Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp chung: - Lập bảng biến thiên của hàm số trên X - Dựa và bảng biến thiên chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X, ta tìm đượccác giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nếu

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Trần Anh Tuấn

Vĩnh Phúc, Năm 2009-2010

www.vietmaths.com

Mục lục

1.1 Tóm tắt lí thuyết 21.2 Ví dụ và bài tập 2

2.1 Tóm tắt lí thuyết 32.2 Ví dụ và bài tập 4

3.1 Tóm tắt lí thuyết 63.2 Ví dụ và bài tập 8

4.1 Tóm tắt lí thuyết 114.2 Ví dụ và bài tập 11

5.1 Tóm tắt lí thuyết 125.1.1 Một số chú ý về giới hạn hàm số 135.2 Ví dụ và bài tập 13

6.1 Tóm tắt lí thuyết 136.2 Ví dụ và bài tập 14

7.1 Tóm tắt lí thuyết 157.2 Ví dụ và bài tập 17

10.1 Tóm tắt lí thuyết 2110.2 Ví dụ và bài tập 22

www.vietmaths.com

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1.1 Tóm tắt lí thuyết

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) Ta nói:

- Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) mà

x1 < x2 thì f (x1) < f (x2)

- Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 ∈ (a; b) mà

x1 < x2 thì f (x1) > f (x2)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi là đơn điệu trên khoảng đó

2 Điều kiện đủ của tính đơn điệu

Định lý 1.1 (Định lí Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và cóđạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f(b) − f(a) = f0(c)(b − a) hay f0(c) = f(b) − f(a)

b− aĐịnh lý 1.2 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

a) Nếu f0(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó

b) Nếu f0(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó

Định lý 1.3 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) Nếu f0(x) ≥ 0 hoặc

f0(x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b), và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b)thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó

Chú ý 1 Trong các hàm số sơ cấp được học (ngoại trừ hàm hằng), ta có kết quả sau:

- y = f(x) là hàm số đồng biến trên (a; b) ⇐⇒ f0(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)

- y = f(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇐⇒ f0(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)

* Các bước xét tính đơn điệu của hàm số:

- Tìm các điểm tới hạn

- Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn

- Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số

3 Nhắc lại định lí dấu tam thức bậc hai1

1.2 Ví dụ và bài tập

1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

1 Phải nhắc lại định lí thuận và định lí đảo

www.vietmaths.com

1.3 Cho hàm số y = 2x2+ 2mx + m − 1 Tìm m để hàm số tăng trên (−1; +∞) 1.4 Cho hàm số y = x3− 3mx2+ 3(2m − 1)x + 1 Tìm m để hàm số tăng trên tập xácđịnh

1.7 Cho hàm số y = 2x2+ (1 − m)x + 1 + m

x− m Tìm m để hàm số tăng trên (1; +∞) 1.8 Cho hàm số y = 1

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì x0 là một điểm cực trị Vànếu đổi dấu từ + sang - thì x0 là điểm cực đại còn nếu đổi dấu từ - sang + thì x0 là điểmcực tiểu.

Quy tắc I

- Tìm f0(x)

- Tìm các điểm tới hạn

- Xét dấu đạo hàm

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Định lý 2.3 (Dấu hiệu II) Giả sử y = f(x) có đạo hàm tới cấp hai liên tục tại x0 và

f0(x0) = 0, f00(x0) 6= 0 thì x0 là một điểm cực trị hàm số, hơn nữa:

- Nếu f00(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

- Nếu f00(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Quy tắc II

- Tìm f0(x) Giải phương trình f0(x) = 0 Gọi xi là các nghiệm

- Tính f00(x)

- Từ dấu của f00(xi) suy ra các điểm cực trị

Chú ý 2 - Nếu f0(x0) = f00(x0) = 0 thì không thể khẳng định được x0 có là điểm cực trịhay không

- Chúng ta dùng dấu hiệu I trong trường hợp tổng quát, còn dấu hiệu II chỉ dùng khi gặpcác hàm số dễ tính đạo hàm (như hàm đa thức, hàm lượng giác)

9 là điểm cực đại

2.5 Cho hàm số y = x3− 3mx2+ 3(m2− 1)x − (m2− 1) Tìm m để hàm số đạt cực đạitại x = 1

2.6 Cho hàm số y = a sin x + 1

3sin 3x Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x =

π

3 2.7 Tìm m để hàm số dưới đây đạt cực đại và cực tiểu

www.vietmaths.com

x+ m Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.

