudiễn thứ cấp và tập iđêan nguyên tố gắn kết, môđun đối đồng điều địa phươngArtin, chiều và tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin, lớp vành catenaryphổ dụng nhằm thuận tiện cho việc theo dõi kết quả trong các chương sau.Mục 1.1 nhắc lại một số khái niệm và kết quả về biểu diễn thứ cấp củamôđun Artin

Mục 1.2 dành để nhắc lại một số khái niệm và tính chất của môđun đối

đồng điều địa phương như tính độc lập với vành cơ sở, tính triệt tiêu, tínhArtin Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến những tính chất về tập iđêan nguyên

tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin.

Mục 1.3 nhắc lại khái niệm và một số kết quả của vành catenary phổ dụng.Trong Mục 1.4, chúng tôi nhắc lại khái niệm chiều Noether và tính bãohòa nguyên tố của môđun Artin

Chương 2

môđun đối đồng điều địa phương với giá

cực đại

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương,

A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Vớimỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I

Kí hiệuRb vàMclần lượt là đầy đủ m-adic của R và M Mục tiêu của chươngnày là nghiên cứu việc chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun

đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hi

m(M ) qua đầy đủ m-adic trongmối liên hệ với tính catenary phổ dụng và các thớ hình thức Cohen-Macaulaycủa vành cơ sở Cấu trúc của vành cơ sở còn được phản ánh qua sự tồn tạimột đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun Artin Hi

m(M )mà chúngtôi nghiên cứu trong phần cuối của chương này

2.1 Chuyển iđêan nguyên tố gắn kết qua đầy đủ

Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M, mối liên hệ giữa tập các iđêan nguyên

tố liên kết của M và tập các iđêan nguyên tố liên kết của Mcđược cho bởihai công thức sau

mối quan hệ giữa hai tập AttRAvà AttRbA được cho bởi công thức như sau

AttRA = {P ∩ R | P ∈ Att

b

RA}

Công thức này là đối ngẫu với công thức (ii) trong Bổ đề 2.1.1 Tuy nhiên

đối ngẫu với công thức (i) trong Bổ đề 2.1.1

R( bR/p bR) với mỗi R-môđun Artin A;

(ii) ánh xạ cảm sinh fa : Spec( bR) → Spec(R) là song ánh

Chú ý rằng, tồn tại vành Noether địa phương (R, m) không đầy đủ sao cho

Ví dụ 2.1.2 đã chứng tỏ rằng công thức (1) nhìn chung không đúng chocác môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Vì thế ta tiếp tục xemxét mối quan hệ

Mệnh đề sau đây là kết quả chính của tiết này.

Mệnh đề 2.1.7 Giả sử R là thương của một vành Gorenstein địa phương.Khi đó với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và với mỗi số nguyên i ≥ 0 ta có

2.2 Trường hợp vành catenary phổ dụng với thớ hình thức Macaulay

Cohen-Như chúng ta đã biết, nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương thì

R là thương của vành Cohen-Macaulay, nhưng điều ngược lại không đúng,chẳng hạn khi R là miền nguyên chiều 1 trong Ví dụ 2.1.8 là vành Cohen-Macaulay nhưng không là thương của vành Gorenstein Nói cách khác, lớpvành là thương của vành Gorenstein địa phương thực sự nằm trong lớp vành làthương của vành Cohen-Macaulay địa phương T Kawasaki đã chứng minh

được R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương khi và chỉ khi R

là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay Nhắclại rằng, với mỗi p ∈ Spec(R) và P ∈ Spec(R)b sao cho P ∩ R = p, đồngcấu tự nhiên R → Rb cảm sinh ra đồng cấu địa phương f : Rp → bRP Khi

đó vành thớ RbP ⊗ (Rp/pRp) ∼= bRP/p bRP của đồng cấu f trên iđêan cực đại

pRp của Rp được gọi là thớ hình thức của R ứng với p và P Một câu hỏi

tự nhiên là công thức (2) còn đúng khi xét trên lớp vành mở rộng hơn nhưlớp vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức Cohen-Macaulay? Mụctiêu của tiết này là trả lời một phần cho câu hỏi đó Cụ thể, chúng tôi đưa

ra một đặc trưng cho lớp vành catenary phổ dụng có mọi thớ hình thức làCohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắnkết tối tiểu của Hi

m(M )trên R vàR.b Công cụ chủ yếu mà chúng tôi sử dụng

để chứng minh kết quả chính của tiết này là khái niệm giả giá thứ i của M,

được giới thiệu bởi M Brodmann và R Y Sharp Khái niệm này được địnhnghĩa như sau

Định nghĩa 2.2.1 Cho i ≥ 0 là một số nguyên Giả giá thứ i của M, kí hiệu

R-(iii) dim(R/ AnnRHmi(M )) = N-dimRHmi (M ) với mọi R-môđun hữuhạn sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0

Từ định lý trên, chúng tôi tiếp tục đặc trưng cấu trúc của vành cơ sở Rthông qua mối quan hệ giữa các tập giả giá thứ i của M và Mc Nhìn chung,

ta có mối quan hệ sau giữa hai tập Psuppi

sinh M và với mọi số nguyên i ≥ 0.

