Chuyên đề bất đẳng thức

ười thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức . Tâm lý nhiều học sinh chưa chú trọng đến nội dung bài này, còn lúng túng và mắc nhiều sai sót khi giải bất đẳng thức và các dạng toán liên quan điều này ảnh hưởng không tốt đến chất lượng học môn toán. Trong đề tài này tôi trình bày một số các bất đẳng thức, một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, các ví dụ áp dụng và bài tập tương ứng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9 dạy chủ yếu trong một số giờ luyện tập thích hợp và các giờ dạy nâng cao. 2. Mục đích nghiên cứu: Giúp giáo viên dạy toán THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việc nghiên cứu, dạy bất đẳng thức. Giúp học sinh có kiến thức sâu hơn về bất đẳng thức, góp phần học tốt hơn môn toán. Đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh . Qua việc triển khai đề tài này góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốt nội dung bất đẳng thức và do đó sẽ dạy học tốt môn toán trong trường THCS. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học bất đẳng thức ở trường THCS Triển khai đề tài trong qua trình dạy học bằng cách lựa chọn các bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đưa vào một số tiết học phù hợp. Chẳng hạn trong các tiết dạy các hằng đẳng thức đáng nhớ của chương I, các tiết dạy về biến đổi các biểu thức hữu tỉ của chương II môn toán đại số 8. Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên toán qua đó thấy được hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung bất đẳng thức cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng học bất đẳng thức nói riêng cũng như học môn toán nói chung. 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Đối tượng là một số vấn đề, thực trạng về dạy và học bất đẳng thức của giáo viên, học sinh THCS. Lý thuyết bất đẳng thức ở SGK, các phương pháp để giải toán chứng minh bất đẳng thức. Một số tài liệu được tham khảo được sử dụng cho học sinh THCS, hiện đang được nghiên cứu, thử nghiệm tại trường THCS Tôi áp dụng đề tài này trong qua trình giảng dạy môn toán lớp 8A trường THCS Âu Lâu 5. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp tôi sử dụng để nghiên cứu trong đề tài này chủ yếu là các phương pháp sau: Phương pháp thực nghiệm sư phạm. Phương pháp nghiên cứu lý luận. Phương pháp điều tra, phỏng vấn. PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Như chúng ta đã biết “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài hình thành đội ngũ lao động có trí thức và tay nghề, có năng lực tự chủ, năng động, sáng tạo” đó chính là mục tiêu của giáo dục và đào tạo, góp phần đào tạo những con người phát triển toàn diện để phục vụ cho sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc. Vì vậy, đối với những người làm công tác giáo dục luôn luôn phải chăm lo đến chất lượng dạy và học, luôn học hỏi, trau dồi những kinh nghiệm, tìm ra những phương pháp, hình thức giảng dạy, phù hợp với trình độ và khả năng nhận thức của học sinh, nhằm tạo cho học sinh niềm say mê , hứng thú trong học tập. Trong lĩnh vực giảng dạy toán ở trường THCS dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là một mảng kiến thức hay, khó và phong phú, nó có mặt trong nhiều chương trình bồi dưỡng, thi vào các lớp 10 THPT chuyên. Đặc biệt đối với các thầy giáo, cô giáo khi bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu nó càng thiết thực hơn. Muốn tạo điều kiện tốt nhất giúp các em tự tin khi học tập thì thầy, cô giáo cần phải cung cấp cho các em đầy đủ những kiến thức cơ bản nhất, giúp các em định hướng cho mình những dạng toán cơ bản để có thể vận dụng vào giải toán. Vì vậy mỗi giáo viên nói chung và giáo viên giảng dạy bộ môn toán nói riêng phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền đề cơ bản để học sinh học nâng cao môn toán và tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức như : các tính chất của bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức… Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức” giúp học sinh có được phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện nhanh, chính xác, ngắn gọn ngoài ra qua tìm hiểu phương pháp chứng minh này giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết chứng minh như thế nào? có những phương pháp chứng minh nào ngắn gọn , chính xác mà dễ hiểu nhất ? Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT, thi vào các trường THPT chuyên và còn có cả trong các đề thi vào các trường đại học hàng năm. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện hiện nay còn ít giáo viên quan tâm, nghiên cứu. Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là rất thiết thực và cần thiết nhằm giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. Thực trạng tại trường THCS Âu Lâu là trường vùng núi có điều kiện về mọi mặt còn khó khăn. Sự quan tâm của phụ huynh học sinh chưa đúng mức, một số học sinh ý thức học tập thấp. Do đó việc học nói chung và môn toán nói riêng còn hạn chế. Mặt khác bất đẳng thức là một nội dung khó, ít đề cập trong chương trình toán THCS, nên dẫn đến tình trạng: Giáo viên: Còn ngại khai thác dạy học bất đẳng thức. Chưa đầu tư nghiên cứu bất đẳng thức một cách hệ thống. Học sinh: Kiến thức về bất đẳng thức được trang bị quá ít, nên rất khó khăn khi giải các bài tập liên quan đến bất đẳng thức nói riêng cũng như khó khăn trong giải toán nói chung. Chương 2: Các biện pháp sư phạm nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức 1. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm Tìm hiểu sự ham thích của học sinh khối 8 trường THCS Âu Lâu đối với việc học bất đẳng thức. Kiểm tra về kiến thức, kĩ năng làm các bài tập có liên quan đến nội dung bất đẳng thức của học sinh khối 8. 2. Biện pháp 2: Dạy về bất đẳng thức cho học sinh khối 8 Tôi chọn các bất đẳng thức phù hợp với kiến thức của học sinh để giúp học nắm được các bất đẳng thức, chứng minh chúng và vận dụng được trong giải một số bài tập. Ở chương trình dạy nâng cao, tôi đưa vào bài dạy các bất đẳng thức một cách hệ thống. Đồng thời soạn ra các bài tập tương ứng giúp học sinh vận dụng được kiến thức về bất đẳng thức. Quá trình thực hiện đề tài này tôi đã đưa vào chương trình dạy của mình các nội dung như sau: Dạy hệ thống các bất đẳng thức phù hợp và các tính chất của chúng; Dạy học sinh các phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức cũng như yêu cầu bộ môn đối với học sinh lớp 8A của trường THCS Âu Lâu . Cụ thể: A. Kiến thức cần nắm về bất đẳng thức: 1. Định nghĩa bất đẳng thức: Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b; a b; a b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức. 2. Tính chất bất đẳng thức: 1) a > b ; b >c a > c 2) a >b a + c > b + c 3) a > b ; c > 0 ac > bc a > b ; c < 0 ac < bc 5) a > b ; c > d a + c > b + d a > b ; c < d a c < b d 6) a > b 0 ac > bd 7) a > b > 0 ; 0 < c < d > 8) a > b > 0 an > bn a > b an > bn (n lẻ) an > bn ( n chẵn ) 9) Nếu m > n > 0 thì a >1 am > an a =1 am = an 0 < a < 1 am = an 10) a > b , ab > 0 < 3. Các hằng bất đẳng thức: 1) a2 0 với a R. Dấu bằng xẩy ra khi a = 0 2) 0 với a R. Dấu bằng xẩy ra khi a = 0 3) a với a R. Dấu bằng xẩy ra khi a 0 4) + với a, b R. Dấu bằng xẩy ra khi ab 0 5) với a, b R. Dấu bằng xẩy ra khi ab>0 và B. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1. Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A B. Nếu hiện A B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh. 1.2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ1: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: Giải: Xét hiệu: B = Bỏ ngoặc, phân tích B thành nhân tử ta được: B = (a + b) (a b)2 Vì a > 0 , b > 0 a + b > 0 mà (a b)2 0 B 0 Theo định nghĩa Dấu bằng xẩy ra a = b Ví dụ 2:  x, y, z chứng minh rằng :