2.9 Cho hàm số y = x3− (m − 3)x2+ (4m − 1)x − m Tìm m để hàm số đạt cực trị tạicác điểm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 <−2 < x2

2.10 Cho hàm số y = x2− x + m

x+ 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

b) Hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu

c) Cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn 1

2.15 Tìm m để hàm số sau có ba cực trị

y= x4+ 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 2.16 Cho hàm số

y= x4+ 8mx3+ 3(1 + 2m)x2− 4Tìm m để hàm số có một cực tiểu mà không có cực đại.www.vietmaths.com

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a Phương pháp chung:

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên X

- Dựa và bảng biến thiên (chú ý đến sự thay đổi giá trị của hàm số trên X), ta tìm đượccác giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên X

- Số lớn nhất trong các số trên là giá trị lớn nhất

- Số nhỏ nhất trong các số trên là giá trị nhỏ nhất

Chú ý 3 Trong trường hợp hàm số có chu kì chúng ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trênmột đoạn có độ dài bằng chu kì

3 Phương pháp sự biến thiên để giải và biện luận phương trình có tham sốPhương pháp chung để giải và biện luận phương trình có tham số bằng PP sự biếnthiên là:

Bước 1: Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t

Bước 2: Từ giả thiết bài toán biến đổi về một trong các dạng sau:

f(t) = g(m); f (t) ≥ g(m); f(t) ≤ g(m);

f(t) > g(m); f (t) < g(m)Tức là biến đổi để cô lập m về một vế, còn vế kia độc lập với m

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số f (t) trên miền giá trị của t đã tìm được sau bước1

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra miền giá trị của f (t) Sử dụng các kết quả bảng biếnthiên, để tìm ra kết luận của bài toán

Chú ý 4 Điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị của t để phương trình t = u(x)

2 Làm kĩ về cách chứng minh BĐT nhờ BĐT Cauchy

www.vietmaths.com

có nghiệm.

Định lý 3.3 a) Bất phương trình f(x) ≥ m, x ∈ D có nghiệm khi và chỉ khi: max

x∈D f(x) ≥m

b) Bất phương trình f(x) ≥ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi min

b) Bất phương trình f(x) ≤ m đúng ∀x ∈ D khi và chỉ khi max

x∈D f(x) ≤ m

Định lý 3.5 Cho phương trình f(x) = g(x) với x ∈ D

Giả sử trên miền D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn nghịch biến Khi đó nếuphương trình trên có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.www.vietmaths.com

Định lý 3.6 Xét bất phương trình f(x) ≤ g(x) trên miền D Nếu max

x∈D f(x) ≤ min

x∈Dg(x)thì bất phương trình trên thoả mãn ∀x ∈ D

x2+ 1f) y = sin5x+√

x + 14y 3.4 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn

1

x + 1

y +1

z = 4Tìm GTLN của

12x + y + z +

1

x+ 2y + z +

1

x+ y + 2z 3.5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz = 1 Tìm GTNN của

3.2 Ví dụ và bài tập 9 3.8 Cho phương trình:

log23x+

qlog23x+ 1 − 2m − 1 = 0a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3√3]

4√5−4x−x 2

+ 21+√5−4x−x 2

≤ m 3.11 Cho phương trình 9x

− m3x

+ 2m = 0a) Giải phương trình với m = −1

b) Tìm m để phương trình trên có nghiệm

3.12 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y=√

1 + sin x +√

1 + cos x

3.13 Cho phương trình cos6x+ sin6x

cos2x− sin2x = m tan 2xa) Giải phương trình khi m = 13

8b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

3.14 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1)

4x

− m.2x

− m + 3 ≤ 0

www.vietmaths.com

3.19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

sin2x+ 3 tan2x+ m(cot x + tan x) − 1 = 0

b) 5x2− (x + 1)2 = m+ 2

2x2− x + 1c) (1 + x√

sin 3x + m sin 2x + 3 sin x ≥ 0 3.22 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

(

x5− (x − 3)5 = m

0 ≤ x ≤ 3 3.23 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

0 ≤ x ≤ π4b)





2x2 = y + m

2

y2y2 = x + m

2

x

www.vietmaths.com

3.25 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x < 0:

x4+ x3+ mx2+ 2x + 4 < 0 3.26 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

√

x+ 1 −√4 − x ≥ m 3.27 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 3 cos4x− 5 cos 3x − 36 sin2x−

15 cos x + 36 + 24m − 12m2 ≥ 0

3.28 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi |x| ≥ 2:

x4− 5x2+ x + 4 − m ≥ 0 3.29 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm trên [1; 2]:

42x−x2+ 22x−x2+1+ 2m − 3 ≥ 0

4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

4.1 Tóm tắt lí thuyết

Định lý 4.1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a; b)

i) Nếu f00(x) < 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lồi trên khoảng đó

ii) Nếu f00(x) > 0; ∀x ∈ (a; b) thì đồ thị hàm số trên là lõm trên khoảng đó

Định lý 4.2 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và cóđạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thìđiểm U(x0; f (x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho

Chú ý 5 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x0 và có đạohàm tới cấp hai trong lân cận đó Nếu x0 là hoành độ của điểm uốn thì f00(x0) = 0, ngượclại thì không đúng