2.3 Đối địa phương hóa

Khi R là ảnh đồng cấu của vành Gorenstein, năm 1975, R Y Sharp đãchứng minh nguyên lý chuyển dịch địa phương để chuyển tập iđêan nguyên

tố gắn kết của Hi

m(M )qua địa phương hóa Hi−dim R/p

pR p (Mp) P Schenzel cũngxem Hi−dim R/p

pRp (Mp) như là "địa phương hóa" của Hi

m(M ) tại iđêan nguyên

tố p để nghiên cứu các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương ý tưởngnày tiếp tục được R Y Sharp và M Brodmann sử dụng để nghiên cứu chiều

và số bội cho các môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M ) và mở rộngkết quả đó trên lớp vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay Vấn đề ở đây là nguyên lý chuyển dịch địa phương này không

đúng trong trường hợp tổng quát Mục tiêu của tiết này là tìm điều kiện củavành cơ sở R để tồn tại một đối địa phương hóa tương thích cho mọi môđun

Hmi (M )

Với mỗi iđêan nguyên tố p của R, địa phương hóa tại p là một hàm tửkhớp, tuyến tính từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun saocho Mp là Rp-môđun Noether và Mp 6= 0 với mọi p ⊇ AnnRM Hàm tử này

đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun Noether Tuy nhiên, đối với

R-môđun Artin A, nếu p 6= m thì Ap = 0, do đó Supp(A) ⊆ {m} Như vậy,hàm tử địa phương hóa không hữu hiệu trong việc nghiên cứu môđun Artin.Vì thế chúng ta cần xây dựng với mỗi p ∈ Spec(R) một hàm tử "đối địaphương hóa" Fp : MR → MRp sao cho Fp tương thích với mọi R-môđunArtin A, nghĩa là Fp có các tính chất sau:

(a) Fp là tuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin;

(b) Fp biến các R-môđun Artin thành các Rp-môđun Artin;

(c) Fp(A) 6= 0 nếu p ⊇ AnnRA với mỗi R-môđun Artin A

Một số tác giả đã xây dựng đối địa phương hóa Fp, với mỗi p ∈ Spec(R)

Tuy nhiên không một đối địa phương hóa nào thỏa mãn cả ba tính chất (a),(b), (c) ở trên Trong tiết này, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần để tồn tại

đối địa phương thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) và từ đó cho thấy một đối

địa phương hóa như thế nhìn chung không tồn tại Trước hết chúng tôi trìnhbày một số bổ đề chuẩn bị cho chứng minh kết quả chính

Bổ đề 2.3.1 Nếu p ∈ AttRA thì AnnR(0 :A p) = p

Bổ đề 2.3.3 Cho A = A1 + + An là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của

A, trong đó Ai là pi-thứ cấp Cho r là số nguyên sao cho 0 < r < n Đặt

B = A1 + + Ar Khi đó

AttR(A/B) = {pr+1, , pn}

Với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M và p ∈ Spec(R), ta đã biết tính chất

p 6⊇ AnnRM khi và chỉ khi Mp = 0 Nếu Fp là một hàm tử đối địa phươnghóa tuyến tính của môđun Artin thì ta cũng có một tính chất tương tự nhưsau

Bổ đề 2.3.4 Cho p ∈ Spec(R) Giả sử rằng p 6⊇ AnnRA Khi đó Fp(A) = 0với mỗi hàm tử tuyến tính Fp : MR → MRp

Bổ đề 2.3.6 Cho p ∈ Spec(R) Giả sử Fp : MR → MRp là một hàm tửtuyến tính và khớp trên phạm trù các R-môđun Artin Cho A là R-môđunArtin sao cho Fp(A) là Rp-môđun Artin khác 0 Khi đó AnnR(0 :A p) = p.Theo N T Cường và L T Nhàn, với mỗi R-môđun Artin A ta cóN-dimRA ≤ dim(R/ AnnRA) Hơn nữa, tồn tại R-môđun Artin A sao choN-dimRA < dim(R/ AnnRA) Mệnh đề sau đây đưa ra một số đặc trưng