Mục lục Trang

Phần I: Mở đầu 02

1 Lý do chọn đề tài 02

2 Mục đích nghiên cứu 03

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 04

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 04

5 Phương pháp nghiên cứu 04

Phần II: Nội dung 05

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 05

Chương 2: Các biện pháp 07

Biện pháp 1: 07

Biện pháp 2: 07

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 24

1 Mục đích thực nghiệm 24

2 Nội dung thực nghiệm 24

3 Kết quả thực nghiệm 35

Phần III: kết luận 40

Tài liệu tham khảo 42

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong trường THCS môn toán có một vị trí quan trọng Đây là môn văn hoá cơ bản được xây dựng nối tiếp toán tiểu học và làm cơ sở, đặt nền móng cho môn toán ở cấp THPT

Thực hiện chương trình đổi mới SGK, phương pháp dạy học mới có giảm tải kiến thức Toán học là dành cho mọi người, qua việc học toán phát triển trí tuệ chung, mà trước hết là hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy cần thiết, một nền tảng kiến thức kỹ năng cơ bản, chắc chắn với chức năng hoàn thiện con người trong xã hội hiện đại tạo sự năng động, hoà nhập xã hội Đó chính là bản chất thực sự của việc dạy toán ở trường THCS hiện nay

Tuy nhiên với mục tiêu phát triển toàn diện, phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi: công việc phát triển mũi nhọn ở mỗi trường học cần thiết phải phát triển, nâng cao một số nội dung một cách hệ thống, đầy đủ, sâu sắc hơn giúp học sinh lĩnh hội kiến thức, kỹ năng về môn toán tốt hơn cả chiều rộng lẫn chiều sâu Biết vận dụng kiến thức môn này vào giải toán, làm công cụ cho các môn khác, góp phần giúp học sinh phát triển trí tuệ mang lại niềm vui sáng tạo và yêu thích bộ môn toán hơn Bất đẳng thức là cơ sở cho học bất phương trình, các phép biến đổi tương đương bất phương trình được suy luận từ các tính chất của bất đẳng thức Việc sử dụng bất đẳng thức hợp lý sẽ giúp học sinh giải nhanh, gọn một số bài toán Đặc biệt là những bài toán tìm cực trị của một biểu thức Thậm chí trong bài tập hình học và cả giải phương trình nhiều khi ta cũng sử dụng bất đẳng thức

Vấn đề bất đẳng thức chưa được đề cập nhiều và hệ thống ở SGK Các công cụ, lý thuyết liên quan chưa đủ để giải bài toán nâng cao, dành cho học sinh khá, giỏi Có ít bài toán cũng như hằng bất đẳng thức được công nhận, cho phép sử dụng dẫn đến việc nâng cao kiến thức rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này của học sinh cũn hạn chế Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông

Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ

và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên

hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Trong quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh được phat triển đa dang và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống

Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức

vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hương nào Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác

Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu được của người dạy toán ,thông qua đó rèn luyện

Tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh Để làm được điều đó người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức

Tâm lý nhiều học sinh chưa chú trọng đến nội dung bài này, còn lúng túng

và mắc nhiều sai sót khi giải bất đẳng thức và các dạng toán liên quan điều này ảnh hưởng không tốt đến chất lượng học môn toán

Trong đề tài này tôi trình bày một số các bất đẳng thức, một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, các ví dụ áp dụng và bài tập tương ứng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9 dạy chủ yếu trong một

số giờ luyện tập thích hợp và các giờ dạy nâng cao

2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp giáo viên dạy toán THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việc nghiên cứu, dạy bất đẳng thức

Giúp học sinh có kiến thức sâu hơn về bất đẳng thức, góp phần học tốt hơn môn toán

Đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh

Qua việc triển khai đề tài này góp phần nâng cao chất lượng dạy - học tốt nội dung bất đẳng thức và do đó sẽ dạy - học tốt môn toán trong trường THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học bất đẳng thức ở trường THCS Triển khai đề tài trong qua trình dạy học bằng cách lựa chọn các bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đưa vào một số tiết học phù hợp Chẳng hạn trong các tiết dạy các hằng đẳng thức đáng nhớ của chương I, các tiết dạy về biến đổi các biểu thức hữu tỉ của chương II môn toán đại số 8

Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên toán qua đó thấy được hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung bất đẳng thức cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng học bất đẳng thức nói riêng cũng như học môn toán nói chung

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng là một số vấn đề, thực trạng về dạy và học bất đẳng thức của giáo viên, học sinh THCS

Lý thuyết bất đẳng thức ở SGK, các phương pháp để giải toán chứng minh bất đẳng thức Một số tài liệu được tham khảo được sử dụng cho học sinh THCS, hiện đang được nghiên cứu, thử nghiệm tại trường THCS

Tôi áp dụng đề tài này trong qua trình giảng dạy môn toán lớp 8A trường THCS Âu Lâu

5 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp tôi sử dụng để nghiên cứu trong đề tài này chủ yếu là các phương pháp sau:

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp điều tra, phỏng vấn

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Như chúng ta đã biết “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài hình thành đội ngũ lao động có trí thức và tay nghề, có năng lực tự chủ, năng động, sáng tạo” đó chính là mục tiêu của giáo dục và đào tạo, góp phần đào tạo những con người phát triển toàn diện để phục vụ cho sự nghiệp xây dựng và bảo

vệ Tổ Quốc

Vì vậy, đối với những người làm công tác giáo dục luôn luôn phải chăm lo đến chất lượng dạy và học, luôn học hỏi, trau dồi những kinh nghiệm, tìm ra những phương pháp, hình thức giảng dạy, phù hợp với trình độ và khả năng nhận thức của học sinh, nhằm tạo cho học sinh niềm say mê , hứng thú trong học tập Trong lĩnh vực giảng dạy toán ở trường THCS dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là một mảng kiến thức hay, khó và phong phú, nó có mặt trong nhiều chương trình bồi dưỡng, thi vào các lớp 10 THPT chuyên Đặc biệt đối với các thầy giáo, cô giáo khi bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu

nó càng thiết thực hơn Muốn tạo điều kiện tốt nhất giúp các em tự tin khi học tập thì thầy, cô giáo cần phải cung cấp cho các em đầy đủ những kiến thức cơ bản nhất, giúp các em định hướng cho mình những dạng toán cơ bản để có thể vận dụng vào giải toán Vì vậy mỗi giáo viên nói chung và giáo viên giảng dạy

bộ môn toán nói riêng phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền

đề cơ bản để học sinh học nâng cao môn toán và tiếp tục học lên ở THPT

Khi giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức như : các tính chất của bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức… Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp

“Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức” giúp học sinh có

được phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện nhanh,

chính xác, ngắn gọn ngoài ra qua tìm hiểu phương pháp chứng minh này giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo trong giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.

Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết chứng minh như thế nào? có những phương pháp chứng minh nào ngắn gọn , chính xác mà dễ hiểu nhất ?

Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT, thi vào các trường THPT chuyên và còn có cả trong các đề thi vào các trường đại học hàng năm Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện hiện nay còn ít giáo viên quan tâm, nghiên cứu

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là rất thiết thực và cần thiết nhằm giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS

Thực trạng tại trường THCS Âu Lâu là trường vùng núi có điều kiện về mọi mặt còn khó khăn Sự quan tâm của phụ huynh học sinh chưa đúng mức, một số học sinh ý thức học tập thấp Do đó việc học nói chung và môn toán nói riêng còn hạn chế Mặt khác bất đẳng thức là một nội dung khó, ít đề cập trong chương trình toán THCS, nên dẫn đến tình trạng:

Giáo viên: Còn ngại khai thác dạy học bất đẳng thức Chưa đầu tư nghiên cứu bất đẳng thức một cách hệ thống

Học sinh: Kiến thức về bất đẳng thức được trang bị quá ít, nên rất khó khăn khi giải các bài tập liên quan đến bất đẳng thức nói riêng cũng như khó khăn trong giải toán nói chung

Chương 2: Các biện pháp sư phạm nâng cao chất

lượng dạy học bất đẳng thức

1 Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

Tìm hiểu sự ham thích của học sinh khối 8 trường THCS Âu Lâu đối với việc học bất đẳng thức

Kiểm tra về kiến thức, kĩ năng làm các bài tập có liên quan đến nội dung bất đẳng thức của học sinh khối 8

2 Biện pháp 2: Dạy về bất đẳng thức cho học sinh khối 8

Tôi chọn các bất đẳng thức phù hợp với kiến thức của học sinh để giúp học nắm được các bất đẳng thức, chứng minh chúng và vận dụng được trong giải một số bài tập

Ở chương trình dạy nâng cao, tôi đưa vào bài dạy các bất đẳng thức một cách hệ thống Đồng thời soạn ra các bài tập tương ứng giúp học sinh vận dụng được kiến thức về bất đẳng thức

Quá trình thực hiện đề tài này tôi đã đưa vào chương trình dạy của mình các nội dung như sau: Dạy hệ thống các bất đẳng thức phù hợp và các tính chất của chúng; Dạy học sinh các phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức cũng như yêu cầu bộ môn đối với học sinh lớp 8A của trường THCS Âu Lâu Cụ thể:

A Kiến thức cần nắm về bất đẳng thức:

1 Định nghĩa bất đẳng thức:

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b; a ≤ b; a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

6) a > b ≥ 0 ⇒ ac > bd

7) a > b > 0 ; 0 < c < d⇒

c

a >

d b

1) a 2 ≥ 0 với ∀ a∈R Dấu bằng xẩy ra khi a = 0

2) a ≥ 0 với ∀ a∈R Dấu bằng xẩy ra khi a = 0

3) a ≥ a với ∀ a∈R Dấu bằng xẩy ra khi a ≥ 0

4) a+ ≤b a + b với ∀ a, b ∈R Dấu bằng xẩy ra khi ab ≥ 0

5) a− ≥b a - b với ∀ a, b ∈R Dấu bằng xẩy ra khi ab>0 và

Bỏ ngoặc, phân tích B thành nhân tử ta được: B =

1 [(x− y) 2 + (x−z) 2 + (y−z) 2]≥ 0đúng với mọi x;y;z∈R

Vì (x-y)2 ≥0 với ∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 ≥0 với ∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 ≥0 với ∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z)2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z∈R

Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z∈R

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu

x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z )

= x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1

= (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2 ≥ 0

Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

1.3 Bài tập tương tự:

Bài 1: Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ 2xy + 2yz - 2x

Bài 2: Cho a, b, c > 0 chứng minh:

bc+a +

ca+b

(x+z)2 ≥ 4xz (3)Nhân từng vế của (1), (2), (3) ⇒[(x+y)(y+z)(x+z)]2 ≥ (8xyz )2 (Tính chất 6)

2+b +c =

abc c b a

1 1 1

1 1 1

− + 〈

abc

1

2.3 Bài tập tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng:

2 2

a

b +

2 2

b

c +

2 2

Bài 2: Cho x + y = 2 Chứng minh : x2 + y2 ≥ 2

3 Phương pháp biến đổi tương đương: ( phương pháp phân tích)

3.1 Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

12 8 4 4 8 12 12 10 2 2

Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát.

4.3 Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức

Bài 1: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi a, b

5.1 Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A ≥

B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A ≥ B) Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A ≥ B ( hoặc A < B) là đúng.

Phương pháp giải như trên gọi là phương pháp phản chứng.

Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0

Vậy a > 0 Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0

Ví dụ 2:

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có

ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a2 < 4b , c2 < 4d

5.3 Bài tập tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng: 4(a3+b3) - (a+b)3≥0 với a, b > 0∀

Bài 2: Cho x3 + y3 = 2 Chứng minh x+ y ≤ 2

6 Phương pháp quy nạp toán học:

6.1 Phương pháp giải: Nếu bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học Ta cần thực hiện 3 bước sau:

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n 0 là giá trị

tự nhiên bé nhất của n theo yêu cầu của đề bài)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n 0 ) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n ∈N.

1 2

1

2

1 1

1

2 2

1 1

2

1 1

1

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2 + + +k + k+ < −k+ k+ < −k+

⇔

(k ) k k

k

1 1

1 1

1 )

1 (

1

1

1

2 2

+

+ +

<

+ + +

2 1 ( 2 ) ( 1 ) )

1 (

1

1 < ⇔ + < + +

+ +

k k

k k k

k

⇔k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh

6.3 Bài tập tương tự

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥3 thì: n2 > n + 5

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

1 1 1+ + + >1

7 Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến:

7.1 Phương pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x ≥ a và x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x ≥ a ⇔x-a 0≥ hay x < a ⇔x -a < 0.

Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trước hết ta chuyển vế để đưa về dạng đó.

8 Phương pháp làm trội: ( hoặc làm giảm)

8.1 Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C ≤ B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B) Tương tự đối với phương pháp làm giảm.

L

u ý:

Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :

S = u1+u2+ +u n

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp

2 2

1

+ +

=

n n

n a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

+ + + +

+ +

<

n n n

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1 1

= +

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

8.3 Bài tập tương tự

Bài tập: Chứng minh: 1 + 1 + 1 + + 1 < 2

n+1 n+2 n+3 3n+1 Với n nguyên dương.

9 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển: ( Bất đẳng Côsi

và bất đẳng thức Bunhiacốpxki)

9.1 Phương pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển Trong phạm vi chương trình THCS , tôi xin giới thiệu và hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) , bất đẳng thức Bunhiacốpxki và Bất đẳng thức Trê- bư-sép để chứng minh các bất đẳng thức khác.

a Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,…,an là các số không âm Khi đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi a1= a2 = …= an

b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1, a2,…,an và b1, b2,…,bn khi

c b a

⇒

3

.33

C B A c b a cC bB

c b a

⇒

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

⇒ a+b , b+c , c+a xác định.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với 2 bộ số:

a1=1, a2=2, a3=3, b1= a+b , b2= b+c , b3 = c+a

ta có: (1 a+b +1 b+c +1 c+a )2 ≤ (1+1+1)(a+b+b+c+c+a)

⇔ ( a+b + b+c+ c+a )2 ≤3.2 (vì a+b+c=1)

⇔( a+b+ b+c+ c+a ≤ 6

Ví dụ 2: Cho a, b, c, d >0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

2 2 2

x

Ta có 2 + 2 + 2 ≥2( + )= 2( + 1 )≥ 4

ab ab cd

ab c

ac ab

≥ +

≥

≥

b a

c c a

b c b

2 2 2

+ +

+ +

≥ +

+ +

+

c c a

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c b

a

3

.

2 2 2 2

2

2

3 3

1

=

2 1

Vậy

2

1

3 3

3

≥+

++

+

c c a

b c b

a Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

3 1

* Lưu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacôpxki ở đây không đề cập mà chỉ hướng dẫn các em chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều bất đẳng thức đã biết khác.

+ Khi sử dụng bất đẳng thức Côsi thì cần chú ý các số áp dụng phải có điều kiện ≥ 0 còn bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì không cần điều kiện các số ≥0 nhưng phải áp dụng cho 2 bộ số.

+ Ngoài 2 bất đẳng thức hay sử dụng cho học sinh THCS đã nêu ở trên thì các em có thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.

- Nếu Δ > 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm (x 1 ,

x 2 ) và khác dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm.

10.2 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki đã nêu trong phần (9)

Giải:

Vì a = (y2 + 1)2 > 0 vậy f( )x,y > 0 (điều phải chứng minh)

* Nhận xét: khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức như ví dụ của (10) đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu của tam thức bậc hai nhưng kiến thức đó chưa được chính thức giới thiệu ở bậc THCS nên hơi khó đối với các em Do đó tôi chỉ giới thiệu ví dụ trên để HS tham khảo.