Một Úng dụng của Đạo hàm trong bài toán chứa tham số

Trang I/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của phương trình có chứa tham số 4 II/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của bất phương trình có chứa tham số 13 III/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phươ

MỤC LỤC

1/ Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán cấp THPT hiện nay, các bài toán liên quan đến tham sốcóthể xếp vào nhóm kỷ năng bậc cao trong tư duy và thực hành của học sinh Do đókhông ít học sinh e ngại khi đúng tới các vấn đề liên quan đến tham số Để giải các bàitoán dạng : Điều kiện có nghiệm; số nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc K củaphương trình; bất phương trình; hệ phương trình, hệ bất phương trình đòi hỏi học sinhphải có kiến thức tổng hợp , khả năng suy xét phán đoán và tính chặt chẽ khi giải loạitoán này

Trang

I/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của phương trình có chứa tham số 4

II/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của bất phương trình có chứa tham số 13

III/ Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương

trình có chứa tham số

16

PHẦN MỞ ĐẦU

Cách giải loại toán này là thường quy về tam thức bậc hai,biện luận các khả năngxảy ra rồi sử dụng các điều kiện so sánh nghiệm, xét dấu các nghiệm để đi tìm đápsố, cũng có thể giải bằng phương pháp đánh giá tuỳ theo từng bài toán Xong, giảiquyết các bài toán dạng trên chúng ta còn một công cụ rất mạnh nữa là dựa vào chiềubiến thiên của hàm số , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua việc ứngdụng đạo hàm để giải.

Hiện nay, với chương trình phân ban sách giáo khoa viết theo tinh thần giảm tảicho học sinh đã luợt bỏ các nội dung về so sánh một số với các nghiệm tam thức bậchai ở chương trình đại số 10, nên việc giải các bài toán liên quan đến so sánh nghiệmthường quy về xét dấu nghiệm Cách làm này không né tránh khỏi phức tạp ở đa số bàitoán chứa tham số Với lý do đó nên khi giảng dạy cho học sinh trong lớp 12 ôn tậpchương trình tôi đã định hướng cho học sinh khai thác ứng dụng đạo hàm trong giải toán

, đặc biệt là” Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán có chứa tham số “, nhằm

trang bị thêm cho các em về phương pháp giải và giảm nhẹ mức sai sót cho học sinh khigiải toán Huy vọng giúp ích được nhiều cho các em trong quá trình ôn tập kiến thức

2/ Mục đích và nhiệm vụ nghiện cứu

Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống và giúphọc sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm, nên trong phạm vi của đề tàinày tôi xin trình bày một ứng dụng của đạo hàm trong việc nghiên cứu nghiệm của cácphương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất phương trình đại số có chứa thamsố Xuất phát từ cơ sở lý thuyết về ứng dụng đạo hàm xét chiều biến thiên, giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số từ đó giới hạn phạm vi giá trị tham số thoả mãn yêucầu, nhiệm vụ của bài toán

3/ Nội dung

Tài liệu này được trình bày thông qua việc phân loại theo nhóm dạng bài toán:

* Phần A: Cơ sở lý thuyết

* Phần B: Nội dung :

I/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm phương trình có chứa tham số

II/ Sử dụng đạo hàm để xét số nghiệm của bất phương trình có chứa tham số

III/Dùng đạo hàm để xét nghiệm của hệ phương trình và hệ bất phương trình có

chứa tham số

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

PHẦN A : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Mệnh đề 1: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất trên D

Khi đó hệ phương trình x D f x( )

Mệnh đề 3: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất trên D

1 Bất phương trình : f x( ), có nghiệm trên D khi và chỉ khi max ( )

Mệnh đề 4: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và đạt được giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất trên D

1)Bất phương trình : f x( ), có nghiệm trên D khi và chỉ khi min ( )

Mệnh đề 5: Cho phương trình f(x) = g(x) với xD

Giả sử trên miền xD hàm f(x) luôn luôn đồng biến còn hàm g(x) luôn nghịch biến Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm, thì có nghiệm duy nhất