để đẳng thức xảy ra, trong đó chú ý rằng mệnh đề tương đương giữa (i) và(iii) đã được chứng minh bởi H Zăoschinger

Mệnh đề 2.3.7 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) dim(R/ AnnRA) = N-dimRA với mỗi R-môđun Artin A;

(ii) dim(R/ AnnRA) = N-dimRAvới mỗi môđun đối đồng điều địa phương

cấp cao nhất A = Hk

m b R( bR/P), trong đó P ∈ Spec(R)b và k = dim(R/P)b ;(iii) dim(R/P) = dim(R/(P ∩ R))b với mọi P ∈ Spec(R)b

Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần để tồn tại một đối địa phương hóatương thích với mọi môđun Artin (nghĩa là thỏa mãn các tính chất (a), (b),(c) đã nói đến ở trên)

Định lý 2.3.8 Giả sử rằng tồn tại, với mỗi p ∈ Spec(R), một hàm tử

Fp : MR → MRp thỏa mãn các tính chất (a), (b), (c) Khi đó ánh xạ tựnhiên R → Rb thỏa mãn tính chất đi lên Đặc biệt, mọi thớ hình thức của R

m(M ) thỏa mãn tính bão hòanguyên tố thì N-dimR(Hmi(M )) = dim(R/ AnnRHmi(M )), nghĩa là tínhbão hòa nguyên tố mạnh hơn, suy ra được đẳng thức về chiều Kết quả sau

đây không những đưa ra một vài đặc trưng để đẳng thức N-dimR(Hmi (M )) =dim(R/ AnnRHmi (M ))đúng với mọi môđun đối đồng điều địa phương Artin

Hmi (M )mà còn cho thấy khi đẳng thức về chiều này thỏa mãn cho mọi môđun

M, tại mọi cấp i thì nó tương đương với tính bão hòa nguyên tố

Bổ đề 2.3.10 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) dim(R/ AnnRHmi(M )) = N-dimR(Hmi (M )) với mọi số nguyên i vàvới mọi R-môđun hữu hạn sinh M;

(ii) Hi

m(M )thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố với mọi số nguyên i, với mọi

R-môđun hữu hạn sinh M;

(iii) Vành R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Macaulay

Cohen-Với mỗi p ∈ Spec(R), cho Fp là đối địa phương hóa định nghĩa bởi A S

Richardson Nếu vành cơ sở R là đầy đủ thì từ đối ngẫu địa phương suy ra

Fp(Hmi (M )) = HpRi−dim(R/p)

p (Mp) Với giả thiết vành R là catenary phổ dụng

và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay, M Brodmann và R Y Sharp đãxem vai trò của Rp-môđun Hi−dim(R/p)

pRp (Mp) như là "đối địa phương hóa" củamôđun đối đồng điều địa phương Artin Hi

m(M ) nhằm xây dựng thành côngcông thức liên kết cho số bội của Hi

m(M ) Vì thế vấn đề ở đây là tìm điềukiện để tồn tại một đối địa phương hóa tương thích với mọi môđun đối đồng

điều địa phương Artin Hi

m(M ) Trong phần này chúng tôi đưa ra điều kiệncần để tồn tại một đối địa phương hóa như vậy cho Hi

Kết luận chương II

Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả sau đây:

- Đặc trưng vành cơ sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kếtqua đầy đủ thỏa mãn với mọi R-môđun Artin

- Chứng minh công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hi

m(M )qua đầy đủ khi vành cơ sở là thương của vành Gorenstein

- Đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng với các thớ hìnhthức Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa các tập AttRbHmi(M ) vàAttRHmi(M ); mối quan hệ giữa Psuppi(M ) và Psuppi( cM )

- Chỉ ra một điều kiện cần trên vành cơ sở R để tồn tại đối địa phươnghóa tương thích với mọi R-môđun Artin

- Đưa ra một tiêu chuẩn của vành cơ sở để tồn tại đối địa phương hóatương thích với mọi môđun đối đồng điều địa phương Hi

m(M )

Chương 3

Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

với giá tùy ý

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phươngvới iđêan cực đại duy nhất m, M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d

và A là R-môđun Artin Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập cáciđêan nguyên tố của R chứa I Kí hiệu Rb và Mc lần lượt là đầy đủ m-adiccủa R và M

Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều cấp cao nhất vớigiá cực đại Hd

m(M ) trên R và Rb đã được I G Macdonald và R Y Sharpmô tả rõ ràng Từ Định lý triệt tiêu Lichtenbaum-Hartshorne, R Y Sharptiếp tục mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hdim R

