Ứng dụng của đạo hàm

Các kĩ năng cơ bản Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=fx trên một khoảng, một đoạn Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=fx liên tục trên khoảng a;b - Tính đạo hàm f’x.. Căn cứ vào bảng biến thiê

Trang 1

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An.

Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời gian học của chương trình, nó có mặt ở hầu hết các đề thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Vì vậy việc sử dụng đạo hàm thuần thục để giải toán là điều cần thiết đối với HS lớp 12 trung học phổ thông Bài viết này nhằm giới thiệu một số dạng toán cơ bản về ứng dụng của đạo hàm

A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ

1 Các kiến thức cơ bản

Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số

Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu :

f (x) M, x D

x D,f (x ) M

≤ ∀ ∈





Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu :

f (x) m, x D

x D,f (x ) m

≥ ∀ ∈





2 Các kĩ năng cơ bản

Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b)

- Tính đạo hàm f’(x)

- Tìm các nghiệm x 1, x 2, …, x ncủa f’(x) trên (a;b)

- Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b)

Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b)

Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]

- Tính đạo hàm f’(x)

- Tìm các nghiệm x 1, x 2, …, x ncủa f’(x) trên [a;b]

- Tính f (a), f (b), f (x ) 1 , …, f (x ) n

x [a;b]

M max f (x)

∈

Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên ⇒ m min f (x)= x [a;b]∈

3 Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN,

Trang 2

GTNN của hàm số.

Dạng 1 Khảo sát trực tiếp

Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số

đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số

Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau:

- Tính f’(x) chính xác

- Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0

- Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số

Bài 1.Tìm GTNN, GTLN của hàm số y x = + 4 x − 2

Lời giải

TXĐ D=[-2,2]

2

x y' 1

4 x

= −

x 0

4 x x

≥



 − =

Vậy

x D

max f (x) 2 2

x D

min f (x) 2

∈ =−

Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số

x +1 trên đoạn [−1;2]

Lời giải

,

3 2

- x+1

y =

Do y(-1) = 0, y(1) = 2 , y(2) =

5

3 nên

[ 1;2 ]

max y

− = y(1) = 2 , [min1 ; 2]y

Bài 3 Tìm GTNN, GTLN của hàm số

2 2

x 8x 7 y

x 1

− +

=

+ (x R)∈

Lời giải

2

2 2

8x 12x 8

y'

(x 1)

− −

=

+ ; y' 0= ⇔ x 2= ;

1 x 2

= −

Bảng biến thiên

t -∞ 1

2

− 2 + ∞

y’ + 0 - 0 +

Trang 3

y

9 1

1 -1

Vậy min yx R∈ = −1 khi x 2= ;

x R

max y 9

2

= −

y 5cos x cos5x = − với x [- ; ]

4 4

π π

∈

Lời giải

y' = − 5sin x 5sin 5x +

k x

y' 0 sin 5x sin x

k 5x x k2

x

6 3

π

 =



= + π



= ⇔ = ⇔ = π − + π⇔  π π

2

π

=

4 2 4

π π π

− ≤ ≤ ⇒ 1 k 1

− ≤ ≤ ⇒k=0⇒x=0.

6 3

π π

= +

4 6 3 4 4 6 3 4 6 12 3 12

− ≤ + ≤ ⇒ − − ≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤

x

k 1

k

k 0

x 6

π

 = −



= −



⇒ − ≤ ≤ ⇒  = ⇒   = π



y(0) 4 = ; y( ) y( ) 3 3

− = = ; y( ) y( ) 3 2

Bài 5 Tìm GTNN của y x = + 2x 2 + 1 ( x R) ∈

Lời giải

2

2x y' 1

2x 1

= +

+ ;

2

≤



+ =



x

- ∞ 1

2

− + ∞

y’ - 0 +

+ ∞ + ∞

Trang 4

y

1

2

= −

Dạng 2 Khảo sát gián tiếp

Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn , chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x) Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau:

- Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t)

- Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…)

- Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số

Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau:

- Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể qui hết về biến t

- Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán

cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp…

Bài 6 Tìm GTNN , GTLN của 8 4

S 2sin x cos 2x = + , x∈R

Lời giải

Do 2 1 cos 2x

sin x

2

−

S= 1 cos 2x 4 4

2( ) cos 2x

2

(1 cos 2x) cos 2x

Đặt t= cos2x , − ≤ ≤ 1 t 1

S g(t) (1 t) t

8

với − ≤ ≤ 1 t 1

g '(t) (1 t) 4t

2

3

=

g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g(1

3)= 1 27

Trang 5

Vậy MinS= 1

Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y= 1 sin x + + 1 cos x + ( x R) ∈

Lời giải

2

4

π

 

 ÷

Thì y2= f(t) = 2 + t+ 2 1+ t+ t -12

2 = 2 + t+ 2 t + 2 t+12

2

= 2 + t+ 2 t+1

y f (t)

2 t 2(t 1)

 + − +

= = 

+ + +

- 2 t -1 -1 t 2

≤ ≤

1 2 , ( 2 t 1)

f '(t)

1 2 , ( 1 t 2 )

 − − ≤ ≤ −

⇒ = 

+ − < ≤



Bảng biến thiên:

t −∞ − 2 1 2 +∞

f’(t) - 0 +

f(t)

4 2 2 − 4 2 2 +

1

Từ bảng biến thiên ta có

[ max f (t) 2 ; 2 ]

⇒

x R

max y 4 2 2

∈ = + ; min y 1x R

Bài 8 Tìm GTNN của biểu thức 20 20

S sin (x) cos (x) = +

Lời giải

sin x

Ta có S (sin x) = 2 10 + − (1 sin x) 2 10

Trang 6

Đặt t sin x = 2 (0 t 1) ≤ ≤ Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số

S f (t) t = = + − (1 t) với t [0;1] ∈

f '(t) 10t = − 10(1 t) −

f '(t) 0 = ⇔ = − t (1 t) ⇔ t 1

2

=

1 1

f (0) 1; f ( ) ; f (1) 1

2 512

512

= ; MaxS 1 =

Bài luyện tập 1 Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau:

2012 2012

S sin = (x) cos + (x)

Bài 9 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

S = x 4 + + 4 x 4 (x 4)(4 x) 5 − − + − +

Lời giải

Đặt t = x 4 + + 4 x − ⇒ = + + − + t 2 x 4 4 x 2 (x 4)(4 x) + −

2

t 8 (x 4)(4 x)

2

−

Ta có

2

t 8

S t 4( ) 5 2t t 21

2

−

= − + = − + +

Tìm điều của t:

2 x 4 2 4 x

+ − ; g '(x) 0= ⇔x=0 g( 4) 2 2; g(0) 4; g(4) 2 2 − = = =

⇒

x [ 4;4]

min g(x) 2 2

x [ 4;4]

max g(x) 4

∈ − = ⇒ t [2 2;4]∈ S' = − + < ∀ ∈ 4t 1 0 t [2 2;4] ⇒ S là hàm nghịch biến trên [2 2;4]

MinS S(4) = = − 7 ; MaxS S(2 2) 5 2 2 = = +

Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:

S = x 1 + + 8 x 4 (x 1)(8 x) 5 − − + − + với x [ 1;8] ∈ −

Bài 10 Tìm GTNN, GTLN của S sin = 2010 (x).cos 2011 (x) với x [0; ]

2 π

∈

Trang 7

Lời giải

Nhận xét:

2

π

∈

sin x hoặc 2

cos x)

Ta có S 2 = sin 4020 (x).cos 4022 (x)

(sin x) (1 sin x) −

Đặt t sin x = 2 (0≤t≤1) Khi đó S 2 = f (t) t = 2010 (1 t) − 2011

2009 2011 2010 2010

f '(t) 2010t = (1 t) − − 2011.t (1 t) −

2009 2010

f '(t) t = (1 t) − [2010 4021t] −

t 0

f '(t) 0 t 1

2010 t

4021



 =



= ⇔ =



=





f (0) 0 ;f (1) 0 = = ; f (2010) (2010)2010.(2011)4021 2011

4021 = (4021) Vậy Min S =0 ;

2010 2011 4021

(2010) (2011) MaxS

(4021)

=

Bài luyện tập Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

15 20

S sin x.cos x = với x [0; ]

