Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy chuyên đề “Bất đẳng thức Karamata và áp dụng”

Hệ thống các tính chất của hàm lồi, hàm lõm. Giới thiệu một số bất đẳng thức mới được xây dựng trên bất đẳng thức Karamata, từ đó giúp giáo viên và học sinh có thể sáng tạo ra một số bài toán chứng minh bất đẳng thức cho nhiều lớp hàm khác nhau. Giúp học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo của mình thông qua các dạng bài tập áp dụng.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIM ANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY

CHUYÊN ĐỀ “BẤT ĐẲNG THỨC

KARAMATA VÀ ÁP DỤNG”

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - NĂM 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ KIM ANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY

CHUYÊN ĐỀ “BẤT ĐẲNG THỨC

KARAMATA VÀ ÁP DỤNG”

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

Mã số: 8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2019

LỜI CẢM ƠNQua quá trình nghiên cứu và làm việc nghiêm túc, luận văn tốt nghiệpcủa em đã hoàn thành Trước khi trình bày nội dung của luận văn, em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô, bạn bè và gia đình đã giúp đỡ,

ở bên cạnh em suốt thời gian qua

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến GS.TSKH NguyễnVăn Mậu Thầy đã hướng dẫn, quan tâm, giúp đỡ, chỉ bảo em tận tình trongsuốt quá trình thực hiện luận văn Thầy không chỉ giúp đỡ em về mặt chuyênmôn mà trong quá trình làm việc, em đã được học hỏi tinh thần làm việcđầy trách nhiệm và tâm huyết của thầy

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể các thầy cô giáo trường Đạihọc Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã truyền đạt cho em rất nhiềukiến thức quý báu trong suốt thời gian học cao học vừa qua và đã tạo điềukiện giúp em hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng nhưng luận văn của em không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Em rất mong nhận được những góp ý từ các thầy cô và bạn đọc

để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 2 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thị Kim Anh

DANH MỤC CÁC BẢNGBảng 3.1 Phân phối tần số kết quả của bài kiểm tra

số 1 47Bảng 3.2 Phân phối tần suất kết quả bài kiểm tra

số 2 50Bảng 3.8 Tổng hợp phân loại kết quả bài kiểm tra

số 2 50

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒBiểu đồ 3.1 Tần suất học sinh đạt điểm Xi

trong bài kiểm tra số 1 48Biểu đồ 3.2 Đường lũy tích phần trăm số học sinh đạt điểm

Xi trở xuống trong bài kiểm tra số 1 49

Biểu đồ 3.3 Phân loại kết quả học tập của học sinh bài

kiểm tra số 1 49

Biểu đồ 3.4 Tần suất học sinh đạt điểm

Xi trong bài kiểm tra số 2 51

Biểu đồ 3.5 Đường lũy tích phần trăm số học sinh đạt điểm

Xi trở xuống bài kiểm tra số 2 51Biểu đồ 3.6 Phân loại kết quả học tập của học sinh bài

kiểm tra số 2 52

Mục lục

1.1 Một số vấn đề về tư duy 7

1.1.1 Khái niệm tư duy 7

1.1.2 Các thao tác tư duy và phân loại tư duy 7

1.1.3.Các giai đoạn của quá trình tư duy 8

1.1.4.Đặc điểm cơ bản của tư duy 9

1.1.5.Các loại hình tư duy 10

1.2 Tư duy sáng tạo 11

1.2.1.Khái niệm về sáng tạo 11

1.2.2.Khái niệm về tư duy sáng tạo 11

1.2.3.Đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo 12

1.2.4.Mối liên hệ giữa tư duy sáng tạo với các loại hình tư duy khác 14

1.2.5 Những biểu hiện tư duy sáng tạo của học sinh trong Toán học 15

1.3 Đặc điểm,chức năng của chuyên đề bất đẳng thức Karamata và khả năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 17

1.3.1.Mục đích dạy học bất đẳng thức Karamata 17

1.3.2.Nội dung chương trình Toán liên quan đến chuyên đề bất đẳng

thức Karamata 17

1.3.3 Đánh giá chung về thực trạng dạy bất đẳng thức Karamata trong trường trung học phổ thông theo định hướng phát triển tư duy sáng tạo 17

1.3.4.Khả năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy chuyên đề bất đẳng thức Karamata 19

Tiểu kết chương 1 20 CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ "BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA VÀ ÁP DỤNG" 21 2.1 Bất đẳng thức Karamata 21

2.2 Bất đẳng thức đan dấu 26

2.3 Độ gần đều và thứ tự sắp được của một dãy các tam giác 27

2.4 Một số ví dụ nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua áp dụng định lí Karamata 32

2.5 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy các dạng toán về bất đẳng thức Karamata và áp dụng 35

2.5.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua các dạng toán ở mức độ vận dụng bất đẳng thức Karamata 35

2.5.2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi thông qua các đề thi HSG và Olympic liên quan 39

Tiểu kết chương 2 42 Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 43 3.1 Khái quát về thực nghiệm sư phạm 43

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 43

3.1.2 Nội dung thực nghiệm 43

3.1.3 Đối tượng thực nghiệm 43

3.1.4 Thời gian thực nghiệm 43

3.1.5 Tổ chức thực nghiệm 43

3.2 Kết quả thực nghiệm 44

3.2.1 Các phương diện đánh giá 44

3.2.2 Phân tích kết quả thực nghiệm 45

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, với sự phát triển của xã hội thì sáng tạo luôn đóng vai tròquan trọng Chính vì vậy, giáo dục có nhiệm vụ vô cùng quan trọng là đàotạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không chỉ có kiếnthức lí luận tốt mà còn vận dụng linh hoạt các kiến thức lí luận đó vào trongmọi công việc thực tiễn Trong 13 kỹ năng cần có của người lao động ở thế

kỉ XXI do Ủy ban Đào tạo và phát triển Mỹ công bố thì tư duy sáng tạo

là kỹ năng đứng đầu.Ở nước ta, định hướng dạy học phát triển tư duy sángtạo cũng đã được đưa vào điều 5 của Luật Giáo dục: “Phương pháp dạy họcphải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo cho ngườihọc; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng tự thực hành, lòngsay mê học và ý chí vươn lên”.Trong quá trình giảng dạy môn Toán, để giúphọc sinh say mê sáng tạo cần phải làm cho học sinh hiểu rõ, Toán học làmôn văn hoá cơ bản được xây dựng nối tiếp toán tiểu học và làm cơ sở, đặtnền móng cho môn toán ở cấp THPT (trung học phổ thông).Học toán giúpphát triển trí tuệ chung, hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy cầnthiết, phát triển tư duy lôgic, khả năng tìm tòi, tư duy sáng tạo, khả năngphân tích trong toán học và đời sống Từ đó, đào tạo ra những con người có

kỹ năng cơ bản chắc chắn, giúp cho con người có sự năng động, hòa nhậptốt trong xã hội hiện đại Đây chính là mục tiêu, bản chất đích thực của việcdạy toán hiện nay

Việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đặc biệt làtrong việc dạy và học toán đang nhận được rất nhiều sự quan tâm Trongnhững năm qua, hệ thống các lớp chuyên toán đã bồi dưỡng được rất nhiềutài năng Toán học, tham gia các kì Olympic đạt thứ hạng cao trên thế giới,đào tạo ra nhiều cán bộ có chất lượng cao cho đất nước Như vậy, phải đưa

ra được các biện pháp thích hợp trong khi dạy Toán nhằm rèn luyện và pháttriển tư duy sáng tạo cho học sinh Trong chương trình toán phần kiến thứcbất đẳng thức là một nội dung hay và khó đối với học sinh mà trong các đềthi học sinh giỏi, đề thi đại học thường có các bài toán bất đẳng thức đòi hỏihọc sinh phải có khả năng tư duy và năng lực giải toán nhất định Tuy nhiên

kiến thức về bất đẳng thức trong sách hệ thống SGK (sách giáo khoa) chưađược đề cập nhiều Phương pháp, công cụ và lý thuyết chưa đủ để học sinhkhá giỏi có thể giải quyết được các bài toán nâng cao Rất ít các hằng đẳngthức và bài toán được công nhận để cho phép sử dụng để giải quyết các bàitập khác Do đó, việc nâng cao kiến thức, cơ hội rèn luyện kỹ năng giải toánbất đẳng thức của học sinh cũng bị hạn chế Vì thế mà bất đẳng thức luônđược cho là một trong những dạng bài tập khó nhất của toán trung học phổthông.

Nhưng chính nhờ các bài toán về chứng minh bất đẳng thức mà họcsinh hiểu kỹ và sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình,mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác với các bài toán cực trị của biểuthức Qua quá trình giải các bài toán bất đẳng thức, năng lực sáng tạo củahọc sinh được phát huy tối đa vì các bài tập về bất đẳng thức thường khôngđược giải theo bất kỳ khuôn mẫu nào Bất đẳng thức đòi hỏi người học phảilinh hoạt, sáng tạo, suy nghĩ logic để có thể kết hợp kiến thức cũ với kiếnthức mới

Tuy nhiên, cũng vì đặc thù của bất đẳng thức là không có cách giải,phương pháp theo một khuôn mẫu nào nên khi gặp phải học sinh rất lúngtúng Các em không biết phải đi từ đâu, đi theo hướng nào Do đó, đa số cáchọc sinh không biêt làm các bài tập bất đẳng thức và không áp dụng đượcbất đẳng thức vào các bài toán khác

Xuất phát từ những lý do trên , tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là:Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy chuyên đề

“Bất đẳng Karamata và áp dụng”

2 Lịch sử nghiên cứu

Từ thế kỉ III, tư duy sáng tạo đã được nhà toán học người Hy LạpPappos bắt đầu nghiên cứu Sau đó đã có rất nhiều nhà khoa học khác cốgắng xây dựng và phát triển tư duy sáng tạo nhưng vẫn chưa được đông đảomọi người biết đến Đến thế kỉ XX, sự sáng tạo đã được biết đến như mộthiện tượng khá phổ biến trong xã hội Cũng từ đó, sáng tạo bắt đầu đượcquan tâm và nghiên cứu kĩ lưỡng, đặc biệt trong phát triển trí tuệ Ở Mỹ cácnhà khoa học đã đưa ra tuyên bố bồi dưỡng nhân cách sáng tạo là một trongnhững vấn đề mang tính quốc gia Năm 1950, nhà tâm lí học Mỹ Guiford.J.P

đã đưa ra mô hình phân định trí tuệ bao gồm trí thông minh và sáng tạo.

Đó chính là một mốc quan trọng giúp sáng tạo được nghiên cứu một cách có

hệ thống Ở giai đoạn này, có rất nghiều nghiên cứu thành công về sáng tạocủa các nhà khoa học, nhà tâm lí học tên tuổi như: May (1961), Torrance

E P (1962, 1963, 1965, 1979, 1995), Các tác giả Liên Xô cũng đã có rấtnhiều thành tựu trong việc nghiên cứu về sáng tạo của con người

Thập kỉ 70 của thế kỉ XX, ở Việt Nam cũng bắt đầu có những nghiêncứu giá trị về sáng tạo, tiêu biểu như "Rèn luyện khả năng sáng tạo toánhọc ở trường phổ thông" của Hoàng Chúng (1964);"Khơi dậy tiềm năng sángtạo" của Nguyễn Cảnh Toàn (2004); "Tâm lí học sáng tạo" của Nguyễn Đức

Uy (1999); Trong rất nhiều các nghiên cứu của các tác giả nôi tiếng, khôngthể không nhắc đến tác giả Tôn Thân với nghiên cứu "Xây dựng hệ thốngcâu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo chohọc sinh khác giỏi ở trường trung học cơ sở Việt Nam" [5] Trong nghiên cứucủa mình, tác giả cho rằng biểu hiện của tư duy sáng tạo là không rập khuônvới những gì đã cũ, tìm được quan hệ giữ những cái tưởng như mới để tìm

ra phương pháp giải toán độc đáo và sáng tạo

Có rất nhiều đề tài đã nghiên cứu về tư duy sáng tạo như : "Phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học tính tích phân ở lớp 12Trung học phổ thông (ban nâng cao)"; luận văn thạc sĩ giáo dục học củatác giả Hoàng Thị Xuân (2012) với đề tài "Phát triển tư duy sáng tạo chohọc sinh trung học cơ sở thông qua dạy học chương trình Tam giác đồngdạng";

Cũng có một số đề tài nghiên cứu về Bất đẳng thức Karamata như: Tiếptục tiếp nối và kế thừa các nghiên cứu đi trước, tôi sẽ tập trung tìm kiếmcách tiếp cận mới, khác biệt nhằm phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh

3 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận về tư duy sáng tạo và vận dụng dạy học phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chuyên đề “ Bất đẳng thứcKaramata và áp dụng” ở trường THPT

- Giúp giáo viên dạy toán THPT có quan điểm coi trọng việc nghiêncứu, dạy bất đẳng thức và đặc biệt là bất đẳng thức Karamata

- Giúp học sinh nắm được các kiến thức chắc chắn hơn về bất đẳng thức

- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Karamata vàcác bất đẳng thức được xây dựng từ bất đẳng thức Karamata Đưa ra một

số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Karamata phù hợp với học sinh

- Triển khai đề tài này nhằm rèn luyện được tư duy sáng tạo cho họcsinh

4 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Tư duy sáng tạo cho học sinh THPT DươngQuảng Hàm tỉnh Hưng Yên

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán, cụ thể là chuyên

đề " Bất đẳng thức Karamata và áp dụng"

5 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu về giáodục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu các tài liệu, các bài báo khoa học, hội thảo toán học đểphục vụ cho đề tài

b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra giáo dục

- Tìm hiểu, lấy ý kiến tổng hợp từ các chuyên gia

- Quan sát, nghiên cứu thực nghiệm

- Hệ thống các kinh nghiệm từ công tác giáo dục

c) Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án soạn theo hướng phát triểnnăng lực và hệ thống bài tập nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đềtài

d) Phương pháp thống kê toán học

- Sử dụng các phần mềm trong thống kê toán học, để xử lí số liệu điềutra chủ yếu dùng Excel

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm tường minh hơn khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo và các loại tưduy

- Nghiên cứu những biểu hiện của tư duy sáng tạo của học sinh nói

chung và đặc biệt là khả năng tư duy sáng tạo trong môn Toán nói riêng.

