Ứng dụng của đạo hàm

Trong phạm vi bài giảng này tôi muốn bàn về một phương pháp để giải quyết các bài toán về phương trình,bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình,...khi mà các phương pháp

Việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bằng cácphương pháp như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học, khá quen thuộc đối với cácbạn chuẩn bị thi vào đại học Tuy nhiên đối mặt với một bài toán dạng này các bạn ít nhiều còn lúng túng, chưatìm được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng lại không đưa ra được kết quả cuối cùng!

Trong phạm vi bài giảng này tôi muốn bàn về một phương pháp để giải quyết các bài toán về phương trình,bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình, khi mà các phương pháp nêu trên gặp khó khănhoặc bế tắc! Đó là "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số"

Tính chất 1: Giả sử hàm số liên tục và đơn điệu trên tập thì phương trình có nhiều nhất mộtnghiệm thuộc

Tính chất 2: Nếu phương trình có một nghiệm trên tập thì phương trình có nhiềunhất hai nghiệm trên

Tính chất 3: Nếu liên tục, đồng biến trên và liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên thìphương trình có nhiều nhất một nghiệm trên

Tính chất 4: Nếu hàm số liên tục và đơn điệu trên thì với ta có: Tính chất 5: Nếu đơn điệu trên thì là nghiệm của hệ phương trình:

Tính chất 6: đồng biến trên thì

nghịch biến trên thì với mọi

Chỉ cần nắm được định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến các bạn dễ dàng suy ra tính chất 1, 2, 3, 4

và 6 Riêng tính chất 5 SGK không đề cập, do đó mỗi khi sử dụng kết quả này các bạn phải chứng minh lại Tôi

sẽ nói chi tiết hơn và đồng thời chứng minh tính chất này trong Ví dụ 2.2 của Vấn đề 2!

Vấn đề 1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Ví dụ 1.1 Giải các phương trình sau:

a)

b)

Nhận định: Đối với câu 1, có thể bạn nghĩ đến việc biến đổi tương đương hoặc sẽ bình phương, tuy nhiên

bạn sẽ gặp khó trong biến đổi Câu 2, các phương pháp "truyền thống" không khả thi

Nếu bạn chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm số đồng biến (trên một tậpnào đó) Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải quyết bài toán đã nảy ra trong đầu bạn Vấn đề còn lại là đoánnghiệm! Công việc này không khó, nhưng nếu bạn cứ thử từng số thì sẽ mất thời gian Hãy ưu tiên những giá trịcủa sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương!

f(x) (a, b) f(u) < f(v) ⇔ u < v

f(x) (a, b) f(u)v u, v ∈ (a, b)

+ = 1 4x − 1

[ ; +∞) 1 2

(−∞; ] 5

Do đó, nếu đặt và thì phương trình đã cho trở thành:

Đến đây, ta chỉ việc xét một hàm số có dạng và vận dụng tính chất 4, bài toán được giảiquyết!

$$f(u) = f(v) & \Leftrightarrow u = v$$

Kết luận: Nghiệm của phương trình là: và

Vấn đề 2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 2.1 Giải các bất phương trình sau:

a)

b)

c)

Nhận định: Câu 1, bạn hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp bình phương hoặc biến đổi tương đương để

giải Tuy nhiên, tôi muốn hướng bạn đến việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết, tuy nhiên đoánđược một nghiệm của phương trình này mất khá nhiều thời gian (bạn chú ý chọn những số sao cho biểu thứcdưới dấu căn là số chính phương)

Câu 2, có thể đặt ẩn phụ, nhưng biến đổi khá rối Bài toán đơn giản nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số.Câu 3, khá phức tạp và cũng có thể đặt ẩn phụ Song nếu quan sát kỹ thì thấy có mối quan hệ tương tự như Ví

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho phải thỏa mãn:

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:

b) Điều kiện:

nên nó nghịch biến trên Hơn nữa

= 3x − 2 + + 15

f(x) (x) = + > 0, ∀x ∈ (− : +∞)

f′ 1

2 x + 5 √ − − −−−

1 2x + 3

⎧

⎩

⎨ x ⩾ − 3 2 f(x) < f(11)

2x − 1

− −−− −

√ f(x) ( ; ] 1 2 3 2 (x) = − − − 2 < 0, ∀x ∈ ( ; )

− −−− −

√

1 2

3

1 2

3 2 f(1) = 6

Do đó, tập nghiệm của phương trình phải thỏa mãn:

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:

Kết hợp với điều kiện ta có:

Kết luận: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là:

Bài tập 2.1 Giải các bất phương trình sau:

Nhận định: Hệ thứ nhất biến đổi và chọn xét một hàm số đặc trưng.