2

π

∈

Bài 11 Tìm GTNN, GTLN của hàm số :

y sin x cos x 2cos 4x sin 2x 5 = + + + − , với x ∈R

Lời giải

sin x cos x 1 sin 2x

4

cos 4x 1 2sin 2x = − 2

Do đó ta đưa y về hết sin2x

1 sin 2x

4

1 2sin 2x − )+sin2x-5

Trang 8

19 2

y sin 2x sin 2x 2

4

Đặt t sin 2x = ( 1 t 1) − ≤ ≤ Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số

2

19

y t t 2

4

y' t 1 ; y ' 0 t

= − + = ⇔ =

− = − = − = −

Do đó

x R

31 min y

4

∈ = − ;

x R

37 max y

19

∈ = −

Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số :

y sin x cos x 4(sin x cos x) 2cos 2x 2 = + − + − + , với x ∈R

1

y 2(1 sin 2x.cos 4x) (cos 4x cos8x)

2

Lời giải

= + 2 sin 2x.(1 2sin 2x) (3sin 2x 4sin 2x).sin 2x − 2 − − 3

4sin 2x 4sin 2x 3sin 2x 2sin 2x 2

Đặt t sin 2x = ( 1 t 1) − ≤ ≤

Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số

y 4t = − 4t − 3t + + 2t 2 với t [ 1;1] ∈ −

2 4

= ⇔ = = − =

y( 1) 5 − = ; y( 1) 1

2

− = ; y( )1 145

4 = 64 ; y(1) 1 =

Vậy min y 1= ; max y 5 =

Bài 13 Tìm GTNN của hàm số y x(x 2)(x 4)(x 6) 5 = + + + + với x ≥ − 4

Lời giải

Ta có y (x = 2 + 6x)(x 2 + 6x 8) 5 + +

Trang 9

Đặt t x = 2 + 6x

Khi đó y t = + + 2 8t 5

g '(x) 2x 6;g '(x) 0 = + = ⇔ = − x 3

x - ∞ -4 -3 + ∞

g’(x) - 0 + g(x)

-8 + ∞

-9

Suy ra t [ 9; ∈ − +∞ )

y t = + + 8t 5 với t [ 9; ∈ − +∞ )

Ta có y' 2t 8 ; y ' 0= + = ⇔ = −t 4

t - ∞ -9 -4 + ∞

y’ - 0 + y

14 + ∞

-11

Vậy Miny=-11

Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới Sau đây là các bài toán minh họa

Bài 14 Tìm GTNN, GTLN của

2 2

x xy y

2x y

+ +

+

Lời giải

Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và

y

= .

2x 2

2 2 2 2

x x

1

y y S

x

y

+ +

=

+

Trang 10

Đặt t x

y

2t 1

+ +

=

+ 2

2 2

2t 2t 1 S'

(2t 1)

− − +

=

1 3 S' 0 2t 2t 1 0 t

2

− ±

= ⇔ + − = ⇔ =

t -∞ 1 3

2

− − 1 3

2

− + +∞

S’ - 0 + 0 - S

1

2

3

2 3 2 −

3

2 3 2 +

1 2

2 3 2 + ≤ S ≤

3

2 3 2 −

2 3 2 + khi

x 1 3

− −

2 3 2 − khi

x 1 3

− +

=

Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:

a,

2 2

x xy y

3x y

+ −

+

b,

2 2

x xy 2y

4x y

− −

+

Bài 15 Cho a.b 0 ≠ Tìm GTNN của

= + − + + +

Lời giải

b a

b a b a

= + = + ≥ ( Theo Cô Si )

⇒ 2 2 2

2 2

a b

t 2

b + a = − ⇒ 4 4 4 2

4 4

a b

t 4t 2

b + a = − +

y t = − 4t + − 2 (t − + 2) t= t 4 − 5t 2 + + t 4

y'(t) 4t = 3 − 10t 1 +

2

y''(t) 12t = − > 10 0 với mọi t≥2

Bảng biến thiên của y’(t)

t - ∞ -2 2 + ∞

y’’(t) + +

Trang 11

y’(t)

-11

- ∞

+ ∞

13

Suy ra y'(t) 0 < với ∀ ≤ − t 2 ; y'(t) 0 > với ∀ ≥ − t 2

Bảng biến thiên của f(t)

t - ∞ -2 2 + ∞

y’(t) - + y

- ∞

-2

+ ∞

2

Vậy Miny=-2 ; Maxy=2

Nhận xét

b a

ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng ( −∞ − ; 2] và [2; +∞ )

