I/Đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm
A- Các kiến thức cơ sở:
1- Định nghĩa: Cho HS y = f(x) XĐ trên khoảng (a;b); x0 ∈ ( ) a; b
Giới hạn hữu hạn của tỉ số
0
0)()(
x x
x f x f
x
x f x f x
f
x x
2- Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của HS tại một điểm chính
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị HS tại điểm đó
3- PTTT tại điểm M0( x0; f ( ) x0 ) có PT là:
y = ( )(0 0) ( )0
4- Ý nghĩa cơ học, vật lí của đạo hàm: v(t) = S’(t); a(t) = S''( )t
5- Một số công thức đạo hàm các HS thường gặp:
x
y x
x y
x n y n
N n x
y
y x
y
y a
y
n n
2
1 0
2
; 1 0
'
1 '
' '
Trang 2' '
'
' '
'
.
.
.
.
x
u u f x
g
v
v u v
u v
u
v u v u v
u
v u v
x x
x x
x x
2 '
2 '
'
'
sin
1 cot
cos
1 tan
sin cos
cos sin
Trang 3a) Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t=0,01;∆t=0,1b) Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm t= 1s, t= 4s, t= 10s
c) Tính thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
d) Tính thời điểm gia tốc đạt giá trị bằng 5m/s2,
Bài4: Tính các đạo hàm của các HS sau bằng định nghĩa:
a) y = 2x2 + 3x – 3 h) y = -3x3 – 3x +2
b) y = x4 + 3x2 – 2 k) y = 5x5 + x3
c)y =
2 3
d)y =
1
322
3x + x−
b) y = 2 23 45 1
2 3
4
−+
+
−
x x
13
ị) y = 2 −31+4
−
x x x
x x
Bài6: Tính đạo hàm các HS sau:
a) y = x2 −3x +2 b) y = x2 + x x + 4
Trang 4c) y = 2 2
a x
x
− d) y = 8 4
5 2
−
+
x x
1
22
e) y = (x2 +1) x2 +4
x x
k) y = 1 + x i) y = x + x2 + 1
j) y = x+ x2 +1 m) y = (x+1) x2 − x+1
Bài7: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = 3sin(3x2 +2x-1) b) y = 3.sin2x sin3x
c) y = sin2x cos3x d) y = sin2x – cos3 3x
f) y =
x x
x x
cos sin
Bài8: CMR các HS sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x:
a) y = sin6 x + cos6 x + 3 sin2 x cos2 x
x x
x x
3
2 cos 3
2 cos 3
cos 3
Trang 5g) f(x) = sin2x f(n)(x)
h) f(x) =
23
35
2 − +
−
x x
23
2
2
−+
+
−
x x
x x
f(n)(x)
p) f(x) =
187
942
2 4
2 3
+
−
−
−+
x x
x x
13
2
khix x
xkhix
x
tại x = 1b) f(x) =
−
≤
−
2 8
6
2 2
2
2
khix x
x
xkhix x
tại x = 2
Trang 61
khix
khix x
1
1
;01
1
khix
x khix x
x
CMHS liên tục tại x = 0, tính f’(0)
x
+
1 tại x = 0f)f(x) =
0cos
1
khix
khix x
0
1sin2
khix
khix x
11
sin2
khix
khix x
0 2
cos 2
cos
khix
khix x
x x
tại x = 0j)f(x) = x2 + x − 1 tại x= 1
0
sin
2 3
khix
khix x
x
khix x
tại x = 1
Trang 72
ckhix bx
x
x khi
≤
+
01
1sin
cos
khix q
px
xkhix q
x p
b) CMHS sau liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó
b) Tại điểm có hoành độ x0 = 1
c) Tại điểm có tung độ y0 = 3
d) Tại giao điểm của đồ thị với trục oy
e) Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = 2
f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1
g) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0
h) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0
i) Biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục ox góc 450
j) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1)
Bài16: Cho HS y = f(x) = 4x3 -3x ( C) Viết PTTT với đồ thị ( C)a) Tại điểm M(1; 1)
b) Đi qua điểm có hoành độ x0 = 2
c) Đi qua điểm có tung độ y0 = 0
d) Tại giao điểm của đồ thị với trục ox và oy
e) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3
f) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 2x – 5
g) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = 2x – 5
h) Biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d góc 45 độ
i) Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1; 1)
j) Tìm điểm trên đồ thị mà từ đó có thể kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị
k) Tìm điểm trên đường thẳng y = 1 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị
Trang 8Bài 24: Cho HS y = x3 – 3x2 + 2
Trang 9Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài25:
CMR: Nếu Sinnx + cosnx =1 với mọi x thì n = 2
Giải: Đặt f(x) = sinnx + cosnx do f(x) = 1 với mọi x nên
f’(x) = n sinx.cosx(sinn-2x –cosn-2x ) = 0 với mọi x, suy ra
sinn-2x= cosn-2x với mọi x <-> tann-2x = 1 với mọi x <-> n =2
Bài 26:
CMR: tanx + 2tan2x + 4tan4x + 8tan8x = cotx với mọi x
Giải: Xét f(x) = tanx- cotx + 2tan2x + 4tan4x + 8tan8x Ta có
f’(x) =
x x
x x
644
sin
162
cos
4sin
1cos
1
2 2
2 2
2
3 3
2 cos 3
2 cos
cos 2 2 π 2 π
8
5 3 sin 16
5 5
sin 6
'' '
''
=+
+
c f
c f b f
b f a
bx
ax
+ +
+
+2
x x
= (-1)(-2)…(-19994)= 19994!
b) Tìm giới hạn: N =
x
x x
11
2lim
3 2 0
+
−+
→
Đặt f(x) = 2x+1−3 x2 +1⇒ f(0) = 0, khi đó ta có
Trang 10N = :limsin ( )0
0
)0()(lim
sin:0
)0()(
0 0
x
x x
f x f x
x x
f x f
x x
x
x x
x f
c) Tính: N =
1 sin
2
1 tan
1sin
.2
;1
22
sin2
;cos
1.tan.3
1
4
:44
4lim
:4
4lim
' 2 3
2 '
' '
4 4
g x x
x
f
g f
x
g x g x
f x f N
x x
ππ
ππ
π
π π
3 cos 2 cos cos 1
lim
)
1 3 sin 1
2 sin 1
lim
)
8
3 2 5
2 lim
)
2 4 3
sin 1
2 1
lim
)
3 1 2
1 lim
)
1
7 5
lim
)
x x
x
x x
x i
x
x x
k
x
x x
x h
x x
x x
g
x
x x
e
x
x x
+
−
+ +
− +
−
− +
+ +
−
+
− +
Trang 11Bài 32: Sử dụng đạo hàm để tính các tổng sau:
++++
x
x x x
x x x x x f
n n
1
11
n x f x p
n n
b) tính tổng: p(x) = 12 + 22 x + 32 x2 + + n2 xn−1
với x = 1 thì p(1) = ( )( )
6
1 2
1 +
n n
Với x 1 ≠ ⇒ p ( ) x =
c) Tính tổng T = cosx + 2.cos2x + 3cos3x + …+ ncosnx
Xét tổng S = sinx + sin2x + …+ sinnx thì S’= T
2S.sinx = x − x+ x − x+ + n− x− n2+ x
1 2 cos 2
1 2 cos
2
5 cos 2
3 cos 2
3 cos 2 cos
2
Trang 12= x n x
2
12cos2
02sin2
sin2
2
12cos2
S
π
k x x
nx x
n x
n S
2sin2
2
sin2
12sin2sin
21
C
n n
n n
n
x C x
C x C C
1 + = 0 + 1 + 2 2 + +
2 1
n n
n
n
x C n x
C C
x n
Lấy đạo hàm lần 2:
1
2 3
1 2 1
n n
n
n
x C n
n x
C C
x n
21
321
12
n x n
x
n x x
x
x x
x
x
+
−+
−++
+++
++
++
Bài 33: Tính các đạo hàm sau:
Trang 13( ) ( ) ( )
x e x x
x x
x x
x x
e e
y
q
x x
y
i
x x
y
k
x e
x
y
h
x x
y
g
x
x y
e
x x
y
d
x x
e
y
c
x x x x y
b
x x x
=
++
=
)
32
)
43
2
)
2cot1)
1ln.)
ln )
1ln
)
1
1ln
)
lncosln
sin
)
cossin
.)
)
1)
2
5 4
2
2 2
2 2 2
o
x y
y
x x
b x
a y x
x y
f
e e
e e y z
x y
v
x y
r
x y
s
e y t
x
x y
l
x y n
x x y
m
X
x
x y
11ln
)
cosln)
.)
1sin
ln)
)
ln1)
ln1)
1lnln)
)
cos
sin1ln)
.)
2ln
X - X 2
3 2 tan 2
−+
1 CMR: x.y’+ 1= ey
h) Cho y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: y + x.y’+x2.y’’=0
Trang 14Chuyên đề: Giới hạn
A-Giới hạn vô định dạng:
0 0
Bài1: Tính các giới hạn sau:
Trang 15
3 4
6 2 6
2 lim
)
2 3
2 4
2 3 lim
)
1 1
lim
)
2
2 4 lim
)
1 1
lim
)
2 5
1 2 lim
)
1 1
lim
)
2
2 2
3
2
2 1
3 3
0
3 2
+
−
+ +
− +
−
−
− +
− +
− +
− +
x x x
x h
x x
x x x
g
x
x x
e
x
x d
x
x c
x
x b
x
x a
t
x
ax n
x
x x x
m
x
x j
x
x i
x
x x
f
x
a a
x k
X
n X X X X X X
7169
lim)
11
lim)
1
12
lim)
1
23lim
)
232
4lim
)
1
23lim
)
lim)
0 0
2
3 2 3
0
−++
+
−+
−
+
−+
−+
−+
−+
3 2 3
3 3
0
3 3
0
1
1 1
2 0
2
2 2
lim
limlim
)
212
25lim
122
52
5
251
212
lim25
12lim
)
011
lim1
1
11
11
lim11
lim
)
a a
a a x a
x
a a a x a
x x
a a a x a
x a a x x
a a x
k
x
x x
x x
x x
x x
x
b
x
x x
x
x x
X
X X
X X
X
=+
++
++
−+
=
−+
=++
++
=+++
+
−+
+++
+
−+
=
−+
−+
=++
=+
+
++
−+
=
−+
Trang 167169
lim
)
1
11
1
11
11
lim11
lim
)
2
1123
1lim
32
231
123123lim1lim
1
123lim1
1lim
1
23lim
)
0 0
0
2 1
2 1
0 0
1 1
2
1
1
3 1
3
1
=
−++
−+
=
−+++
=
=+
++++
+++++
−+
=
−+
=+
−
−
=+
x x
x x
t
n
a xa
xa x
xa ax
ax x
ax n
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
f
X X
X
n n
n n
X
X X
X
Bài2: Tính các giới hạn sau:
1
2 1
2
lim
)
2 3
43 8
11 lim
)
2 1 1
lim
)
1
7 5
lim
)
3 1 2
1
lim
)
8 1
2
lim
)
2 3
3 7
lim
)
5 4
1
2
3 2
2
3 0
3 0
−
− +
+
− +
+
−
− +
−
− +
+
−
+
− +
h
x x
x x
g
x x
x x
e
x
x x d
x
x x
c
x
x x
b
x x
x x
x
bx ax
f
x
x x
m
x
x x
j
x
x x
i
x
x x
k
m n
X X X X X
)
1 1
lim )
2 9
20 2
lim )
1
1 81 1
27 lim )
sin
1 1
2 lim )
2
1 1
1 4
1 3 lim )
0
+
− +
− +
+
− +
−
+
− +
+
− +
−
−
+
− +
Trang 17*.112
lim
sin
11lim
sin
112limsin
11
2
lim
)
121121
121121121lim1
11
11
111
lim
121lim11
lim2
11
lim
)
23
23lim
23
27lim
23
37
lim
)
3 2 0 0
3 2 0
3 2 0
4 2
4 4
0 2
4
0
2 1 2
3 1 2
−
−+
=+
−+
=+
−+
−+
+
−+
−
−
−+
+++++
−
−
−+
−+
=+
−
−+
=+
−
−+
−+
−
−+
=+
−
+
−+
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
i
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
b
x x
x x
x
x x
x
x x
a
X X
X o
X X
X X
X X
X
X X
X
( ) ( )( ) ( ( ) ( )( ) )
1
2 2
1
1
2 2
1 2 lim
1 1 2 1 1 2 1
1 1 2 1 1 2 1 1 2
lim
1
1 2 lim
1
1 1 2 lim 1
2 1
2
lim
)
3 4
3 4
5 1 4
4 4
1
5 1
4 1
5 4
1
= + +
− +
−
−
+ +
− +
−
−
−
− +
− +
−
−
+
− +
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
h
X X
X X
X
Bài3: Tính các giới hạn một bên sau:
x e
x
x x
d
x
x c
x
x x
b
x
x x không
x x
x x
x x
có A x
x x a
X X
X X
X X
X X
X
−+
−+
++
− +
+
−
−
+ +
4lim
)1
23lim
)
1
1lim
)2
23lim
)
2
3lim2
32
3lim
;2
32
3lim2
3lim
2
3lim
0
Bài4: Tính các giới hạn sau:
a) Cho f(x) = x(x-1)(x-2)….(x- 19994) Tính f’(0)
Trang 18Giải: Ta có f’(0) = ( ) ( ) lim ( 1 )( 2 ) ( 19994 )
0
0 lim
x x
= (-1)(-2)…(-19994)= 19994!
b) Tìm giới hạn: N =
x
x x
1 1
2 lim
sin:0
)0()(
0 0
x
x x
f x f x
x x
f x f
x x
x
x x
x f
c) Tính: N =
1sin
2
1tan
1sin
.2
;1
22
sin2
;cos
1.tan
.31
4
:44
4lim
:4
4lim
' 2
3
2 '
' '
4 4
g x x
x
f
g f
x
g x g
x
f x f N
x x
π π
π π
π
π π
2
3
0 2
3 2
1
3 cos 2 cos cos 1
3 cos 2 cos cos 1
lim ) 1 3 sin 1 2 sin 1
lim
)
8
3 2 5
2 lim
) 2
4 3
sin 1 2 1
lim
)
3 1 2
1 lim ) 1
7 5
lim
)
x x
x
x x
x i
x
x x
k
x
x x
x h
x x
x x
g
x
x x
e x
x x
d
x x
x x
x x
−
−
− +
+
−
+ +
−
+
−
− +
+ +
Trang 193)
(
;121
2)
(
0
11313
1
3
lim0
1121
2lim
1313
1
3lim
121
2lim
13
13
1
31
21
2lim
311121lim
:
2
12
13
13
11
1
3lim
121
1lim
1311
21lim3
12
1lim
)
; '
3
0 0
3
0 0
3 0
2
3 2
0
3 2
0 0
2
3 2
0 2
2 0
=
−
=
++++
=+
+
=
−
−++++
−
−
−++
=
++++
=
+
−
=+
+++
++
++
+++
−+
=+
−+
A
ó
x x
x g x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x A
Cách
x x
x x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x x
A
j
X X
X X
X X
X X
X X
1 6 1 1 4 1 lim 6
1 4
3 20 2
9
3 2 lim
2 9
20 2
lim
)
2
3 2
0 2
7 4
= +
− +
=
−
+
− +
− +
−
− +
− +
=
− +
+
− +
x x
x x
t
x
x x
n
x
x x
x x
x x
m
X X
X
X X
Trang 203 2 lim
)
1 5
5 4
3 2
1 lim
)
9 10
1 3
7 4 3 2 lim
) 7
8 3 16
5 6
2 9
lim
)
100 10
100 99
2 1
lim
)
1 2 4
2 3
1 2 1 2
3 lim
)
1 2
5 8
3 4 7
6 lim
)
3 2
5
1 4 3
2 lim
)
2 2
5
2 3
3 2
100
100 100
100 100
2
2 2
2 4
5
3 5
2 3
4
2 3
+
− +
+ +
+
− +
− +
+
− +
+ +
+ + +
+ + +
+ +
−
− +
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
− +
x x x
k
x
x x
x x
x
h
x x
x x
g x
x
x x
e
x x
x x
x x
d
x x
x x x
x
x c
x x
x
x x
x b
x x x
x
x x
x a
X
X
X x
) 2
1
2 1
lim
)
2
2 lim
) 7
2 3
1 2
5 4
lim
)
4 3
2
3 1
1 lim )
1
1 3 5
lim
)
2 3
2 2
2
2 2
2 2
+
+ +
− +
+
− +
+
+ +
−
−
+ +
+ +
−
−
−
+ +
−
−
− +
∞ + +∞
→
−∞
→ +∞
x x
x x
m
x
x q
x x
x
x x
x j
x x
x
x x
x p
x
x x
i
X X
X X
X X
Giải:
Trang 21( ) ( )
51
1
1135lim1
135
lim
)
3
21214
3
21lim
214
32lim
;41214
3
21
lim
2
14
3
21lim
2
14
3
21lim
214
32lim
)
100100
101
1001
21
11lim
100
10
100
21
lim
)
10.3
4.29
10
13
74
32lim9
1013
7432
lim
)
03
1251
1432lim
25
143
2 2
2 2
2 2
100
10 10
100
100 100
100 100
10 10
100
100 100
100
3 2
2 3
3 2
2 3
3 2
4 3 2
3 2 3
4
2 3
−
=
−++
−
++
−
=
−++
++
=
−++
++
−++
+
+
=
−++
+
+
=
−++
++
+
+++
++
−
=+
−
−+
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→
x
x x x
x x
i
x x
x x
x
x x x
x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x x
x x
x x x
k
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
d
x x
x x
x x
x x
g
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x
a
X X
X X
X
X X
X
X
X
X X
X X
Bài2: Tính các giói hạn sau:
Trang 22( )
2
121lim
)
23
11
12lim
3
2lim
3
2lim
)
10lim
)10
lim
)
3
5 3
2 2
5
3 5 2
5 3
2 2
++
++
−
=+
+
++
+
++
x x
d
x x
x x
x
x x x
x
x x x
c
x
x x
x b
x
x x
x
a
X
X X
X
X X
Bài3: Tính các giới hạn một bên sau:
x x
n x
x x
x m
x
x x
j x
x x
i
x
x x
k x
x
x x h
x x
x x
g x
x
x x
e
x x
x x
d
x
x x
x
x x
x
x x
c
x
x b
x
x x
x a
X X
X X
X X
X X
X
x x
X
X
X X
X
−+
−
−
−+
−
−
+
−+
+
++
=+
−
=+
+ +
+
−
− +
2
1lim
)lim
)
11
lim)
42
lim
)
2
2lim
)1
1lim
)
2lim
)
2lim
)
23
lim
)
6
13
4lim3
3
43
lim9
127
lim
)
1
2
2lim
)
11lim2
2lim
2
2lim
)
1 2
2 0
2
3 1 2
2
2 2 3
2 1
0 0
4 5
2 1
3 3
2
2 3
2
2 2
2
Trang 23Bài1: Tính các giới hạn sau:
−+
−+++
−+++
+
=
−+
−
−+
=+
−+
=
−+
−
−
=
−+
=
=
−
−+
−
+
=+
−++
=
−++
→
+∞
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→
∞
→ +∞
→
11
12
lim1
1
12
1lim
1
21
13
11
11
1lim
1
11
11
1lim
limlim
limlim
)
01
1
1lim
1lim
)
44
161
44
52
2616lim
1445
2
2616
lim1
44
52
2616
lim
144
52
144
52lim1
44
52
lim
)
21
11
lim
limlim
)
3
2 1
3
2 1
2 3
1
3 3
2
2 2
2
2 2
2
2
x x
x x x
x
x x x
x x
e
x x
x
x x x
x x
x x x x
x
x
x x x x
x x x
x x
x
d
x x
x x
x x
c
x x x
x
x x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
b
b a
x
b x
a
x
ab b a
x b x a x
x b x a x x
b x a x
a
X X
X
X X
X X
X X
X X
X
X X
X x
X
X X
Bài2: Tính các giới hạn sau:
Trang 2433
44
lim)3
4412
lim
)
11
lim)1
lim
)
2
51
51
5lim
51
5lim
5
5lim
5lim
)
3lim
)
lim)8
7lim
)
11111
11
11
11lim
limlim
)
2 2
2 2
2
2 2
2 2
3 3
+
++
−+
−
+
−+
=++
=++
=++
−+
=
−+
++
=
−
−++
+
−+
−++
→
→ +∞
→
+∞
→ +∞
→ +∞
→ +∞
→
x
x x x
x f
x x
x x
x
x j
x x x
x i
x x x
k
x
m x
n h
x x
g
x
x x x
x x
x
x x
x x
x
x
e
x x
x
d
x x x x c
x x x
x
b
x x x x
x x
x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
a
X X
X X
m n
X X
X X
X X
X
X X
X
X X
Bài3: Cho các hàm số sau:
=
13
2
12
x khi x
x
f
X X
Xlim1 ( ) ; lim1 ; lim1
X X
2 1
0
3 2
x khi
x khi x
x x x
X X
Xlim0 ; lim0 ; lim0
→
→
Trang 25;11lim
lim
0:
lim0
1
0)
lim
11
3limlim
130
113limlim
13)(0
0 0
0
0 0
2 0 0
0 2
0
0 0
0 0
=
=+
=
⇒+
=
⇒
>
− +
−
− +
+
−
−
+ +
f x
f x
f đê
a a x x
f x
x f có
ta
R x
R
TXđ
x f đê
a tìm x
khi x
x khi a x x
f
c
x g
x x
g x
x g x
khi
x x
g x
x g x
khi
X X
X
X X
X X
X X
X X
X X
x khi a
x x
x khi a x x
f
e
x f đê
a XD x
khi a
x
x khi a x x
0 2
lim1
3
15
)
lim0
2
03
−
≤+
+
<
+
=
Trang 26D/ Giới hạn dạng vô định hàm lượng giác:CT cơ sở:lim nx 1
3 0
0
0
2 0
0
0
cos.tantan
lim
)
sintan
lim
)
sincos
1
sincos
1lim
)
cos1
cos1lim
)
cos1lim
)
3sin
5sinlim
)
5sinlim
)
x
ax ax
ax h
x
ax ax
g
bx bx
ax ax
e
bx
ax d
x
ax c
x
x b
x
x a
q
x x
x x
p
x x
x j
x
x x
i
x
nx x
x n
x
x x
m
x
x k
x x x x x x x
tan
sin1sin
1lim)
11cos15
cos
3cos7
coslim)
2sin
cos1lim)
2cos.cos1lim)
cos
2cos.cos1lim)
3sin
cos3sin
lim)
sinsinsinlim)
0 0
3 0
2 0
2 0
3 0
−
−+
Trang 27( )
2
3 2.2
2
sinlim.2
12
1
2cos1.2cos1
coscos
1
lim
2cos1
coscos
1lim2
coscos
sinsinlimsin
sinsinlim
sinsin
sin
lim
)
.2sin
2lim)
2
2
sinlim(2sin2
2sin
2limcos
1
cos1
lim
)
55
5sinlim55
sin
lim
)
2 2
0 2
2 2
0
2 0
2 0
0 0
sin 0
sin sin 0
2 2
2 2
0 2
2 0
2 2
2
0 0
0 5 0
−
=
−+
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
i
x
x x
x x
sín
x sín
x
x k
b
a b
a bx
bx ax
ax bx
ax bx
ax d
x
x x
x a
x X
X X
X X
X X
bx ax
X X
X X
Bài 2: tính các giới hạn sau:
x
x j
x x x
d
x
x c
x
x b
x
x x
x a
cos1
lim
)
1:3sin
3sin
lim
)
tansin
cos2
cos
lim
)
2tan
2cos.sin1
0
2 0
x x
k
x x
h
x
x g
x x
x e
x
x x x x
cos2
3
6
sinlim)
2tan1
lim)
2tan4
lim)
4cos
4lim
)
sin
4cos1
lim)
6
1 4
2 2 0
Trang 282sinsin
lim
)tansin
tan.cos.sin
2sinsin(limtan
.tan
tansin
cos22
sinlimtan
sin
cos2
cos
lim
)
82
82
8
2cossin
1
2cos
8
2sin
22
cossin
1
2cos
8lim
)2cossin
12sin
2
cos2sin.2
2cossin
12sin
2cossin
2(
lim
2cossin
12tan
sin2
cos1lim
2tan
2cossin
0
3 4
0
2 0 2
++
+
=
++
++
+
=
++
+
−
=
−+
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x b
x x
x
x x
x x x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x a
X
X X
X
X
X
X X
ππ
π
ππ
ππ
0 cos 1
.
2 sin
4
2 sin 2
2 sin
2 lim
cos 1
cos 1
cos 1 lim
2 2 lim 2 2 2
cot 2 2 lim 2 2 tan 4
lim
)
3
2 3
2 1
3
2 cos 2 3 sin
3 lim
3 sin
1 sin 4 3 lim
1 : 3 sin
1 sin
1
lim
)
2 2
2
0
2
2 0
0 0
2 2 4
4
0
2 0
0
= +
= +
x x
x
x x
x x
x
x x
x j
x x
x x
x x
x h
x x
x x
x
x x
x x
d
X
X X
X
x X
X
X X
X
ππ
ππ
Trang 29( )
3 0
2 0
0
2
3 0
sin1tan
1lim
)
2sin
cos2
coslim
)
cot2
sin
2lim
)
1tan34lim
)
3cos.2cos.cos1lim
)
x
x x
e
x
x d
x x
c
x x
b
x
x x
x a
x x
x j
x
x x
x i
x
x k
x x
x x
h
x
a x
a x a g
X X x x x x
sinsin
lim)
cotcot
2
cot1lim)
7sin
7cos.5cos.3cos183
98lim)
cos1
cos1
lim)
243
sin121lim)
tantan
tanlim)
0
3 3
4
2 0
0 0
2
2 0
−++
++
−
−
−+
sin1tan
12
1
4
2
sin sin
lim
sin1tan
1cos
cos1sinlim
sin1tan
1
sintan
limsin
1tan
3
0
3 0 3
0
=
=+
++
=
+++
−
=
+++
−
=+
−+
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
e
X
X
X X
sinlim1
121
2432
lim
243sin112)(
2432
lim
243
sin2
43
121lim2
43
sin121
lim
)
0 0
0
2 2
0
0 0
+++
+++
++
−
−
+++
+
−
−+
++
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x
h
X X
X
X
X X