Hệ thứ hai có dạng hoán vị vòng quanh:

Giả sử và cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến) trên miền thì khi đó, nếu là

x ⩾ 1

3 2

f g D ( , , , ) x1 x2 xn

= = =

x1 x2 xn

a) Ta có

Khi đó là hàm sơ cấp nên liên tục trên TXĐ của nó, hơn nữa đạo hàm

nên tăng trên

Do đó

Hệ đã cho tương đương với hệ:

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất:

b) Xét hàm số đặc trưng

Khi đó hệ đã cho trở thành:

Vậy là hàm số đồng biến trên

(Chứng minh tính chất 5 bắt đầu từ đoạn này!)

Giải sử là một nghiệm của hệ vậy thì chúng phải thỏa mãn hệ (*)!

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

(Kết thúc chứng minh tính chất 5)

Thay vào hệ đã cho, ta có:

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất là:

Chú ý: Khi thay trở lại hệ ta thu được một phương trình bậc 3 với ẩn và việc giải phương trình đókhá dễ dàng Tuy nhiên, khi giải phương trình này gặp khó khăn thì các bạn nhớ đặt hàm, khảo sát, đoánnghiệm và khẳng định phương trình có nghiệm duy nhất như đã trình bày ở Vấn đề 1

Các bạn có thể xem Bài tập 2.2 câu d)!

Bài tập 2.2 Giải các hệ phương trình sau:

x, y ∈ (0; π)

2π 13

x = y = 2π13f(t) = + + t − 2 t3 t2

c)

d)

e) (D-2006) Chứng minh rằng với mọi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Vấn đề 3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

Như các bạn đã biết ,tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc vào đạo hàm của hàm số đó.Dùng đạo hàm,ta có thểxét được tính đồng biến và nghịch biến của 1 hàm số trên 1 miền nào đó,do đó chúng có thể ứng dụng để chứngminh khá nhiều Bất đẳng thức(BĐT).Ta xét phương pháp cụ thể như sau:

Xét hàm số trên đoạn

phương trình chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm,tức là phương trình này chỉ có hữu hạn nghiệm màthôi.Lưu ý trên đặc biệt quan trọng khi ta xét đến các hàm số lượng giác.Điều này cũng dễ hiểu bởi khi ta đềcập đến “nghiệm” của 1 phương trình lượng giác,ta chỉ sử dụng khái niệm “tập nghiệm” để biểu diễn các giá trịthỏa mãn phương trình lượng giác cho trước.Nói một cách nôm na,phương trình lượng giác luôn có vô hạnnghiệm.Do đó khi ta muốn chứng minh các BĐT liên quan đến các hàm lượng giác phức tạp,ta phải sử dụngđến phương pháp đại số hóa,vấn đề đó sẽ được trình bày trong chuyên đề lượng giác

Xét hàm số

Đạo hàm:

Hàm số nghịch biến trên Nên:

Bài dưới làm tương tự

Nếu bạn nào đã từng tìm hiểu sâu về BĐT này thì có thể thấy ngay nó chỉ là hệ quả của định nghĩa chuỗi cho :

Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta đều có:

2

π 2

Định hướng giải: Ta phải để ý đến giả thuyết là 3 góc tam giác nên ta có thể thay

,như vậy cả 2 vế của BĐT đều xuất hiện các số hạng chứa A,B,C, nên ta có thể nhóm BĐT về

2(sin A + sin B + sin C) + (tan A + tan B + tan C) > 3π

1 x cos2

x cos2 cos x cos x 1

x cos2

Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng với

Định hướng giải: Nếu ta trực tiếp khảo sát hàm số

Thì ta không thể nào nhận xét được dấu của ,hon nua ta áp dụng thủ thuật đạo hàm lien tiếp thì cũngkhông giúp ta đi đến đâu.Vậy ta phải làm sao ?

Bây giờ ta để ý thấy rằng các số hạng của 2 vế BĐT đều có chung 1 cơ số 2,do đó ta sẽ nghĩ ngay đến đưaBĐT này về dạng bất phương trình mũ.Nhưng phải làm sao để có thể gộp 2 số mũ lại với nhau ?

