TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A.
Trang 1TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A Tóm tắt lý thuyết
e Y=f(x) đồng biến/(a,b) © W x1 < x2 € (a, b) tacé f(x1) < f(x2)
e Y = f(x) nghich bién/(a,b) @ WV x1 <X2 € (a, b) tacé f(x1) < f(x)
e Diéu kién can va du dé y = f(x) đồng biến/(a,b) © f{x) >0 VxC€ (a,b) đồng thời f(x)
= 0 chi xay ra tai 1 s6 hitu han điểm E€ (a, b)
e Néu y = f(x) déng biến/[a, b] thi Minf(x), = f(a); Maxf(x) = f(b)
e Néu y = f(x) nghich bién/[a, b] thi Minf(x), = f(b); Maxf(x) = f(a)
TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ ĐỀ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
mx” +6x-2
Bai 1Tim m dé y = nghịch biến / [1, + œ)
x+2
Cách 1l: phơnø pháp tam thức bậc 2
mx” +4mx +14 (x+2)
© g(x) =mxˆ + 4mx + l4 <0 Vx > I Xét các khả năng sau :
a) xét m =0: øg(x) =0xˆ+ 0x + 14 <0 ©x€ ¿ : loại
b) Xét m > 0
Cach 1 : Dé thi y = g(x) 1a 1 parabol quay bề lõm lên trên nên miền nghiệm của BPT g(x) < 0 có độ dai
hữu hạn và do đó #[1,+oo) => loai
Ham s6 nghich bién/[1,+00) © y’= <0 vx <l
Cach 2: lim g(x) = lim(mx’)(m > 0)+% g(x) lién tuc /[I, +00 ) nên
X7 +0 x—> +0
4a €[1, +0) sao cho g(@ )>0 = loai
c) Xétm <0: A' =4m’?— 14m>0 YWm<Osuyra
g(x) = 0c6 2 nghiém x; < x © BPTg(x) < 0O có sơ đồ miền nghiệm G là
@ [1,+0)CGe {mi8, 21 @ | BPS St See te Ss oma
x14
5
Cách 2 : phơng pháp hàm số
mx’ +4mx +14
——————— =
= mx?+4mx+14 <0 © m(x’*+4x) <-14 Vx >1
e Ham s6 nghich bién/[1,+00) © y`=
= u(x) = >m Vx Slo Minu(x) >m
Ta có u'(x) = (2x +4) >0 Vx >1 > u(x) đồng biến /[1, +)
(x? + 4x)?
Trang 2- 14
”_Minu(x) =u) == =m
x =1
Bai 2: [791+108]] Tim m dé y = - 5 x? + (m-1)x? + (m+3)x — 4 đồng biến trên khoảng (0, 3) Giải : Hàm số đồng biến /(0, 3) © yˆ = -x?+ 2(m-l)x + (m+3) >0 wx€ (0,3)
Do y'(x) liên tục tại x = 0 và x = 3 nên BPT:yˆ` > VWVx€ (0,3) ©y'` >0 YVxC (0, 3]
2
= m(2x+1) >x*+2x—3 Vxe€E [0,3] © g(x)= 2x7 + 2x-3
x +1 <m VxC (0, 3]
2
= Ma al g( ) <m Taco g’(x) _ 2X) +2x+8 (2x+DẺ >0 Vx € [0, 3]
x €|0,
= g(x) đồng biến /[0, 3| = Max g(x)= gG) = 12 em
xel03 7
Bài 3: Tìm m để hàm số y = mx — (m-1)x? + 3(m-2)x + ¬ đồng biến trên khoảng [2, + œ ) Giải
Ham s6 déng bién/[2, +00) = y’ = mx?— 2(m-1)x + 3(m-2) > 0 Wx >2
= m(x?— 2x +3) >-2x+6 Wx >20 g(x) = —2X*6_ <m Vx >2
x° - 2x +3
z 2(x* - 6x +6) xX =3- V6
c© <m Ta có øˆ(X)= ————————= © |"!
Max g(x) = g0 (x?- 2x+3)? x, =3+V6
x>2
74°
° Lim g(x) = Lim ———~ =0 = BBT của hàm số y = g(x)
X— +0 v.2+
X X— +œ
oe)
CD |
g(x) | 0 — oT
Nhìn bảng biến thiên suy ra Max g(x) = g(2) = = <m
xX 22
2
Bai 4: Tim m dé y = 2X +d- m)x+l‡m qạnz bien /(1, +00)
x-m Cach 1: phong phap tam thttc bac 2:
2 2 _
Ham s6 déng bién / (1, +00) @ y= 2X mx tm ome
(x-m) >0 Vx>l
Trang 3x-mA#O= x#m m =1
Véim <1, xét BPT: g(x) = 2x? — 4mx + m’— 2m-1 >0 Vx>1
Tacé A’ = 2(m+l} > 0 = g(x) = 0 c6 2 nghiém x} < x => BPT: g(x) > 0O có sơ đồ nghiêm G 1a:
X{ X2
Ta có øg(x) >0 WVx>l©(l,+œ)CƠOc€ xi <x› <Ì
a —— Em _ oes ~ aa ee OS a ——— «<> m=
SS eee « EM >> ——— —_—> «& mm mm SỐ ẴẨ== mm m mm“ EM ——— «<> => lÏ: =3:2x⁄2 SS
mm =š Ne
m <3-2/2
—_ ——=>= ——— -m— m—-m_ —_ EM
Cách 2:phơng pháp hàm số
Hàm số đồng biến / (l, +œ ) © y`= 7 >0 Vx>l
x-m
ES eCx) =2x? -4mx +m?’ -2m-12>0 Vx > 1 <> <Ẩ(C>}) =—=C@ Vx > 1
Ta c6 g’(x) = 4(x-m) >O Wx>1 > g(x) déng bién / (1, +00)
Do đó SCD =O Vx > 1 So T~xẽz SS 1n zms< =>» SS ==—<> >
2) =m’ - 6m+12=0 4 m <3-242
m <1