I(M ), chúng tôi đặc trưng tính bão hòanguyên tố cho môđun này thông qua tính catenary của vành rồi chuyển nó

về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại của mộtmôđun thương của M

3.1 Tính bão hòa nguyên tố

Theo N T Cường và L T Nhàn, một R-môđun A thỏa mãn tính bão hòanguyên tố nếu AnnR(0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnRA.Khi

R là vành đầy đủ, mọi môđun đối đồng điều địa phương Artin đều thỏa mãntính bão hòa nguyên tố Tuy nhiên, nhìn chung các môđun đối đồng điều địaphương Artin không có tính chất này Tính bão hòa nguyên tố đã được đặctrưng cho các môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Trong tiếtnày, chúng tôi tiếp tục đặc trưng tính bão hòa nguyên tố cho lớp môđun đối

đồng điều địa phương Artin cấp cao nhất ứng với giá bất kì Hd

I(M )thông quatính catenary của vành rồi chuyển nó về môđun đối đồng điều địa phươngcấp cao nhất với giá cực đại của một môđun thương của M Trước hết, chúngtôi đưa ra một số kí hiệu liên quan đến phân tích nguyên sơ của môđun con

0 của M Kí hiệu này được sử dụng trong toàn bộ Chương 3

Kí hiệu 3.1.1 Cho 0 = \

p∈Ass R M

N (p) là một phân tích nguyên sơ thu gọncủa môđun con 0 của M Kí hiệu

AssR(I, M ) = p ∈ AssRM | dim(R/p) = d,pI + p = m

Đặt N = \

p∈Ass R (I,M )

N (p) Vì mỗi phần tử của AssR(I, M ) đều là iđêannguyên tố liên kết tối thiểu của M nên R-môđun N không phụ thuộc vào sựlựa chọn phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0

Sau đây là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địaphương Hd

I(M ) trong mối liên hệ với tính catenary của vành cơ sở và tậpcác iđêan nguyên tố gắn kết của Hd

I(M )

Định lý 3.1.2 Cho R-môđun N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1 Khi đócác mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(ii) R/ AnnRHId(M ) là vành catenary và √I + p = m với mọi iđêannguyên tố gắn kết p của Hd

về mối liên hệ giữa tập AssR(I, M ) và AttRHId(M )

Hệ quả 3.2.1 Cho AssR(I, M ) như trong Kí hiệu 3.1.1 Khi đó ta có

(i) AssR(I, M ) ⊆ AttRHId(M ) Đặc biệt, nếu AssR(I, M ) 6= ∅ thì

HId(M ) 6= 0

(ii) Giả sử rằng AssR(I, M ) = ∅ Khi đó Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòanguyên tố khi và chỉ khi Hd

I(M ) = 0

Hệ quả sau đây là kết quả chính của tiết này

Hệ quả 3.2.2 Nếu Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố thì

AttRHId(M ) = p ∈ AssRM | dim(R/p) = d,pI + p = m

Mệnh đề 3.2.3 Cho AssR(I, M ) được xác định như trong Kí hiệu 3.1.1 Khi

3.3 Đối giá và số bội

Cho p ∈ Spec(R) K E Smith đã nghiên cứu hàm tử "đối ngẫu với địaphương hóa"

Fp(−) = HomR HomR(−, E(R/m)), E(R/p)

từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các Rp-môđun, trong đó E(−) làbao nội xạ

Mệnh đề 3.3.1 Cho p ∈ Spec(R) và Fp(−) là hàm tử đối ngẫu với địaphương hóa ở trên Cho N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1 Giả sử rằng R

là đầy đủ Khi đó

Fp(HId(M )) ∼= HpRd−dim(R/p)p (M/N )p.Mệnh đề 3.3.1 gợi ý chúng tôi đưa ra khái niệm tập đối giá của môđun đối

đồng điều địa phương Hd

I(M ) như sau

Định nghĩa 3.3.2 Cho N xác định như trong Kí hiệu 3.1.1 Tập đối giá của

HId(M ), kí hiệu là CosR(HId(M )), được cho bởi công thức

CosR(HId(M )) =p ∈ Spec(R) | HpRd−dim(R/p)

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố;

(ii) CosR(HId(M )) = Var(AnnRHId(M ))

Định lý 3.3.5 cho ta thấy nếu Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tốthì đối giá của nó là một tập con đóng của Spec(R) trong tôpô Zariski.Theo D Kirby, nếu q là iđêan của R sao cho (0 :A q) có độ dài hữu hạnthì `(0 :A qn+1) là một đa thức bậc N-dimRA với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn

Ta kí hiệu đa thức này là Θq

A(n) Đặt N-dim A = s Ta có biểu diễn

ΘqA(n) = `(0 :A qn+1) = e

0(q, A)s! n

s+ đa thức có bậc nhỏ hơn skhi n  0, trong đó e0(q, A) là một số nguyên dương Ta gọi e0(q, A) là sốbội của A ứng với q Năm 2002, M Brodmann và R Y Sharp đã giới thiệukhái niệm tập giả giá Psuppi

R(M ) và giả chiều thứ i, kí hiệu là psdi

(M ), đểxây dựng thành công công thức bội liên kết cho môđun Hi

Hệ quả 3.3.8 Giả sử q là iđêan m-nguyên sơ Cho AssR(I, M ) và N xác

định như trong Kí hiệu 3.1.1 Nếu Hd

I(M ) thỏa mãn tính bão hòa nguyên tốthì

e0(q, HId(M )) = X

p∈Cos H d

I (M ) dim(R/p)=d

Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã thu được các kết quả sau đây:

- Đưa ra một số đặc trưng về tính bão hòa nguyên tố cho môđun đối đồng

điều địa phương cấp cao nhất với giá tùy ý thông qua tính catenary của vànhcơ sở, tính chất của tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hd

I(M ) và mối liên hệvới môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại

- Mô tả được tập iđêan nguyên tố gắn kết của Hd

I(M ) khi môđun Artinnày thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố

- Đưa ra khái niệm tập đối giá cho môđun đối đồng điều địa phương cấpcao nhất với giá tùy ý và đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của Hd

I(M )thôngqua tập đối giá này

- Thông qua tập đối giá để mô tả thành công công thức bội liên kết chomôđun Hd

I(M ) khi môđun Artin này thỏa mãn tính bão hòa nguyên tố

Kết luận và kiến nghị

1 Kết luận

Trong luận án này, chúng tôi đã thu được một số kết quả về tập iđêannguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp tùy ý với giácực đại và môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kì

Đối với môđun đối đồng điều đại phương cấp tùy ý với giá cực đại, chúngtôi chứng minh công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđunnày qua đầy đủ khi R là thương của vành Gorenstein địa phương (Mệnh đề2.1.7), đồng thời đặc trưng vành catenary phổ dụng với mọi thớ hình thức làCohen-Macaulay thông qua công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kếtnày (Định lý 2.2.5) Chúng tôi còn đưa ra một điều kiện cần của vành cơ

sở cho sự tồn tại hàm tử đối địa phương hóa tương thích với mọi môđun đối

đồng điều đại phương với giá cực đại (Định lý 2.3.11)

Đối với môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan bấtkì, chúng tôi mô tả tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun này bằng cách

đặc trưng tính bão hòa nguyên tố thông qua tính catenary của vành cơ sởrồi chuyển về trường hợp môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại(Định lý 3.1.2) Chúng tôi còn đặc trưng tính bão hòa nguyên tố thông quakhái niệm tập đối giá (Định lý 3.3.5), từ đó xây dựng công thức bội liên kếtcho môđun này (Hệ quả 3.3.8)

Để làm sáng tỏ các kết quả trong toàn luận án, chúng tôi đưa ra các ví dụminh họa

2 Kiến nghị

Trong thời gian tới, chúng tôi dự kiến sẽ nghiên cứu các vấn đề sau:

- Đưa ra một số lớp vành không đầy đủ để tồn tại một hàm tử đối địa

phương hóa tương thích với mọi môđun đối đồng điều địa phương cấp bất kìvới giá cực đại.

- Mở rộng các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết, tính bão hòa nguyên

tố, đối giá và số bội của môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêantùy ý tại cấp cao nhất sang môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêantùy ý tại một số cấp thấp hơn

- Khai thác kĩ thuật giả giá và phân tích nguyên sơ trong nghiên cứu cấutrúc của các môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương

1 L T Nhan and T D M Chau (2012), On the top local cohomologymodules, J Algebra, 349, 342-352.

2 L T Nhan and T D M Chau (2014), Noetherian dimension and localization of Artinian modules over local rings, Algebra Colloquium,(4)21, 663-670

co-3 T D M Chau and L T Nhan (2014), Attached primes of local cohomologymodules and structure of Noetherian local rings, J Algebra, 403, 459-469

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại

- Xemina Đại số - Đại học Thái Nguyên

- Xemina của Tổ Đại số - Khoa Toán - Trường Đại học Sư Phạm Huế

- Hội thảo phối hợp Nhật Bản - Việt Nam lần thứ 7 về Đại số giao hoán, QuyNhơn, 12/2011

- Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 08/2012

- Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, 08/2013