Ta nhớ đến công thức :

.Như vậy chỉ cần ta có thể “biến” tổng 2 số hạng bên vế trái(VT) của BĐT về dạng tíchthì ta đã có thể giải quyết bài toán,ta phải làm gì để giải quyết điều này ?May thay BĐT Cauchy sẽ giúp ta vượtqua vấn đề đó

Lời giải:

Sử dụng BĐT Cauchy 2 số,ta có:

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:

BĐT này đã được chứng minh trong ví dụ 3 nên ta giải quyết xong bài toán

Ví dụ 3.5 Chứng minh rằng: (1), với mọi

f′

2 sin x; tan x = (a > 0)

Từ bảng biến thiên suy ra

Ví dụ 3.6 Chứng minh rằng với mọi số thực , ta đều có:

Lời giải Với , bất đẳng thức (1) tương đương với:

Ta thấy hàm liên tục trên và có:

$$f'(x) &= \frac{1}{x} - x^{ - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(x - 1){x^{ - \frac{3}{2}}}= \frac{2\sqrt x - x - 1}{2x\sqrt x }: =

\frac{g(x)}{2x\sqrt x }$$

Do đó hàm nghịch biến trên và suy ra

Từ đó ta có nên hàm số nghịch biến trên và

Lời giải Xét hàm số trên khoảng

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

Mặt khác ta có

\begin{align*}

\frac{{\left| a \right| + \left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} &= \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right| +

\left| b \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}}\\

& \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad (2)

\end{align*}

Từ (1) và (2) ta có

Ví dụ 3.8 Cho hai số thực sao cho $0<a<b

Nhận định: Nếu sử dụng tính đơn điệu để giải thì bạn phải xác định cho được hàm số cần xét là hàm nào? Ở

đây để ý rằng cho nên và , do đó có thể biến đổi bất đẳng thức đã cho

để chứng minh bất đẳng thức dạng:

Lời giải

Xét hàm số thì bài toán trở thành:

"Cho sao cho Hãy chứng minh rằng: "

Như vậy theo định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số ta chỉ cần chứng minh đồng biến trên

b a

b a

tan b b

tan a a

x2cos2

Dấu của là dấu của hàm trên Ta lại có:

Ví dụ 3.9 Chứng minh rằng nếu thì:

Lời giải

Do nên đều là các số dương Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

2sin x 2tan x √ − 2 −−−−−sin x+tan x−

⇔ 2sin x+ 2tan x ⩾ 2sin x+tan x+22

f(x) > 0, ∀x ∈ (0; ) π

2

(x) = cos x + − 2 > cos x + − 2, ∀x ∈ (0; )

x cos2

1 cos x

π 2

x − y

ln x − ln y

b ⩾ e

ab

Bài tập 3.5 (D-2007) Chứng minh:

Vấn đề 4 Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận phương trình và bất phương trình

Bài toán về biện luận số nghiệm, có nghiệm trên một tập hợp cho trước là bài toán mà hầu như trong đề thinăm nào cũng có Ngoài việc yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ sở, bài toán còn đòi hỏi óc tư duy,sáng tạo Đối với dạng toán này cũng có nhiều phương án giải quyết, trong đó phương án sử dụng tính đơn điệucủa hàm số sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo và được đánh giá rất cao!

Ví dụ 4.1 Cho hàm số

a) Tìm để phương trình: có nghiệm

b) Tìm để bất phương trình: nghiệm đúng

c) Tìm để bất phương trình: có nghiệm

Nhận định: Một cách rất tự nhiên, khi biện luận phương trình hoặc bất phương trình có chứa tham số thì việc

đầu tiên cần làm là cố gắng đưa tham số về một vế độc lập Sau đó sử dụng các tính chất đơn điệu của hàm số

mà bạn đã biết Để tiện đối sánh, tôi xin nhắc lại một số "hằng đẳng thức" sau:

a) Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đồ thị b) Nghiệm của bất phương trình là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm

ở phía trên so với phần đồ thị

c) Nghiệm của bất phương trình là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm

ở phía dưới so với phần đồ thị

d) Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị e) Bất phương trình đúng với

Đặt

Để có nghiệm thì phải lớn hơn hoặc bằng GTNN và nhỏ hơn hoặc bằng GTLN của hàm trên đoạn (Xem "hằng đẳng thức" (d) và hình 1), tức là:

Bây giờ xét hàm trên tương tự như ở vấn đề 1, cụ thể như sau:

nên là hàm nghịch biến trên

Do đó,

$$ \mathop {min }\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(2) = \frac{3}{8}\\ \mathop {Max}\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(1) = 1$$Kết luận: Giá trị thỏa mãn bài toán là:

$$f(x) \leqslant 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx - 3 \leqslant 0\\ \Leftrightarrow m(x^2+2x) \leqslant