Bài 16 Cho x, y, z > 0 và x +y+z ≤1 Tìm GTNN của biểu thức

3 3 3

S x y z

x y z

= + + + + +

Lời giải

Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ”

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(x + y + z )(1 + + 1 1 ) (x y z) ≥ + + ⇒ 2 2 2 1 2

x y z (x y z)

3 + + ≥ + +

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:

3

x y z

x y z x y z xyz ( ) (x y z)

3

+ +

Vậy

2

3

(x y z) 81 S

3 (x y z)

+ +

Đặt t= x+y+z (0 t 1) < ≤

Khi đó

2 3

t 81

S f (t)

3 t

≥ = + ;

5

2t 243 2t 729

−

= − = < ∀ ∈

Trang 12

⇒ f(t) nghịch biến trên (0;1] ⇒

t (0;1]

244 minS min f (t) f (1)

3

∈

Bài 17 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của biểu thức

P sin sin sin cot cot cot

Lời giải

2 2 2 sin sin sin

2 + 2 + 2 ≤ 2

2

∈

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:

3

sin sin sin sin .sin .sin (sin sin sin )

Vậy P t 272 3 f (t)

t

≥ + − = 3

54

f '(t) 1 0

t

2

∈

t

0 3

2

f’(t) P=f(t)

+ ∞ 21

2

⇔ =

Bài 18: Cho x≥0,y ≥0 và x + y = 1 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

P = 3 + 3 2 x y

Lời giải

Do x 0, y 0 ≥ ≥ và x + y = 1 ⇒y = 1- x và 0 x 1 ≤ ≤ Ta có P = 3 + 3 2 x y = 2 x

x

3

3 +

3

P f (t) t

t

Trang 13

3

f '(t) 2t 0

t

t = 2

⇔

t

−∞ 1 3 3

2 3 +∞

f’(t) - 0 +

f(t)

4 10

3 9

3 4

y = 0







4

9

2

3 3

3

x = log

2 3

y = 1- log

2











Bài 19: Cho x 0, y 0 ≥ ≥ và x + y = 1 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

y+1 x+1

Lời giải

y+1 x+1=( )2

x+ y - 2 xy+1

2 x+ xy =2 - 2 xy

2 + xy

1 2 xy

≥



 ≥

1

0 xy

4

≤ ≤ ⇔ 0 t 1

4

≤ ≤

Khi đó P = f(t) = 2 - 2 t

2 + t với 0 t 1

4

≤ ≤

-6

f '(t) < 0

2 + t

4

 

∀ ∈    nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn









4

1

;

y = 0, x = 1



⇔ 



minP = f(

4

1 ) = 3

2 khi t =

4

2 1

Trang 14

Trong các kì thi chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn nhau Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số…

Bài 20 Cho miền D ={(x, y) |0 x 1;0 y 2} ≤ ≤ ≤ ≤

Lời giải

f (x, y) (1 x)(2 y)[2(2-y)-4(1-x)] = − −

f (x, y) g(u, v) uv(2v 4u)

⇒ = = − = 2uv 2 − 4u v 2

Coi u là ẩn , v là tham số Ta có

2

g '(u, v) = − 8uv 2v +

v

g '(u, v) 0 u

4

= ⇔ =

u

- ∞ 0 v

4 1 +∞

g '(u, v) + 0

g(u, v)

3 v 4 0 2

2v − 4v

Vì 2v 2 − 4v 2v(v 2) 0 v [0;2] = − ≤ ∀ ∈ nên g(u, v) 2v ≥ 2 − 4v 2(v 1) = − 2 − ≥ − 2 2

v 1

=



⇔  =



y 1

=



⇔  =



Bài 21 Cho hàm số f (x, y, z) xy yz zx 2xyz = + + − trên miền

D = (x, y, z) |0 x, y, z và x y z 1 ≤ + + =

Tìm GTNN, GTLN của f(x,y,z)

Trang 15

Lời giải

*) Tìm GTNN của f(x,y,z)

3

f (x, y, z) xy (x y)z 2xyz xy(1 2z) z(1 z) = + + − = − + −

2

3 2

(1 2z) z(1 z) (2z z 1)