4.2 Tìm a để đồ thị hàm số y = x4 − ax2+ 3

a) Có hai điểm uốn

b) Không có điểm uốn

4.3 Chứng minh rằng đường cong y = x+ 1

x2+ 1 có ba điểm uốn cùng nằm trên một đườngthẳng

www.vietmaths.com

4.4 Tìm m để y = −xm3 + 3mx2− 2 nhận I(1; 0) làm điểm uốn.

4.5 Tìm a, b để y = ax3+ bx2+ x − 4 nhận J(2; −6) làm điểm uốn

4.6 Tìm a, b, c, d để y = x4+ ax3+ bx2+ cx + d có hai điểm uốn là U1(1; 1), U2(3; −7)

4.7 Cho hàm số y = x(x − a)(x − b) với a < 0 < b Tìm a, b để điểm uốn của đồ thịnằm trên đường cong y = x3

4.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4+ 8mx3+ 3(2m + 1)x2− 1 có hai điểm uốn có hoành

a) Tìm m để đồ thị của hàm số có điểm uốn nằm trên Parabol y = x2

b) Chứng minh rằng tại điểm uốn thì tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc là nhỏ nhất

f(x) = ∞ ( lim

x−→x+0

f(x) = ∞ ) thì đường thẳng d : x = x0 là mộttiệm cận đứng bên phải (bên trái) của đồ thị (C)

x−→−∞[f (x) − (ax + b)] = 0 (2)hoặc lim

x−→∞[f (x) − (ax + b)] = 0 (3)Nếu (1) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiên bên phải của (C) Nếu (2) xảy ra thì dđược gọi là tiệm cận xiên bên trái của (C) Nếu (3) xảy ra thì d được gọi là tiệm cận xiênhai bên của (C)

x+ a có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0)

6 Đồ thị của hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối

6.1 Tóm tắt lí thuyết

+ Hai điểm M0(x0; y0) và M1(−x0; −y0) đối xứng nhau qua gốc toạ độ

+ Hai điểm M0(x0; y0) và M2(x0; −y0) đối xứng nhau qua trục hoành

+ Hai điểm M0(x0; y0) và M3(−x0; y0) đối xứng nhau qua trục trục tung

www.vietmaths.com

x+ 1

(C2)

Từ (C0) chuyển sang (C1) bằng cách lấy đối xứng (C0) qua trục hoành

Từ (C0) chuyển sang (C2) bằng cách giữ nguyên phần nằm trên trục hoành, lấy đối xứngphần dưới trục hoành của (C0) qua trục hoành

O

y

xO

Từ (C0) chuyển sang (C5) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng

x= −2, lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −2 của (C0) qua trục hoành

Từ (C0) chuyển sang (C6) bằng cách giữ nguyên phần nằm bên phải đường thẳng x = −1,lấy đối xứng phần bên trái đường thẳng x = −1 của (C0) qua trục hoành

www.vietmaths.com

O

y

xO

y = |u(x)|v(x) (C1) hoặc y = u(x)

|v(x)| Ta giữ nguyên đồ thị (C) trong miền làm cho

u(x) > 0 hoặc v(x) > 0, (tương ứng) Lấy đố xứng phần còn lại qua trục hoành

7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

7.1 Tóm tắt lí thuyết

Bài toán 1 Tìm giao điểm hai đường

Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1) Hãytìm các giao điểm của (C) và (C1)

Hoành độ giao điểm của (C) và (C1) là nghiệm của phương trình

f(x) = g(x) (1)Nếu x0, x1, là nghiệm của (1) thì các điểm

M0(x0; f (x0)), M1(x1; f (x1)), là các giao điểm của (C) và (C1)

Bài toán 2 Viết phương trình tiếp tuyến

www.vietmaths.com

a) Tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; f ((x0)) là y = f0(x0)(x − x0) + y0.

b) Đường thẳng d đi qua M1(x1; y1) và có hệ số góc k có phương trình là y = k(x−x1)+y1

Để đường thẳng d tiếp xúc với (C), hệ phương trình sau phải có nghiệm:

(

f(x) = k(x − x1) + y1

f0(x) = k

Hệ phương trình này cho phép ta xác định hoành độ x0 của tiếp điểm, và hệ số góc

k = f0(x0) của tiếp tuyến

Chú ý 9 - Số nghiệm của hệ trên không phải lúc nào cũng là số tiếp tuyến

- Có thể mở rộng vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung Cho hai hàm số

y= f (x) và y = g(x), gọi (C) và (C0) theo thứ tự là đồ thị của chúng Hai đồ thị được gọi

là tiếp xúc với nhau tại một điểm chung, nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến.Khi đó điểm chung được gọi là tiếp điểm Như vậy, hai đồ thị (C) và (C0) tiếp xúc vớinhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau đây có nghiệm:

(f(x) = g(x)

f0(x) = g0(x)Bài toán 3 Biện luận phương trình bằng PP đồ thị

Giả sử chúng ta đã có đồ thị hàm số y = f (x) (nhờ khảo sát, hoặc biến đổi từ đồ thịmột hàm số nào đó) Bài toán đặt ra là biện luận số nghiệm phương trình P (x) = Q(x)

có chứa tham số m thông thường ta làm như sau

Dạng 3 g(x, m) = h(m)(x − x0) + y0, x0, y0 = const thì ∆ là đường thẳng luôn quayquanh điểm A(x0; y0) cố định Tìm các tiếp tuyến đi qua điểm A(x0; y0) Để giải và biệnluận loại hệ này ta cần so sánh h(m) với các hệ số góc của các tiếp tuyến

www.vietmaths.com

x2− 6x + 3

ĐK: x 6= −2

• Nếu m = 8, PT (2) vô nghiệm, suy ra PT (1) vô nghiệm

• Nếu m 6= 8, PT (2) có nghiệm duy nhất x = 3 + 2m

8 − m Nghiệm này là nghiệm của (1)

⇔ 3 + 2m

8 − m 6= −2 ⇔ 3 6= −16.

Kết luận:

• Nếu m = 8 hai đồ thị không cắt nhau

• Nếu m 6= 8 hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm

7.2 Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình

x3+ 3x2− 2 = m 7.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

y= (2 − x2)2 (C)biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4)

7.4 Khảo sát vị trí tương đối giữa đồ thị (C) của hàm số y = 4x3

− 3x + 1 và đườngthẳng d : y = m(x − 1) + 2

7.5 Cho hàm số y = x+ 2

x− 2 Chứng minh rằng với mọi b đường thẳng y = x + b luôn cắt

đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt

7.6 Xác định m sao cho đồ thị của hàm số

y = −x4+ 2mx2− 2m + 1cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng

7.7 Xác định m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị (C) của hàm số

y= x

2− 2x + 2

x− 1tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3

7.8 Tìm m để đường thẳng d : y = 3x + m tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

y= x

2− 3x + 3

1 − x 7.9 Cho hàm số y = x3− 3x có đồ thị (C) và đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2) và

có hệ số góc k Biện luận theo k vị trí tương đối giữa (C) và d

7.10 Xác định định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = x3− 3ax2+ 4a3 tại

ba biểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC

7.11 Xác định m để hàm số y = x3− 3x2 − 9x + m cắt trục hoành tại ba điểm phânbiệt có các hoành độ lập thành cấp số cộng

7.12 Cho hàm số y = (3m + 1)x − m2 + m

x+ m với m 6= 0 Xác định m để tại giao điểmcủa đồ thị với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x − 10

7.13 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2− x + 1

x− 1 đều không điqua điểm I(1; 1)

7.14 Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x3− 3x + 1 biết rằngtiếp tuyến này qua A(2

b) Đường thẳng d cắt tiệm cận của đồ thị hàm số tại điểm B, C Chứng minh rằng A làtrung điểm của đoạn BC

www.vietmaths.com

7.2 Ví dụ và bài tập 19

7.17 Cho hàm số y = mx2+ (2 − m2)x − 2m − 1

x− m Tìm m để hàm số có cực trị Chứngminh rằng với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được hai điểm mà tiếp tuyến tạihai điểm đó vuông góc nhau

7.18 Cho hàm số y = x2+ 3x + m

x+ 1 Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số trên

có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ.Chứng minh rằng khi đó đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu

7.19 Cho hàm số y = 2x2− x + 1

x− 1 Chứng minh rằng trên đường thẳng y = 7 có bốnđiểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếptuyến này hợp với nhau một góc 450

7.20 Cho hàm số y = −x+ 3

2x − 1a) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đườngphân giác thứ hai của mặt phẳng toạ độ

b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình

2x2− 2kx − 2x + k + 3 = 0 7.21 Cho hàm số y = x3 − 3x Dựa vào đồ thị của hàm số, hãybiện luận theo m sốnghiệm của phương trình

x3− x(m + 3) + m − 2 = 0 7.22 Cho hàm số y = x2+ mx + 2m − 1

mx+ 1a) Xác định m sao cho hàm số có cực trị và đường tiệm cận xiên đi qua gốc toạ độ.b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

c) Biện luân theo m số nghiệm của phương trình

(cos 2x + 2(1 − m) cos x + 3 − 2m = 0

−π < x < π

7.23 Cho hàm số y = −3x2+ mx + 4

4x + ma) Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ bằng không vuônggóc với tiệm cận xiên của đồ thị

b) Xác định các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm

sin6x+ cos6x= a| sin 2x|

7.24 Cho hàm số y = 2x2− 3x + m

x− 1a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình