Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán hình học không gian

PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp quan trọng là gốc tọa độ O Thích hợp có nghĩa là phải căn cứ vào các cặp cạnh vuông góc để từ đó xác định được gốc tọa độ thích h

Trang 1

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI HHKG

“ Đại số hóa hình học “

Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG

“ Phương pháp là thầy của các thầy “

Email: Changngoc203@gmail.com Bỉm sơn: 11 – 02 – 2014

Trang 2

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ

GIẢI HHKG

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (quan trọng là gốc tọa độ O)

Thích hợp có nghĩa là phải căn cứ vào các cặp cạnh vuông góc để từ đó xác định được gốc tọa độ thích hợp, thông thường dựa vào đặc điểm của hình như hình chóp đều, cạnh bên vuông góc với đáy, mặt bên vuông góc với đáy, hay đáy là hình gì…

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm

Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:

- Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)

- Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ, tịnh tiến

- Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng

- Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán

Ưu điểm: Chỉ cần xác định đúng các tọa độ các điểm, áp dụng các kiến thức về hình giải tích như thể

tích, diện tích, góc, khoảng cách…, ngoài ra còn ôn lại được các kiến thức về hinh giải tích như viết

phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu…

Nhược điểm: Tính toán cồng kềnh, phức tạp làm học sinh dễ nản

Chú ý: Vì nhược điểm của bài toán nên khi tính toán chúng ta nên chọn các điểm có tọa độ liên quan nhiều đến số 0 và tận dụng các câu có mối liên quan tới nhau để đỡ mất công tính toán và khi tính các vtvp hoặc vtcp ta chọn sao cho các vecto đó đơn giản dễ tính Mặt khác phải biết kết hợp các công thức giữa tọa độ và không gian

Trang 3

- Diện tích thiết diện

+ Diện tích của tam giác: 1 ;

Thể tích hoặc diện tích của một hình hỗn hợp thì ta chia thể tích thành các phần nhỏ hơn và cộng lại

Bài toán cực trị, quỹ tích

Trang 4

'(0;0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; '(0; ; )

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHA – 2006) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),

B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

b Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc , biết cos 1

Bài 2: (ĐH – B 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D

b Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc giữa hai đường thẳng

Trang 5

Bài 3: (ĐH A – 2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A /B/C/D/ có A trùng với gốc của hệ tọa độ biết B(a;0;0), D(0;a;0), A/(0;0;b) (a > 0, b > 0) Gọi M là trung điểm cạnh CC /

a Tính thể tích khối tứ diện BDA/M theo a và b

Bài 4: (ĐH – D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông

cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo

Trang 6

2

3 ' '

a

0; ;02

Bài 1: (ĐHDB – A1 – 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A1B1C1D1 có A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A1(0;0; 2 )

a Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P)

b Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C Tính diện tích thiết diện của hình chóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q)

AE cắt A1B tại J, AF cắt A1D tại K Thiết diện là tam giác IJK

Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1

có A(0;0;0), B(2;0;0), D1(0;2;2)

a Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương

1 1 1 1

ABCD A B C D Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh hai mặt

phẳng (AB1D1) và (AMB1) vuông góc với nhau

b Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng

AC1 ( N  A) đến hai mặt phẳng (AB1D1) và (AMB1) không phụ

thuộc vào vị trí của điểm N

Trang 7

t

Vậy tỉ số khoảng cách từ NAC N1  A t 0 tới 2 mặt phẳng AB D và 1 1 AMB không phụ 1

thuộc vào vị trí của điểm N

Bài 3: (ĐHDB – A1 – 2006) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có các cạnh ' ' ' '

3

2

a

AB ADa AA  và góc BAD 60 o Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A D ' '

và A B' ' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng BDMN Tính thể tích khối chóp A BDMN

Hướng dẫn giải:

Vì AB ADa và góc BAD 60o ABD là tam giác đều nên đáy là hình thoi

Gọi O là tâm hình thoi qua O dựng Oz/ /AA '

Chọn hệ trục tọa độ sao cho O0;0; 0là gốc tọa độ

16

ABDM ABDN

a

Trang 8

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Bài 4: (ĐHDB – D2 – 2006) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a và điểm K thuộc ' ' ' 'cạnh CC' sao cho 2

3

CK  a Mặt phẳng ( ) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương

thành hai khối đa diện Tính thể tích của hai khối đa diện đó

Đáp số:

3 1

3

a

V  ;

3 2

23

a

V 

Dạng 2: Với hình chóp đều

1 Hình chóp tam giác đều S ABC

Dấu hiệu: Đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h

Gọi I là trung điểm của BC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I 0; 0;0

Bài 1: (ĐH – A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và

N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam

giác AMN , biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Giải:

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC Gọi I

là trung điểm của BC, ta có:

Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ

trục tọa độ như hình vẽ ta được:

z

y

h M N

I C

B S

Trang 9

Vì S.ABC là hình chóp đều nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

Bài 1: (ĐH – B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu

vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a

Đáp số: Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH)SC n  0

với n BH BA , 

C

  M B x

A

z

S

Trang 10

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt

phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau

Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA SB;

 

nên có pháp vectơ n1

Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA SC;

2 Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Dấu hiệu: Đáy là hình vuông, đường cao vuông góc với đáy từ đó ta thiết lập hệ tọa độ như sau

Cách chọn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SOh và đường chéo a 2

Chọn O0;0; 0 là tâm của hình vuông và là gốc tọa độ

A

z

H B

M y C

Trang 11

Lấy một đỉnh bất kỳ và dựng đường thẳng song song với SO

Giả sử từ A ta dựng Az/ /SO Chọn hệ trục như sau

Bài 1: (ĐH B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm

đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh

MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC

42,

Trang 12

Bài tập tự giải:

Bài 1: (ĐHDB – D1 – 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường

cao của hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b Tính thể tích của khối chóp S.ABCD





Bài 2: (ĐH – B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt

đáy bằng  ( 00 <  < 900 ) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo  Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và 

Đáp số: tanSMO  2 tan và 3

.

2tan6

ABCD là hình chữ nhật AB a AD; b chiều cao bằng SAh

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho AO0; 0; 0

Khi đó : B a ; 0;0Ox C a b;  ; ; 0Oxy;

0; ;0 ; 0; 0; 

2 Đáy là một hình thoi ABCD

Dấu hiệu: Hai đường chéo vuông góc với nhau và cạnh bên SA vuông góc với đáy

Cách chọn:

ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng SAh

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O0;0; 0 là tâm hình thoi và là gốc tọa độ, từ O dựng Oz/ /SA

Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OC, OD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D và suy ra tọa độ điểm S với A C, Ox B D; , Oy

Hoặc:

ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho AO0; 0; 0, qua A dựng Ay/ /BD

0; 0; 

SOzS h Tùy vào giả thiết để tính được độ dài đoạn OA, OB từ đó tìm được tọa độ các đỉnh

A, B, C, D

3 Đáy là hình thang vuông tại A, D (tương tự với B, D)

Dấu hiệu: Hình thang vuông tại A, D và cạnh bên SA vuông góc với đáy

Cách chọn: ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng SAh

Chọn hệ tọa độ sao cho AO0; 0; 0; SOzS0; 0;h

Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với

DOy BOx COxy

Hoặc:

ABCD là hình thang vuông tại A, D, chiều cao bằng SAh

Chọn hệ tọa độ sao cho DO0;0; 0; Dz/ /SA

Trang 13

Tùy vào giả thiết tính độ dài các cạnh AD, AB, CD từ đó tìm được tọa độ các đỉnh A, B, C, D với

AOy COx BOxy

4 Đáy là hình vuông ABCD (thiết lập tương tự như hình thoi hoặc hình chữ nhật)

Bài 1: (ĐH – D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABC BAD900, BA = BC = a ,

AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB

Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

d H SCD

 

Bài 2: (ĐHDB – B1 – 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến

Trang 14

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Bài 3: (ĐH – A 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A2;0; 0 , B0;1; 0 , S0;0; 2 2  Gọi M là trung điểm của cạnh SC

a Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích hình chóp S.ABMN

Bài 4: (ĐH – B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 ,

SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể

tích của khối tứ diện ANIB

I

Trang 15

Đường thẳng AC đi qua A và có vtcp AC a a; 2; 0a1; 2; 0

a t

I a

Bài 1: (ĐHDB – B1 – 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh , a  BAD 60 ,o

SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SAa Gọi C' là trung điểm của SC Mặt phẳng  P đi qua

318

S AB C D

a

Bài 2: (ĐHDB – B2 – 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C

thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho

612

S ABC

R

Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng

a,SAa 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC

Trang 16

Đáp số:

3

36

ABa AD a cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 o Trên cạnh

SA lấy điểm M sao cho 3

10 327

S BCNM

a

Bài 5: (ĐHDB – B1 – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Chứng minh SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK

Đáp số:

3 227

OAHK

a

B Hình chóp S.ABC có SA  (ABC)

1 Đáy là tam giác vuông tại A (bài toán tam diện vuông)

Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại A và cạnh bên SA vuông góc với đáy

Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại A có ABa AC; b đường cao bằng SAh

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho AO0; 0; 0

Khi đó : B a ; 0; 0Ox; C 0; ; 0 b Oy;S0;0;hOz

2 Đáy là tam giác vuông tại B (tương tự vuông tại C)

Dấu hiệu: Tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với đáy

Cách chọn: Tam giác ABC vuông tại B cóBAa BC; b đường cao bằng SAh

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho BO0; 0; 0, dựng Bz/ /SA

Bài 1: (ĐHDB – D2 – 2002) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng

Trang 17

Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục như hình vẽ:

Bài 2: (ĐHDB – D1 – 2003) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC

= 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh rằng tam giác

AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ sao cho BO0; 0; 0,A a ; 0;0Ox C, 0; 2 ; 0a Oy S a,  ; 0; 2aOxz

M là trung điểm của SC ; ;

a BH

Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc với

2(0;0; 0), (0; 5;0), (0; 0; 2 ), ; ;0

M

C y

a 5 H

B

A K

x a 5

Trang 18

Bài 3: (ĐHDB – B1 – 2004) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và vuông góc với đáy ABC, tam giác

ABC có AB = BC = 2a, góc ở B bằng 1200 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

Giải:

Gọi I là trung điểm của AC

Ta có trong tam giác vuông ABI tại I có

0 0

Bài 4: (ĐH – D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường

thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Gọi M là hình chiếu của A trên SB M 

Đường thẳng SC đi qua điểm C và nhận vecto ; 3; 2

Trang 19

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Hướng dẫn:

Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A(0; 0;0), B(a;0;0),

C(0;a;0), (0; 0; 2)

2

a

a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là i  (1;0; 0)

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC:

Vì I là trung điểm của BC ; ; 0

A Hình chóp S.ABCD có (SAB)  (ABCD)

Dấu hiệu: Đáy là hình vuông và mặt bên vuông góc với đáy nên từ S hạ SH vuông góc với AB

Cách chọn:

ABCD là hình vuông cạnh a, dựng Az/ /SH với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB

Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho

0; 0; 0

AO , BOxB a ; 0;0, DOyD0; ; 0a , COxyC a a ; ;0, để tọa độ điểm S ta tính đoạn SH và HA

Hoặc:

ABCD là hình vuông cạnh a, dựng Hy/ /BC với H là chân đường cao hạ từ S xuống AB

Chọn hệ trục như hình vẽ sao cho

Tiêu đề	Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải toán hình học không gian
Người hướng dẫn	Nguyễn Thành Long
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Báo cáo tốt nghiệp
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Bắc Ninh

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	903,89 KB