−

F(z) (2z z 1)

4

3

∈ 2

F'(z) (6z 2z) 0 z [0; ]

−

= − − = > ∀ ∈

z - ∞ 0 1 + ∞

F’(z) +

F(z)

7

27 1

4

27

1

x y z

3

⇔ = = =

*) Tìm Min f(x,y,z)

f (x, y, z) (1 y z)y yz z(1 y z) 2(1 y z)yz = − − + + − − − − −

= − y y 2 + − z zy z − − 2 2yz 2y z 2z y + 2 + 2

G(z) z (2y 1) z(1 3y 2y ) y y = − + − + + −

2

G '(z) 2(2y 1)z 1 3y 2y

2(2y 1)z (2y 1)(y 1)

= − + − +

3

1 y

G '(z) 0 z

2

−

= ⇔ =

z

- ∞ 0 1 y

2

−

1 + ∞

G’(z) + 0

Trang 16

G(z)

1 y

G( ) 2

−

2

y y − y 2

y − − (y y ) 2y = − = y y(2y 1) 0 − ≤

2 G(z) y 0

⇒ ≥ ≥ ; G(z) 0 y 0

z 1

=



= ⇔  =



z 1

= =



⇔  =



Bài luyện tập 1: Cho x, y, z 0≥ và x+y+z=1 Tìm GTLN của biểu thức:

S xyz[x( ) y( ) z( )]

Bài luyện tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn 0 x, y, z 1 ≤ ≤

Tìm GTLN của biểu thức P 2(x = 3 + + y 3 z ) (x y y z z x) 3 − 2 + 2 + 2

Bài 22 Cho x, y, z >0 thỏa mãn x y z 4

xyz 2

+ + =



 =



( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 ) Lời giải

Đặt

1 2 3

S x y z 4

S xy yz zx

S xyz 2

= + + =



 = + +



 = =



sát f (S ) 2 để tìm GTNN, GTLN của S

*) Ta biểu diễn S 2 theo z

2 2

S xy yz zx z(4 z) 4z z

= + + = + − = − +

Trang 17

*) Ta tìm miền biến thiên của z

Do

x y 4 z

2 xy

z

+ = −





 =

 ⇒

2 8 (4 z)

z

− ≥ ⇒ − (z 2)(z 2 − 6z 4) 0 + ≥

z -∞ 3 − 5 2 3 + 5 + ∞

z-2 - - 0 + +

2

z − 6z 4 + + 0 - - 0 +

VT - + - +

Vậy z [3 ∈ − 5;2] [3 ∪ + 5; + ∞ )

2

S 4z z

z

2 '

2 (1 z)(2z 2z 2)

S 4 2z

= − − =

z

- ∞ 1 5

2

−

3 − 5 1 1 5

2 + 2 +∞

S'2 0 0 + 0

2

− 5 5 1

2

−

5 5

2

−

∈

Khi đó x 4 + y 4 + z 4 = (x 2 + y 2 + z ) 2 2 − 2(x y 2 2 + y z 2 2 + z x ) 2 2

[S 2S ] 2[(xy yz zx) 2xyz(x y z)]

[S − 2S ] − 2[S -2S S ]

Trang 18

= 2 2

[16 2S ] − − 2[S − 16]

256 64S − + 4S − 2S + 32

2S − 64S + 288=f (S ) 2

f '(S ) 4S = − 64 0 < ∀S 2 [5;5 5 1]

2

−

S 2

5 5 5 1

2

−

f’( S 2 )

f( S2)

18

383 165 5 −

Để rèn luyện kĩ năng giải các bài toán dạng trên, ta có bài toán sau:

Bài luyện tập: Cho x, y, z >0 thỏa mãn x y z 4

xyz 2

+ + =



 =



Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:

a, M x = 2 + y 2 + z 2

b, N x = 3 + + y 3 z 3

P x y xy = + + x z xz + + y z yz +

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Tìm GTNN của hàm số:

y = x 2 + + 2 x 4 (x 2)(2 x) 5 − − + − + ( x [ 2;2] ∈ − )

Bài 2 Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

2 2

x x 3 y

2x 1

− −

=

+

2 2

x xy y y

2x y

− +

=

+ (

2 2

x + y > 0 )

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,15 MB