- Tìm hiểu thực trạng dạy học Rèn luyện tư duysáng tạo cho học sinh

và dạy chuyên đề “Bất đẳng thức Karamata và áp dụng”

- Khai thác và xây dựng hệ thống các dạng bài tập phù hợp theo từngbậc phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

- Thực nghiệm sư phạm một phần nội dung của kết quả nghiên cứuđược nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài

7 Giả thuyết nghiên cứu

- Nếu dạy học chuyên đề “ Bất đẳng thức Karamata và áp dụng” theohướng phát triển tư duy sáng tạo thì sẽ giúp học sinh chủ động tiếp thu kiếnthức, nâng cao khả năng tư duy từ đó phát triển năng lực sáng tạo cho họcsinh thông qua các biện pháp dạy học như:

Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

- Tìm hiểu sự ham thích của học sinh trường THPT Dương Quảng Hàmđối với việc học bất đẳng thức

- Kiểm tra kiến thức, kĩ năng giải bài tập, khả năng vận dụng linh hoạtvào các dạng bài có liên quan đến bất đẳng thức của học sinh

Biện pháp 2: Dạy về bất đẳng thức Karamata cho học sinhTHPT

- Lựa chọn các dạng bài tập về bất đẳng thức Karamata phù hợp vớinăng lực, kiến thức của học sinh

- Đối với chương trình dạy nâng cao, soạn ra hệ thống các bài tập có sựphân tầng giúp học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo bằng cách xây dựngđược các bài toán mới từ bài toán ban đầu

- Quá trình thực hiện đề tài các nội dung đã được tôi đưa vào chươngtrình như sau: Dạy hệ thống kiến thức về bất đẳng thức Karamata và cácbất đẳng thức được suy ra từ nó Nhờ vào hệ thống bài tập theo dạng hìnhthành nên phương pháp chứng minh cho học sinh của trường THPT DươngQuảng Hàm

8 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Giới hạn nghiên cứu: Chương trình Toán học lớp 12 THPT

- Địa bàn thực nghiệm: Lớp 12A1, 12A2 trường THPT Dương QuảngHàm, Huyện Văn Giang, Tỉnh Hưng Yên

9 Cấu trúc luận văn

Luận văn trình bày 3 chương chính và các phần mở đầu, kết luận, tàiliệu tham khảo, phụ lục :

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.2 Tư duy sáng tạo

1.3 Đặc điểm, chức năng của chuyên đề bất đẳng thức Karamata vàkhả năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

2.3 Độ gần đều và thứ tự sắp được của một dãy các tam giác

2.4 Một số ví dụ nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua áp dụngđịnh lí Karamata

2.5 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy cácdạng toán về bất đẳng thức Karamata và áp dụng

Tiểu kết chương 2

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Khái quát về thự nghiệm sư phạm

3.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm

Tiểu kết chương 3

Phần kết luận và khuyến nghị

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.1.1 Khái niệm tư duy

Quá trình nhận thức, tìm tòi bản chất, quy luật của những cái chưa biết

đó là quá trình tư duy

Đã có rất nhiều các cách khác nhau giải thích về khái niệm tư duy.Theo Tâm lý học, trong vật chất tư duy là một thuộc tính đặc biệt, có

tổ chức Các thuộc tính bản chất, mối liên hệ bên trong của sự vật, hiệntượng có tính quy luật trước đó đều được phản ánh thông qua tư duy.Theo nhận định của Art Costa thì tư duy được hiểu là sự cảm nhận củamỗi chúng ta khi tiếp nhận các dữ kiện, thông tin diễn ra xung quanh trongcác mối quan hệ

Dưới góc độ giáo dục, có thể hiểu tư duy là một hệ thống gồm nhiều ýtưởng, nó dùng suy nghĩ hay tái tạo suy nghĩ để nắm được bản chất của sựviệc và giải quyết được nó

Qua rất nhiều cách nhìn nhận về tư duy trên nhưng các tác giả đều cóđiểm tương đồng rằng: Tư duy là quá trình tâm lí phản ánh hiện thực kháchquan một cách gián tiếp, là sự khái quát những thuộc tính chung, có bảnchất là tìm ra những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật của sự vật, hiệntượng mà ta chưa biết

Như vậy, tôi có thể quan niệm: “Tư duy là một quá trình tâm lý có sựtìm kiếm và phát hiện ra các quy luật, thuộc tính bản chất của sự vật, hiệntượng”

1.1.2 Các thao tác tư duy và phân loại tư duy

Quá trình tư duy được tiến hành dựa trên các thao tác trí tuệ cơ bảnnhư:

• Phân tích - tổng hợp:

- Phân tích: là quá trình mà sử dụng trí óc phân chia đối tượng bản thânnhận thức được thành các phần khác nhau Từ đó tổng kết lại đưa ra đượccác thuộc tính, đặc điểm của đối tượng nhận thức Sau đó so sánh, phân loại,đối chiếu làm cho bản chất của đối tượng được rõ ràng

- Tổng hợp: là quá trình dùng trí óc để sắp xếp, kết hợp những thành phần,

thuộc tính của đối tượng nhận thức được làm sáng tỏ nhờ sự phân tích từ

đó nhìn nhận đối tượng một cách bao quát, toàn diện hơn

Tóm lại, đây là thao tác vô cùng quan trọng để giải quyết vấn đề, nó đượccoi là dấu ấn của sáng tạo

•So sánh - tương tự: chính là hoạt động tư duy để xác định sự giống và khácnhau giữa các sự vật, hiện tượng Nhờ có so sánh mà có thể tìm ra được cácdấu hiệu, thuộc tính giống nhau và khác nhau của các sự vật Ngoài ra cònthấy được dấu hiệu bản chất hay không bản chất của chúng

• Khái quát hóa - đặc biệt hóa: Là thao tác tư duy nhằm hệ thống các đốitượng lại với nhau thành một nhóm, một loại được chia theo thuộc tính, mốiliên hệ hay quan hệ chung nào đó

Tóm lại, khái quát hóa được hiểu là quá trình đi từ những cái riêng

lẻ, cái đặc biệt thành cái chung, cái tổng quát Cũng có thể là từ cái tổngquát đến cái tổng quát hơn nữa Trong toán học, người ta thường vận dụngkhái quát một số yếu tố hoặc nhiều yếu tố của các khái niệm, định lý, bàitoán, thành các kết quả tổng quát Bởi vậy khái quát hóa là một trongnhững năng lực cơ bản của năng lực Toán học còn đặc biệt hóa là thao tác

tư duy ngược của khái quát hóa Do đó, khi muốn khái quát hóa, ta nên thửđặc biệt hóa trước Nếu đặc biệt hóa cho kết quả là đúng thì khi đó ta mớitiến hành chứng minh dự đoán từ khái quát hóa

• Trừu tượng hóa: Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc nhằm gạt bỏnhững mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, những quan hệ thứ yếukhông cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố đặc trưng cần thiết, bản chất củađối tượng nhận thức Tóm lại, các thao tác tư duy cơ bản có thể coi là quyluật bên trong của mỗi hoạt động tư duy, các thao tác này đan chéo vàonhau không theo một trình tự nhất định và khi tư duy thì không nhất thiếtphải thực hiện tất cả các thao tác trên

1.1.3.Các giai đoạn của quá trình tư duy

Bốn bước cơ bản của tư duy như sau:

- Xác định vấn về, nhiệm vụ cần tư duy

- Huy động những tri thức, kinh nghiệm để hình thành cách thức giải quyếtvấn đề

- Xác minh tính đúng đắn của giả thiết, nếu giả thiết đúng thì thực hiện

bước tiếp theo, nếu giả thiết sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.