3\\ \Leftrightarrow g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4]$$

$$\text{bất phương trình đã cho } \Leftrightarrow g(x) \leqslant m \text{ có nghiệm } x \in (0;3] \Leftrightarrow

\mathop {min}\limits_{x \in (0;3]} g(x) \leqslant m $$

+ 2x

x2

3 (x + 1 − 1 )2

Do nghịch biến trên nên

$$ \text{bất phương trình đã cho }\Leftrightarrow g(x) \geqslant m \text{ có nghiệm }x \in [-1;0)\\ \Leftrightarrow

\mathop {Max}\limits_{x \in [-1;0)} g(x) \geqslant m $$

Kết hợp các trường hợp ta đi đến kết luận:

Ví dụ sau đây tương tự như câu 1 của Ví dụ 4.2, cung cấp cho các bạn một kỹ thuật khi gặp khó khăn trongviệc khẳng định tính đơn điệu của một hàm số bằng công cụ đạo hàm

Lời giải

Điều kiện:

Biến đổi phương trình đã cho và đặt hàm như sau:

Việc tính đạo hàm là khá phức tạp, tuy nhiên ta dễ suy ra và là hàm tăng trên TXĐ, còn

và là hàm giảm (tức là và là hàm tăng) trên TXĐ

Suy ra là một hàm số tăng trên đoạn

− −−− −

√ +

5 − x

− − −−−

√ √ − − 4 − x −−−

u(x) v(x

v(x) f(x) = u(x)

Có thể đặt ẩn phụ thì , với

Đó là một hàm số bậc hai, việc khảo sát không có gì khó khăn!\par

Lập bảng biến thiên cho hàm như sau:

Nhìn vào bảng biến thiên dễ dàng suy ra giá trị của cần tìm là:

Ghi chú:

a) Đối với ẩn phụ ở trên, các bạn buộc phải tìm miền giá trị của nó, chớ có để sót bước này

b)Bài toán này ở đề thi khối A-2007 và còn một số cách giải khác, các bạn tự tìm hiểu thêm!

Khi đó (1) đúng với khi và chỉ khi $g(t)

Dễ thấy là hàm nghịch biến trên , theo "hằng đẳng thức" (f) thì

m > 1

Ví dụ 4.5 Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{gathered} x+\frac{1}{x}+y+ \frac{1}{y}=5 \\ x^3+ \frac{1}{x^3}+y^3+ \frac{1}{y^3} = 15m-10 \\ \end{gathered} \right \quad \,(1)$

Nhận định: Đây là hệ đối xứng loại I, nếu đề bài yêu cầu giải hệ thì bài toán đơn giản, song ở đây xuất hiện

và yêu cầu tìm giá trị để hệ có nghiệm Nhiều bạn sẽ chọn cách đặt ẩn phụ và cố gắng biến đổi sao cho

sử dụng được Định lý Viète rồi biện luận theo

Lời giải sau cũng đi theo hướng đó nhưng bước cuối cùng lại rẽ sang hướng khác!

$$ x^3+ \frac{1}{x^3} = {(x + \frac{1}{x})^3} - 3x^2.\frac{1}{x} - 3x.({\frac{1}{x}})^2$$

$$ = {({x + \frac{1}{x}})^3} - 3( {x + \frac{1}{x}})\\ = {u^3} - 3u$$

Tương tự,

Thay vào hệ (1):

\[\left\{ \begin{gathered} u + v = 5 \\ {u^3} + {v^3} - 3\left( {u + v} \right) = 15m - 10 \\ \end{gathered} \right

\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 5 \\ uv = 8 - m \\\end{gathered} \right.\]

Suy ra phải là nghiệm của phương trình bậc hai

Như vậy, hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình

Bây giờ công việc còn lại là khảo sát hàm số trên tập

Ta sẽ nhìn thấy kết quả của việc khảo sát hàm qua bảng biến thiên sau:

Kết luận: Hệ (1) có nghiệm hoặc

Bài tập 4.1 Tìm để bất phương trình: nghiệm đúng

nghiệm phân biệt

phân biệt

Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn

sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số Cụ thể

− 2x − 1

3 2

5 9

1) A = lim

x→0

− 1 2x − 1

sinx 3) C = lim

x→1

− + 1

√

3 (2 − x) √3 − −−−−− − 2

2 3

f(x) − f(1)

f(x) − f(1)

x − 1 g(x) − g(1)

x − 1

(1)

f ′ (1)

f(x) − f(0)

x g(x) − g(0)

x

(0)

f ′ (0)

f(x) − f(1)

x − 1 g(x) − g(1)

x − 1

(1)

f ′ (1)

g ′

4 27