Định Lí (Điều kiện đủ của tính đơn điệu)

Giả sử hàm số f có đoạ hàm trên khoảng I

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

c) Nếu f’(x) =0 với mọi x thuộc I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

PHẦN B: NỘI DUNG

I/ DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

1/ Phương trình đa thức:

Ví dụ1: Tìm m để phương trình mx 2 + 2mx -3 = 0 có nghiệm x 1; 2

Giải :

Phương trình được viết lại dạng: (x2+2x)m = 3 (1)

* Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (1)

* x ≠ 0, chia hai vế phương trình ta được 2

32

m

x x



 Xét hàm số 2

3( )

Nhận xét: Vớùi cách giải này học sinh né được vấn đề phải so sánh nghiệm mà chương

trình mới không trang bị

2/ Phương trình vô tỉ

Ví dụ 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 1 m x21

Giải :

* Phương trình xác định với mọi số thực x

Chia hai vế phương trình cho x 2 1, ta được:

2 1

1

x

m x







* Xét hàm số ( ) 2 1

1

x

f x

x





 , liên tục trên R

* 2

2 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x              và 2 2 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x            Ta có 2 2 1 '( ) ( 1) 1 x f x x x     ; f’(x) =0  x = 1 Bảng biến thiên

x -  1 +

f’(x) + 0

2

f(x)

-1 1

Dựa vào bảng biến thiên , số nghiệm của phương trình tuỳ thuộc vào giá trị m như sau : m ≤ -1 hoặc m > 2 phương trình vô nghiệm -1<m≤ 1hoặc m = 2 Phương trình có một nghiệm 1 < m < 2 Phương trình có hai ngiệm phân biệt

Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 1 x m m x   Giải : * Phương trình xác định với mọi x R Phương trình đưa về dạng x m x ( 2 1 1) Nhân hai vế phương trình với x  2 1 1 ta được : 2 2 ( 1 1) x x   mx (1) * Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình (1) * x≠ 0 , chia hai vế x2 , đưa phương trình về dạng : x2 1 1 m x    * Xét hàm số f x( ) x2 1 1 x    , trên R\ 0  Hàm số liên tục trên từng khoảng xác định * Dễ dàng tính được lim ( ) 1; lim ( ) 1 x f x x f x        và lim ( )0 ; lim ( )0 x  f x x  f x       

2 2 2 1 1 '( ) 0, \ 0 1 x f x x R x x          Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0 ; 0;   Bảng biến thiên

x - 0 +

f’(x)

-1 +

f(x) - 1

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm phương trình 1 tuỳ theo giá trị m như sau: m< -1 hoặc m > 1 Phưong trình có 1 nghiệm -1 ≤ m ≤ 1 Phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt 2 2 8 ( 2) x  x  m x ( Đề ĐH khối B -2007) Gi ả i * Giả thiết m>0 , do đó điều kiện x 2 * Với x 2 x2 +2x +8 ≥ 0, bình phương hai vế phương trình ta được: x4 2 x 22 m x(  2) (1)

 2 2 4 ( 2) (2)

x x x m         Phương trình (1) luôn có một nghiệm x= 2 * Xét hàm số f(x) = (x+4)2(x-2) = x3+ 2x2 + 8x - 32 trên ( 2; + ), là hàm số liên tục Ta có

2 2 2 20 '( ) 3 4 8 3 0, 3 3 f x  x  x  x    x    hàm số luôn đồng biến f(2) = 0, xlim ( )f x    Bảng biến thiên : x 0 2 +

f’(x) +

+

f(x) 0

-32

Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy với m > 0 đồ thị hàm số y= m cắt đồ thị y = f(x) tại một điểm duy nhất , do đó với m > 0 phương trình (2) luôn có nghiệm duy nhất Vậy, với m > 0 phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt

 Nhận xét : Những bài toán tương tự thế này học sinh thường mắc lỗi khi không xác

định giá trị giới hạn của hàm số khi x tiến ra hoặc x tiến đến giá trị không xác định của hàm số Do đó ta cần nhấn mạnh phải kiểm tra giới hạn của hàm số trước khi lập bảng biến thiên

* Tiếp theo ta xét thêm các bài toán phải đặt ẩn phụ

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 6 x (3x)(6 x)m (1)

Gi ả i:

Nhận xét: Trong một phương trình chứa tổng và tích, thông thường ta đặt t bằng tổng

khi đó tích có thể biểu diễn qua tổng Điều này có thể khắc sâu trong lối mòn tư duy cho học sinh Bài toán trên có thể giải như sau:

* Điều kiện xác định của phương trình :    3 x 6

2 2 2 2

t    x   t  x   t

Vậy điều kiện theo t : 0 t 2

Ta có phương trình theo t : m(t+2) = 2-t2 +t

2 2

2

t t m

t

 (2)

* Xét ( ) 2 2 2 t t f t t      , trên đoạn 0; 2   Hàm số liên tục

  2 2 4 '( ) 2 t t f t t      trên 0; 2 , f’(t) < 0 , hàm số nghịch biến trên 0; 2 min ( )0; 2 f t f( 2) 2 1; max ( )0; 2 f t f(0) 1             

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn 0; 2     Điều đó có khi min ( )0; 2 f t m max ( )0; 2 f t 2 1 m 1               Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x1m x 1 24 x2 1 (1) Giải : * Điều kiện x ≥ 1 3 x1m x 1 24 x21 1 4 1 3 2 1 1 x x m x x        * Đặt 4 1 1 2 (0 1) 1 1 x x t t t x x          Ta có phương trình theo t m =-3t2 +2t (2)

* Xét f(t) = -3t2 +2t trên 0;1; f’(t)= -6t+2 , f’(t) =0  1 3 t  Bảng biến thiên x 0 1

3 1

f’(t) + 0

1

f(t) 0 -1

(1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm trên nửa khoảng 0;1 Dựa vào bảng biến thiên, điều đó có khi 1 1 3 m    3/ Dạng phương trình mũ và logarít Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

21 1 2 2 (m1)log (x 2) ( m 5)log (x 2)m1 0 (1) có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 2x1x24

Giải :

* Điều kiện x > 2

* Đặt 1

2

log ( 2)

t x ; 2 x 4   t 1

Ta có phương trình theo t: (m-1)t2 – (m-5)t +m-1 = 0

 (t2 - t+1)m = t2 -5t+1

 22 5 1

1

t t m

t t



  (2)

*Xét hàm ( ) 22 5 1 1 t t f t t t      trên khoảng 1; f(t) là hàm số liên tục và xác định trên 1; 2

2 5 1 1 lim ( ) lim 1 1 1 1 x x t t f t t t           ; 2 2 2 4 4 '( ) ( 1) t f t t t     , trên 1; f’(t)=0  t=1 Ta có bảng biến thiên t -1 1 +

f’(t) 0 - 0 +

73 1

f(t) -3

(1) có hai nghiệm x1, x2 thoả 2x1x2 4, khi (2) có hai nghiệm t1, t2 thoả -1< t1≤t2 Dựa bào bảng biến thiên ta được -3≤ m <1 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 91  1 x2 (m 2)31  1 x2 2m 1 0      (1)

Giải: * Điều kiện :    1 x 1 * Đặt 1 1 2 3 x t    , 3≤ t ≤ 9 Ta có phương trình theo t: t2 (m2)t2m 1 0  t2 2 1t m t(  2) (*) Vì 3≤ t ≤ 9 nên t-2 ≠ 0 (*) 2 2 1 2 t t m t      * Xét ( ) 2 2 1 2 t t f t t     ; trên 3;9 Ta có 2 2 4 3 '( ) ( 2) t t f t t     ; f’(t) =0  t=1 hoặc t=3 Trên đoạn 3;9 , Ta có bảng biến thiên t 3 9

Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t3;9

Dựa vào bảng biến thiên, ta được 4 64

7

m

4/ Dạng phương trình lượng giác

Ví dụ 1: Cho phương trình 2cos cos 2 cos 3x x x m  7 cos 2x

Xác định m để phương trình trên có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn 3 ;

* Biến đổi phương trình về dạng : 3 2

2cos 2x cos 2x 8cos 2x m

Ta có phương trình theo t: -2t3 –t2 +8t = m

* Xét hàm số f(t)= -2t3 –t2 +8t ; 2; 2

7 2 1

2

 f(t)

* Điều kiện cos2x sin2xcos 2x0

* Biến đổi lượng giác ta được

Dựa vào bảng biến thiên thì khi m 18 thì phương trình sẽ có nghiệm

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x3 x218mx 2m0

Có ba nghiệm dương phân biệt

2/ Tìm m để phương trình : (x2+2x)2 –(m+1) (x2+2x)+m +1=0 có 3nghiệm phân biệt x

 3 ; 0



3/ Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn ba thì phương trình

5/ Tìm m để phương trình sau sau có nghiệm x 1 m x2 x1

6/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x44x m 4 x44x m 6

7/ Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

2 2

log x log x 1 2m1 0 8/ Tìm m để phương trình : 22 1 2 4 2

1/ Bất phương trình vô tỉ

Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình : m x( 2 2x 2 1)x(2 x) 0 (1)

có nghiệm thuộc đoạn 0;1 3

  ( Đề dự bị ĐH Khối A 2007 )

Gi ả i

* Vì x2-2x +2 =(x-1)2+1 ≥1 , nên bất phương trình xác định với mọi x

Bất phương trình được viết lại dạng 2 2

* 3 2 3

x  x  m x x (x33x21)( x x1)3 m (1)

* Xét các hàm số

+ h(x)= x3 +3x2 +1, xác định trên 1; và h’(x)= 3x2 +6x  h’(x) >0 ,x 1;  h(x) đồng biến trên 1;

+ g x( ) ( x x1)3, xác đinh trên 1; ,

Do đó hàm số f(x)= h(x).g(x) đồng biến trên 1;

Bất phương trình (1) có nghiệm  m min ( )1;  f x f(1) 5



2/ Bất phương trình mũ và logarit

Ví dụ 1 : Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình

* Ta có bất phương trình theo t: mt2 +4(m-1)t +m-1 >0  (t2 + 4t +1)m > 4t+1

Với t >0 thì t2+4t+1 >0 Chia hai vế bất phương trình với t ta được 2

t + 4t +1, trên khoảng 0;  Dễ thấy lim ( ) 0

Dựa vào bảng biến thiên

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x  (2) nghiệm đúng t > 0

Điều đó có khi m >1

* Bất phương trình (1) xác định xR

* Chai hai vế cho 2 2

4 xx , ta được

* Ta có bất phương trình mt2 – (2m+1)t +m ≤ 0  (t-1)2m ≤ 2t

t=1 là một nghiệm của bất phương trình

t> 1, (t-1)2 >0 Chia hai vế bất phương trình cho (t-1)2 ta được

 2

21

t m t



 (2)

* Xét hàm số  2

2( )

  Hàm số nghịch biến trên (1; +)

* Bảng biến thiên

t 1 +

Dựa bào bảng biến thiên

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x thoả x 12

 (2) nghiệm đúng với mọi t≥1 Điều đó có khi m > 0

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1/ Tìm m để bất phương trình (4x)(6 x) x2 2x m

Nghiệm đúng với mọi x thuộc 3;6

2/ Cho bất phương trình m.2x 1 (2m 1)(3 5)x (3 5)x 0

1/ Hệ phương trình

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với m≠0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 2

2 2

22

m

x y

y m

2 2

Vì x>0, y>0 nên 2xy+x+y>0, do đó (3)  x-y=0 hay y=x

Thế vào (1) ta được : 2x3 = x2 +m2  2x3 –x2 = m2 (4)

* Xét hàm số f(x) = 2x3-x2 trên (0; +∞ )