- Tiến hành kiểm tra kết quả và cho tổ chức thực nghiệm

1.1.4.Đặc điểm cơ bản của tư duy

a) Tính có vấn đề

Khi gặp những tình huống mà sự hiểu biết, nhận thức vấn đề cũ, phươngpháp hành động đã biết của con người không đủ giải quyết thì con người rơivào tình huống có vấn đề Con người sẽ phải tư duy, tìm cách vượt ra đượckhỏi phạm vi những hiểu biết cũ để đi đến cái mới

b) Tính gián tiếp

Tư duy con người có thể phản ánh gián tiếp về thế giới xung quang.Điều này được thể hiện rõ nhất thông qua cách mà con người sử dụng ngônngữ để tư duy Bên cạnh đó, trong quá trình tư duy cũng thể hiện tính giántiếp Khi đó, con người mở rộng khả năng nhận thức của mình Không chỉphản ánh được những sự việc trong hiện tại mà còn phản ánh cả quá khứ vàtương lai

c) Tính trừu tượng và khái quát

Các sự vật hiện tượng không chỉ được tư duy phản ánh một cách riêng

lẻ, chi tiết mà tư duy còn có khả năng trừu tượng phản ánh những thuộctính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung chonhiều sự vật, hiện tượng Từ đó, tư duy khái quát các sự vật, hiện tượng cụthể, riêng lẻ nhưng mang đặc điểm, tính chất chung thành một nhóm, mộtphạm trù

d) Tính độc lập tương đối

Hoạt động giao tiếp giữa con người luôn diễn ra hằng ngày trong cuộcsống Do đó, tư duy của mỗi người vừa tự biến đổi không ngừng trong quátrình giao tiếp của bản thân, vừa chịu những tác động từ tư duy của nhữngngười xung quanh Mặc dù tư duy được hình thành thông qua các hoạt độngthực tiễn nhưng nó vẫn có tính độc lập tương đối Kể từ sau khi xuất hiện,

tư duy phát triển dưới sự ảnh hưởng của những tri thức nhân loại đã tíchlũy trước đó Nó chịu sự tác động của các lí thuyết và quan điểm đang có lúcbấy giờ Tư duy phản ánh những đặc thù logic khách quan theo suy nghĩ vàhiểu biết riêng của mỗi người Đây là logic phát triển riêng của tư duy.e) Mối qua hệ giữa tư duy và ngôn ngữ

Tư duy mang nhiều đặc điểm một phần là do nó có quan hệ chặt chẽvới ngôn ngữ Quá trình tư duy của con người được diễn ra là nhờ sự giúp đỡcủa ngôn ngữ Bên cạnh đó, ngôn ngữ còn giúp những chủ thể khác tiếp nhậncác sản phẩm của tư duy như khái niệm, phán đoán Bên cạnh đó, ngôn ngữcòn giúp tư duy cố định lại kết quả Nó hỗ trợ giúp tư duy biểu đạt Vì vậy,ngôn ngữ và tư duy có mối quan hệ chặt chẽ, ngôn ngữ trở thành phươngtiện của tư duy.

f) Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức cảm tính

Nhận thức cảm tính gồm hai thành phần chính là cảm giác và chi giác.Cảm giác được hiểu đơn giản là quá trình phản ánh từng thuộc tính riêng rẽbên trong của sự vật, hiện tượng tác động một cách trực tiếp vào giác quancon người.Còn tri giác thì chính là quá trình phản ánh các thuộc tính bênngoài So với nhận thức cảm tính thì tư duy ở mức độ nhận thức cao hơn

về chất Ngược lại,khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính cũng chị ảnhhưởng mạnh mẽ của tư duy Cảm giác của con người nhạy bén hơn; tri giáccon người có tính lựa chọn hơn nhờ tư duy

1.1.5.Các loại hình tư duy

Có rất nhiều cách gọi tên và phân loại tư duy như tư duy logic, tư duytrừ tượng, tư duy sáng tạo, tư duy kinh nghiệm, tư duy lý luận, tư duy hoahọc, tư duy triết học, Việc phân chia rõ các loại hình tư duy có tác dụngphân biệt mục đích của từng loại và vận dụng tốt tư duy trong hoạt độngcủa hệ thần kinh Một số cách phân loại tư duy như sau:

Phân loại theo cách thể hiện

- Tư duy nhờ hình tượng

- Tư duy nhờ ngôn ngữ

Phân loại theo cách vận hành

- Tư duy kinh nghiệm

- Tư duy sáng tạo

- Tư duy trí tuệ

- Tư duy phân tích

- Tư duy tổng hợp

Phân loại theo tính chất

- Tư duy rộng, hẹp

- Tư duy sâu, nông

- Tư duy logic

- Tư duy đơn giản, phức tạp

- Tư duy lí luận

Phân loại theo nội dung

- Tư duy khoa học

- Tư duy nghệ thuật

- Tư duy tín ngưỡng

1.2 Tư duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Có rất nhiề quan điểm khác nhau về sáng tạo

Theo từ điển tiếng Việt cho rằng: Sáng tạo là tìm ra những cái mới,những cách làm, cách giải quyết mới, không bị rập khuôn, gò bó, phụ thuộcvào cái cũ

Theo quan điểm trong từ điển triết học thì lại cho rằng quá trình hoạtđộng của con người mà tạo ra những sản phẩm mới về cả vật chất và tinhthần thì được gọi là sáng tạo

Tóm lại, có thể hiểu sáng tạo là những ý tưởng, cách làm mới, cải tiến

từ những cái đã có sẵn rồi chọn lọc, tổng hợp lại thành một hình tượng mới.1.2.2.Khái niệm về tư duy sáng tạo

Theo tác giả G.Polya cho rằng:" Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tưduy đó dẫn đến một lời giải bài toán cụ thể nào đó; có thể coi là sáng tạonếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này;các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn,

có dạng phong phú thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao"

Chu Quang Tiềm lại có quan điểm cho rằng quá trình mà con người dựavào những ý tưởng, tài liệu có sẵn rồi cắt xén, chọn lọc và tập hợp lại thànhmột sản phẩm mới thì được gọi là sáng tạo Quan niệm này đã tập trungnhấn mạnh đến những cái đã biết, cái cũ làm cơ sở tiền đề cho sự sáng tạo[6, tr 295]

Theo Guilford J.P.(Mỹ) nói rằng: "Tư duy sáng tạo là tìm kiếm và thểhiện những phương pháp logic trong tình huống có vấn đề, tìm kiếm nhữngphương pháp khác nhau và mới lạ của việc giải quyết vấn đề, giải quyết

nhiệm vụ" Do đó, sáng tạo là một thuộc tính của tư duy, là một phẩm chấtcủa quá trình tư duy hay người ta còn gọi đó là tư duy sáng tạo.

Như vậy, qua rất nhiều các khái niệm về tư duy sáng tạo Mặc dù sángtạo được định nghĩa, giải thích ở nhiều góc độ khác nhau nhưng về bản chấtcác tác giả đều thống nhất cho rằng: tư duy sáng tạo là thuộc tính, phẩmchất trí tuệ đặc biệt của con người Hoạt động sáng tạo được diễn ra mọilúc, mọi nơi, mọi hoàn cảnh và lĩnh vực Bản chất của sự sáng tạo thể hiện

ở chỗ con người tìm ra những cái mới, cái độc đáo và có giá trị xã hội cao

Đó cũng chính là quan điểm chung mà tất cả các tác giả đều nhấn mạnhnhưng được nhìn nhận dưới các góc độ khác nhau Có tác giả quan tâm đếncái mới của sản phẩm hoạt động thì lại cũng có những tác giả quan tâm đếnphương thức để tạo ra cái mới Tuy nhiên cái mới cũng có nhiều các cấp độkhác nhau

Trong luận văn này, tác giả cũng có quan điểm rằng: Tư duy sáng tạo

là tư duy có khuynh hướng phát hiện, giải quyết vấn đề theo lối mới, hoặctạo ra ý tưởng mới, cách giải quyết mới không theo lối truyền thống đã có.1.2.3.Đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo

Có nhiều quan niệm về các đặc trưng của tư duy sáng tạo Theo các nhàtâm lí học, giáo dục học, đã nghiên cứu về cấu trúc của tư duy sáng tạo đãcho rằng: Tư duy sáng tạo bao gồm năm đặc trưng cơ bản là tính mềm dẻo(flexibility), tính nhuần nhuyễn (fluency), tính độc đáo (originality), tính chitiết (elaboration), tính nhạy cảm (sensitivity)

a) Tính mềm dẻo

Là khả năng biến đổi thông tin, kiến thức đã tiếp nhận được một cách

dễ dàng sang hoạt ddootngj trí tuệ khác Đó là năng lực chuyển đổi sơ đồ tưduy đã sẵn có trong đầu sang hệ tư duy khác

Tính mềm dẻo của tư duy thể hiện qua những đặc điểm sau:

+ Điều chỉnh nhanh chóng kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại;

+ Khi đứng trước những điều kiện, hoàn cảnh mới có sự thay đổi những yếu

tố thì không suy nghĩ rập khuôn, máy móc, áp dụng lối mòn sẵn có từ trước;+ Thoát ly khỏi được sự ảnh hưởng, kìm hãm của kinh nghiệm, cách thức,suy nghĩ có từ trước;

+ Trong điều kiện quen thuộc, vẫn phát hiện, nhìn nhận ra vấn đề, chức

+ Khả năng nhìn nhận đa chiều, toàn diện đối với một vấn đề;

+ Phát hiện, tìm tòi ra nhiều giải pháp cho cùng một ấn đề Từ đó chọn lọccác giải pháp để tìm được giải pháp tối ưu nhất

c) Tính độc đáo

Là khả năng nhìn nhận các sự vật hiện tượng, các vấn đề theo góc độkhác nhau

Tính độc đáo của tư duy thể hiện qua những đặc điểm sau:

+ Tìm và phát hiện ra được những mối liên hệ mới và các cách kết hợp mới.+ Khả năng tìm ra những phương pháp, cách thức giải quyết vấn đề mới lạ

và duy nhất so với cách giải quyết thông thường

d) Tính chi tiết

Là khả năng xây dựng kế hoạch, phối hợp ý nghĩ và hành động; pháttriển, kiểm tra, chứng minh ý tưởng Do đó, tính chi tiết giúp cho tư duy trởthành một quá trình, từ việc xác định được vấn đề cần giải quyết, huy độngvốn kiến thức, kinh nghiệm có thể sử dụng để giải quyết đến cách giải quyết

và kiểm tra kết quả.Nghĩa là các ý tưởng sáng tạo phải được hiện tượng hóathành sản phẩm có thể quan sát được

Tính chi tiết của tư duy thể hiện qua đặc điểm sau:

+ Khả năng lập kế hoạch mới từ những thông tin đã biết

e) Tính nhạy cảm

Tính nhạy cảm chính là năng lực phát hiện ra các vấn đề, sự mâu thuẫnhay sự không hợp lý một cách nhanh nhất và chính xác nhất Sự tinh tế,nhạy bén của các giác quan, cảm nhận được ý nghĩ của người khác

Tính nhạy cảm của tư duy thể hiện qua những đặc điểm sau:

+ Linh hoạt, nhanh nhạy trong phản ứng;

+ Khả năng tìm ra những giải pháp phù hợp, tối ưu trong những hoàn cảnhkhắc nghiệt, khó khăn, gấp rút

Qua đó, các đặc trưng của tư duy sáng tạo liên hệ chặt chẽ với nhau,tạo thành khối thống nhất không thể tách rời Nhưng trong đó, tính độc đáođóng vai trò quan trọng nhất trong việc biểu hiện sự sáng tạo Tính mềmdẻo và nhuần nhuyễn là cơ sở tiền đề để đạt được tính độc đáo, tính nhạycảm, tính chi tiết

1.2.4 Mối liên hệ giữa tư duy sáng tạo với các loại hình tư duykhác

a) Liên hệ giữa tư duy sáng tạo và tư duy biện chứng

Đối với tư duy biện chứng, khi ta xem xét một sự vật, hiện tượng thìphải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó Nói cáchkhác, thì ta phải kiểm tra trong mọi mặt, mọi mối quan hệ nằm trong tổngthể những mối quan hệ phong phú, đa dạng và muôn hình, muôn vẻ của nóvới các sự vật, hiện tượng khác Đây cũng là tiền đề tạo cơ sở cho học sinhhoạc toán một cách sáng tạo, linh hoạt, không gò bó, rập khuôn Bên cạnh

đó, ta cũng phải đặt sự vật, hiện tượng cần xem xét vào sự mâu thuẫn vàthống nhất để giúp học sinh học toán chủ động và sáng tạo Điều này thểhiện ở khả năng phát hiện vấn đề, đưa ra phương hướng giải quyết vấn đề

Vì vậy, tư duy biện chứng gắn bó chặt ché, mật thiết với tư duy sáng tạo,góp phần quan trọng trong việc thúc đẩy việc rèn luyện năng lực tư duy sángtạo cho học sinh

b) Liên hệ giữa tư duy sáng tạo và tư duy logic

Trong tư duy logic, tính đồng nhất các tiên đề phải được giữ vững trongquá trình tư duy Từ đó đưa ra kết luận mới chính xác Trong quá trình lậpluận mà có sự thay đổi nội dung các tiền đề thì không thể đưa ra kết luậnchính xác được

Trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề thì tư duy biện chứng đóngvai trò chủ đạo, phương hướng giải quyết vấn đề thì tư duy logic giữ vai tròthen chốt nhằm xác định chính xác của một phán đoán mới Các kiên thứctoán học được xây dựng và hình thành thông qua trừu tượng hóa, được pháttriển theo quy luật của tư duy biện chứng, còn sự sắp xếp và trình bày lại

mang hình thức của các quy luật tư duy logic Do đó, tư duy nói chung và

tư duy sáng tạo nói riêng cần có có sự thống nhất đặc biệt là trong toán học.c) Liên hệ giữa tư duy sáng tạo và tư duy phê phán

Ta nhận định tư duy phê phán là sự suy diễn và tư duy sáng tạo là suyluận quy nạp thì con người hiểu được tầm quan trọng của việc dạy tư duysáng tạo Quá trình mà con người phải đi đến một kết luận tổng quát từnhững cái cụ thể, riêng lẻ chính là suy luận quy nạp Bản thân suy luận quynạp không chứng minh được một quy luật tổng quát duy nhất là tồn tại, nềntảng của tư duy phê phán được xác định bởi các nhà triết học là logic.Ta sửdụng tư duy logic để chứng minh một điều gì đó là đúng và công nhận tínhđúng đắn của nó cho mọi tình huống khác Mặc dù tư duy phê phán có tínhchất khác tư duy sáng tạo nhưng chúng hỗ trợ đắc lực cho nhau trong quátrình học toán

1.2.5 Những biểu hiện tư duy sáng tạo của học sinh trong Toánhọc

Tư duy sáng tạo có vai trò quan trọng trong việc phát triển và hìnhthành nhân cách cũng như rèn luyện các năng lực trí tuệ cho học sinh Bồidưỡng, tạo sự thích thú, đam mê học tập, khuyến khích, khích lệ sự tìm tòi,khám phá, sáng tạo của học sinh Để nói về tầm quan trọng của việc tư duy

có mối liên hệ mật thiết với sự tồn tại con người, Decartes đã có câu nói nổitiếng:" Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại"

Thông qua thứ tự tăng dần của năng lực tư duy sáng tạo mà mức độsáng tạo của học sinh được sắp xếp Các biểu hiện của năng lực tư duy sángtạo trong Toán được thể hiện qua các khả năng sau:

a) Khả năng vận dụng thành thạo những kiến thức, kĩ năng đãbiết vào các bài toán, dạng toán mới

Khả năng này được biểu hiện rõ ràng nhất trong quá trình dạy học.Giáo viên cần quan tâm, phát hiện, chú trọng bồi dưỡng cho học sinh Ápdụng cách giải, cách trình bày đã có sẵn để giải một bài toán tương tự là kỹnăng mà tất cả các học sinh đều phải cố gắng để hình thành được trong quátrình học toán Biểu hiện của tư duy sáng tạo ở đây là với những kiến thức

cũ và kĩ năng đã học, học sinh có thể linh hoạt biến đổi được những bài toántrong các tình huống cụ thể, hoàn toàn mới về những bài toán quen thuộc,

để từ đó vận dụng những cách giải quen thuộc, dễ dàng giải nó Từ đó, giúphọc sinh vận dụng, rèn luyện được tính sáng tạo của bản thân khi giải nhữngbài toán mới.

b) Khả năng phát hiện, phát triển cái mới từ vấn đề quen thuộcVới một bài toán, học sinh phát hiện, nêu ra được vấn đề mới trong cácđiều kiện quen thuộc Phát hiện những chức năng mới trong đối tượng quenthuộc, tránh sự máy móc, rập khuôn, từ đó dễ dàng điều chỉnh được nhữnghướng giải quyết trong các điều kiện mới Biểu hiện này vô cùng quan trọngtrong việc giúp học sinh rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo

c) Khả năng nhìn nhận đối tượng dưới nhiều khía cạnh, góc độkhác nhau

Đa số học sinh khi cố gắng giải một bài tập mà thất bại thường có thái

độ chán nản, muốn bỏ cuộc chứ không chuyển sang hướng suy nghĩ khác haycách nhìn khác Tuy nhiên những thất bại mà học sinh trải qua lại có ý nghĩariêng của nó Nếu học sinh biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũng như cácyếu tố, giả thiết liên quan để từ đó cân nhắc xem nên thay đổi những yếu tốliên quan lại một lần nữa sao cho đạt kết quả tốt hơn thì sẽ có tác dụng rấtlớn trong việc hình thành và phát triển tư duy Nhìn nhận vấn đề, đánh giákhách quan các bài toán với các cách nhìn khác nhau, phát hiện ra cách giảimới, hay hơn, ngắn gọn hơn cho bài toán Đó cũng chính là một biểu hiệncủa tư duy sáng tạo trong việc học toán của học sinh

d) Khả năng biết kết hợp các kiến thức, phương pháp khácnhau để giải quyết một bài toán

Đối với một bài toán phức tạp đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiềukiến thức, kĩ năng và các phương pháp, cách giải khác nhau Đồng thời họcsinh cũng phải biết phối hợp nhuần nhuyễn các kiến thức, kĩ năng, phươngpháp, huy động những kinh nghiệm của bản thân, cùng với sự nỗ lực, pháthuy tính sáng tạo của mình để tìm ra vấn đề và giải quyết chúng Giải cácbài toán như vậy cũng là một biể hiện của tư duy sáng tạo trong học sinh.e) Khả năng tìm được nhiều cách giải khác nhau cho một bàitoán

Với những bài toán có những dữ kiện,điều kiện có thể xem xét dướinhiều khía cạnh khác nhau, học sinh sẽ biểu hiện rõ rệt khả năng tư duy,

năng lực tư duy chuyển từ hoạt động tư duy này sanh hoạt động tư duykhác Khả năng linh hoạt trong cách quan sát bài toán ở những khía cạnh,góc độ khác nhau được thể hiện rõ.

f) Khả năng tìm ra cách giải mới, độc đáo so với cách giải thôngthường

Rất nhiều bài toán, các dữ kiện dễ dàng quan sát được trực tiếp thôngqua giả thiết của bài toán nhưng cũng có rất nhiề bài giả thiết bị ẩn dướinhững cách diễn đạt, thậm chí đánh lừa khả năng tư duy thông thường củahọc sinh Khi giải các bài toán này, nếu phát hiện ra đúng vấn đề học sinh

sẽ tìm ra được cách giải độc đáo, không giống lối tư duy thông thường Biểuhiện của năng lực tư duy sáng tạo sẽ được bộc lộ và phát huy trong nhữngtình huống này

1.3 Đặc điểm, chức năng của chuyên đề bất đẳng thức Karamata

và khả năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1.3.2.Nội dung chương trình Toán liên quan đến chuyên đề bấtđẳng thức Karamata

Qua quá trình tìm hiểu, nghiên cứu thực trạng dạy học bất đẳng thứcKaramata ở một số trường trung học phổ thông, tác giả có một số nhận địnhnhư sau:

Dạy học theo hướng phát triển tư duy sáng tạo có rất nhiều cách đểtiến hành nhưng để đem lại hiệu quả cao thì không phải cách thức nào cũng

đạt được kết quả mong muốn.

Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến việc kết quả chưa như mong muốn.Nguyên nhân đầu tiên phải nhắc đến là yếu tố giáo viên Giáo viên là ngườitrực tiếp dạy học, giúp học sinh phát triển trí tuệ, hình thành các kĩ năngcần thiết mà trong đó nổi bật là kĩ năng tư duy sáng tạo Có rất nhiều cácthầy cô giáo tâm huyết với nghề Trong quá trình giảng dạy họ thường xuyêntrau dồi, học hỏi, sử dụng, đổi mới phương pháp dạy học để không ngừngnâng cao chất lượng dạy học Khi đó, học sinh không chỉ được trang bị kiếnthức mà còn phát triển năng lực tư duy rất nhiều Mặc dù vậy, bên cạnh đóvẫn còn số ít giáo viên chưa quan tâm đến việc rèn luyện tư duy, nhất là

tư duy sáng tạo Các thầy cô này vẫn giữ phương pháp dạy truyền thống,không tạo được hứng thú học tập cho học sinh

Chuyên đề bất đẳng thức Karamata là một chuyên đề hay và khó, phongphú cả về nội dụng và phương thức giảng dạy, hệ thống bài tập Một trongnhững chức năng đặc biệt quan trọng của nó là phát triển tư duy sáng tạocho học sinh Tuy nhiên, còn nhều thầy cô chưa biết vận dụng hiệu quả Giáoviên nhiều khi chỉ chú trọng luyện cho học sinh nhớ các bài tập cơ bản bằngcách giải tương tự để khi thi nếu gặp thì học sinh sẽ vận dụng máy móc bài

cũ để giải được bài Đặc biệt, trong các giờ dạy, giáo viên không tạo được

sự hứng thú, tò mò, mong muốn học hỏi khám phá của học sinh Vì vậy họcsinh không phát huy được năng lực tự học cũng như sáng tạo của bản thân.Bên cạnh đó, các đề kiểm tra còn thiên về đánh giá kiến thức, kĩ năng đãđược học của học sinh, Nói tóm lại, giáo viên chưa tạo được động lực đểkích hoạt tư duy sáng tạo của học sinh Trong quá trình giảng dạy của mình,nhiều giáo viên ít giao bài tập hoạt động nhóm cho học sinh dẫn đến hạnchế khả năng tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi của học sinh Điều này dẫn đến,mỗi lần trình bày trước lớp, học sinh chưa được tập luyện nhiều nên còn gặpnhiều khó khăn, không mạnh dạn đưa ra ý kiến của mình

Khi trực tiếp giảng dạy chuyên đề bất đẳng thức Karamata cho các lớp.Qua việc điều tra cho thấy phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn gặprất nhiều hạn chế cũng một phần nguyên nhân từ yếu tố học sinh Các emthường suy nghĩ máy móc, dập khuôn, không tích cực mà chỉ muốn đượchọc những kiến thức, cách làm để sao cho khi làm bài tập có thể áp dụng

ngay được Quá trình chuyển từ hoạt động tư duy này sang hoạt động tưduy khác các em chưa vận dụng linh hoạt các bước phân tích, tổng hợp, sosánh, khái quát hóa, trừ tượng hóa Biểu hiện rõ rệt cho vấn đề này là khichuyển từ dạng bài tập này sang dạng bài tập khác học sinh rất lúng túng.Cùng là một bài toán nếu đưa ra sẵn các điều kiện giống với bất đẳng thức

đã cho thì học sinh chứng minh được nhưng nếu ẩn điều kiện đi thi học sinhrất khó để giải quyết

Ngoài ra, một vấn đề phải kể đến nữa là học sinh hiện nay rất dễ mắcphải các sai lầm Các em thường bị sai do không đọc kĩ đề dẫn đến áp dụngsai Nguyên nhân chính của tình trạng này là do học sinh chưa hiể rõ bảnchất của định nghĩa và các khái niệm Chưa chắc chắn về hướng làm củamình

Đại đa số học sinh nếu gặp vấn đề khi làm bài thì sẽ ngay lập tức bỏcuộc Việc suy nghĩ tìm ra cách giải quyết khác cho bài toán là việc rất hiếmhoi của học sinh Học sinh thường không tạo cho mình thói quen đánh giábài toán ở nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau nên cũng hiếm học sinh mởrộng, khai thác triệt để được bài toán Chính vì vậy, học sinh gần như không

có khả năng ra được đề bài mới từ bài đã biết Đối với những học sinh giỏi,bài tập mới mà các em sáng tạo ra cũng chủ yếu là các bài tương tự với cácbài mà các em đã được học

Một nguyên nhân cũng quan trọng, không thể không nhắc đến là thái

độ học tập, tự giác, độc lập suy nghĩ, tư duy của học sinh còn chưa cao Các

em vẫn có tâm lí ỷ lại và giáo viên, chỉ học và làm những cái đã được hướngdẫn hoặc yêu cầu Rất ít học sinh tự mình tìm tòi, nghiên cứu những điềumới lạ Học sinh cũng lười tìm hiểu tài liệu, sách tham khảo để nâng cao kiếnthức, kĩ năng của mình

1.3.4.Khả năng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thôngqua dạy chuyên đề bất đẳng thức Karamata

Chuyên đề bất đẳng thức Karamata gắn với hầu hết các kiến thức toánhọc khác từ đa thức đến lượng giác Chính vì vậy nó đòi hỏi học sinh phải

có khả năng tư duy, sáng tạo, óc suy luận phong phú Thông qua dạy họcchuyên đề này, muốn kích thích, phát triển được tư duy sáng tạo cho họcsinh, giáo viên cần phải tạo tình huống để học sinh được làm quen với các

dạng bài tập có điều kiện, khả năng sáng tạo một cách thường xuyên, nângdần từng cấp độ Các bài tập ban đầu là làm quen, vận dụng luôn được bấtđẳng thức, sau đó nâng dần lên giải quyết các vấn đề tổng hợp hơn Sau mộtthời gian được rèn luyện, học sinh sẽ tự trang bị cho mình vốn kiến thức, kĩnăng nhất định Từ đó giúp học sinh có tư duy linh hoạt hơn khi đứng trướcmột bài toán.

Phương pháp dạy học tích cực của giáo viên giống như một chất xúctác tạo đà cho sự phát triển năng lực tư duy sáng tạo của học sinh điễn ranhanh hơn, mạnh hơn Khi giáo viên đặt được học sinh vào tình huống cầngiải quyết, tổ chức cho các em tìm tòi nghiên cứu, tự mình phát hiện ra kiếnthức mới thì sẽ giúp học sinh phát triển được khả năng tự học, sự sáng tạocủa học sinh Bên cạnh đó, giáo viên kết hợp phương pháp hỏi- đáp gợi mởhọc sinh thảo luận, khám phá, tìm tòi ra những đặc trưng, điểm thú vị củamỗi bài toán Khi đã có động lực, hứng thú học tập, học sinh sẽ hiểu kĩ, hiểusâu hơn Từ đó, học sinh sẽ đưa ra được những cách làm hay, độc đáo, sángtạo, ngắn gọn

Như vậy, bằng việc kết hợp một bài toán ở chuyên đề bất đẳng thứcKaramat với phương pháp dạy học đổi mới, đa dạng, phù hợp với học sinh

sẽ góp phần rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh

Tiểu kết chương 1Bằng những nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn nội dung chươngtrình Toán ở trung học phổ thông liên quan đến chuyên đề bất đẳng thứcKaramata Tác giả bước đầu mở ra được nội dung:Rèn luyện tư duy sáng tạocho học sinh khá giỏi thông qua dạy chuyên đề “Bất đẳng thức Karamata và

áp dụng" Đồng thời cũng đưa ra những thuận lợi và khó khăn của giáo viên

và học sinh trong quá trình dạy và học các bài tập chứng minh bất đẳng thứcKaramat theo hướng phát triển tư duy sáng tạo Kết quả nghiên cứu củachương này đã phần nào làm rõ tính cấp bách và cần thiết của đề tài Qua

đó, yêu cầu và đòi hỏi giáo viên phải tìm tòi ra được các biện pháp nhằmphát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Điều này vô cùng cần thiết, gópphần đào tạo ra những học sinh trở thành người lao động chất lượng cao, tựchủ, năng động, sáng tạo, linh hoạt, có năng lực giải quyết vấn đề mà thựctiễn đặt ra

CHƯƠNG 2RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC

SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY CHUYÊN ĐỀ

"BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA VÀ ÁP DỤNG"

2.1 Bất đẳng thức Karamata

Trong chương trình toán Giải tích phổ thông, ta thường gặp lớp các hàm số

f (x) xác định trong (a, b) có tính chất f0(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) (gắn vớilớp hàm đồng biến trong khoảng đó) và f0(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) (gắnvới lớp hàm nghịch biến trong khoảng đó)

Tương tự, khi hàm số f (x) xác định trong (a, b) có tính chất f00(x) > 0với mọi x ∈ (a, b) (gắn với lớp hàm lồi trong khoảng đó) và f00(x) < 0 vớimọi x ∈ (a, b) (gắn với lớp hàm lõm trong khoảng đó) Đối với lớp hàm này,

ta có định lý quan trọng sau đây với đối lớp hàm lồi

Định lý 2.1 Giả sử hàm sốf (x)xác định trong(a, b)có tính chấtf00(x) > 0với mọi x ∈ (a, b) Khi đó

f (x) ≥ f (y) + f0(y)(x − y), ∀x, y ∈ (a, b)

Chứng minh Nếu x ≥ y thì f (x) − f (y)

Theo tính chất của hàm lồi ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.1 Hai ví dụ trên cũng chính là bất đẳng thức Karamata cho 3

số Vậy để áp dụng cho nhiều số ta có phát biểu sau:

Định lý 2.2 (Bất đẳng thức Karamata, xem [4]) Cho hai dãy số

xk; yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, n thỏa mãn các điều kiện

x1 + x2 + x3 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + + yn−1

x + x + x + · · · + x = y + y + + y

(2.5)

Khi đó, với mọi hàm lồi thực sự f (x) (f ”(x) > 0) trên I(a, b) ta có

f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ f (y1) + f (y2) + · · · + f (yn)

Chứng minh Áp dụng với hàm f (x) lồi, ta có

f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) = max[

nXi=1

f (ti) +

nXi=1

Vì f ”(x) > 0 nên f0(xk) ≤ f0(xk−1) Mặt khác, do Sk(x) ≥ Sk(y)(k =

1, 2, 3, , n − 1) và Sn(x) = Sn(y)

Vậy định lý đã được chứng minh

Nhận xét 2.2 Khi cho trước một hàm phi tuyến ( hàm lồi, hàm lõm) tổngquát, sẽ vô cùng khó khăn để có thể khẳng định tính so sánh được của tổngcác giá trị tại hai bộ điểm phân biệt tùy ý Hệ điều kiện của định lí 2.2 chỉdựa trên các so sánh tuyến tính, các đại lượng sắp được cho trước, như mộtdạng giả thiết đơn giản nhất

Định lí sau cho ta tiêu chuẩn để hai bộ dãy số đơn điệu giảmxk, yk thỏa mãncác điều kiện ở định lí 2.2

Định lý 2.3 (xem [4]) Điều kiện cần và đủ để hai bộ dãy số là đơn điệugiảm xk, yk; k = 1, 2, , n thỏa mãn các điều kiện

x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1

x + x + · · · + x = y + y + · · · + y

(2.6)

là giữa chúng có một phép biến đổi tuyến tính dạng

yi =

nXj=1

aijxj, i = 1, 2, , n,

trong đó,

akl ≥ 0,

nXj=1

akj = 1,

nXj=1

ajl = 1; k, l = 1, 2, , n

Nhận xét 2.3 Khi đẳng thức cuối trong giả thiết của định lí 2.2 bị thayđổi Ta cần điều chỉnh và có thêm giả thiết đối với hàm số đã cho để kết luậncủa định lí Karamata tương tự vẫn đúng

Định lý 2.4 (xem [4]) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai tại mọi

x ∈ (a; b)sao chof0(x) ≥ 0với mọix ∈ [a; b] vàf ”(x) > 0với mọix ∈ (a; b).Giả sử a1, a2, , an và x1, x2, , xn là các số ∈ [a; b], đồng thời thời thỏamãn các điều kiện a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an và x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn

x1 + x2 + · · · + xn ≥ a1 + a2 + · · · + an

(2.7)

Khi đó,

nXk=1

f (xk) ≥

nXk=1

f (ak)

Chứng minh Với các hàm lồi ta có biến đổi sau

f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) = max[

nXi=1

f (ti) +

nXi=1

(xi − ti)f0(ti)]

Không mất tính tổng quát, ta giả sử t1, , tn ∈ I(a, b) cũng là bộ số giảm,nghĩa là

t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tn.Khi đó, ta cần phải chứng minh điều sau

x1f0(t1) + x2f0(t2) + · · · + xnf0(tn) ≥ y1f0(t1) + y2f0(t2) + · · · + ynf0(tn)

Áp dụng biến đổi Albel ta có

x1f0(t1) + x2f0(t2) + · · · + xnf0(tn) =

S1[f0(t1)−f0(t2)]+S2[f0(t2)−f0(t3)]+· · ·+Sn−1[f0(tn−1)−f0(tn)]+Snf0(tn),Với

x1 + x2 + · · · + xn ≤ a1 + a2 + · · · + an

(2.8)

Khi đó,

nXk=1

f (xk) ≤

nXk=1

f (ak)

Định lý 2.6 (xem [4]) Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai tại mọi

x ∈ (a; b) sao cho f ”(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b)

Giả sử rằng a1, a2, , an; x1, x2, , xn là các số ∈ [a, b] thỏa mãn a1 ≥

f (xk) ≥

nX

f (ak)