skkn chuyên đề bất đẳng thức lượng giác

Riêng phần hệ thức lợng trong tam giác cũng lập thành một thể loại bài tập rất tốt trong việc củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.. Đây là phần bài tập khó, cách

Phần I: Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bài tập lợng giác của chơng trình THPT rất đa dạng và phong phú Riêng phần hệ thức lợng trong tam giác cũng lập thành một thể loại bài tập rất tốt trong việc củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Đặc

biệt phần Bất đẳng thức trong tam giác là phần tơng đối

khó cho học sinh, SGK và SBT hiện nay có đề cập vấn đề này nhng còn ít Đây là phần bài tập khó, cách giải các bài tập này không giống nhau, do đó trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng phân loại cho học sinh theo một số dạng, hình thành phơng pháp chứng minh cho từng loại để học sinh dễ giải, dễ nhớ

Để làm đợc bài tập phần này, trớc hết học sinh cần nắm đợc các bài tập cơ bản về hệ thức lợng trong tam giác, các bài tập này đã đợc nêu trong SGK và đã hệ thống lại ở phần đầu của tài liệu này

Do năng lực còn hạn chế, bài viết chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong sự góp ý chân thành của các thầy cô, các đồng chí trong tổ cho chuyên đề hoàn thiện hơn

2 Mục đích nghiên cứu

Trong chuyên đề này tôi mong muốn làm cho học sinh nhìn nhận những bài toán khó của hệ thức lợng trong tam giác một cách đơn giản và có khả năng phân loại, tìm tòi cách giải cho các bài toán tơng tự

3 Đối tợng nghiên cứu

Học sinh lớp 11 trờng THPT Trần Phú

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại dạng toán sau đó đa ra lời giải cho các bài toán tổng quát, điển hình với các phơng pháp khác nhau

5 Phạm vi và giới hạn của đề tài

 Chơng trình Toán lớp 11 THPT, phần Đại số: Lợng giác

Phần II: Nội Dung chuyên đề

I Một số hệ thức quan trọng trong tam giác

Trong các bài tập 5, 15 trang 49,51 Các công thức lợng giác -Chơng I trong SGK đã có đợc những đẳng thức trong tam giác

1 sin A sin B sin C    4 cosAcosBcosC

2 sin 2A  sin 2B  sin 2B  4sin A sin B sin C

3 cosA  cosB  cosC 1 4sin   AsinBsinC

4 cos2Acos2Bcos2C 1 4 cosA cos B cosC

5 tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC

6 tgAtgB  tgBtgC  tgCtgA  1

7 cot gA  cot gB  cot gC  cot gAcot gBcot gC

8 cot gA.cot gB  cot gB.cot gC  cot gC.cot gA  1

Đây là các bài tập quan trọng, khi giảng dạy ta có thể rút ra

ph-ơng pháp giải cho từng bài và từ đó có thể chứng minh các kết quả tổng quát hơn

9 sin 2nA sin 2nB sin 2nC  ( 1)n 1 4sinnA.sinnB.sinnC

10.sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1) ( 1) 14cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)

n

n A n B n C   n n n

11 tgnA  tgnB  tgnC  tgnA.tgnB.tgnC

12 cot gnA.cot gnB  cot gnB.cot gnC  cot gnC.cot gnA  1

từ các bài tổng quát trên ta có thể hớng dẫn học sinh tìm thêm các hệ

bài tập 1->8 để giải quyết một số bài chứng minh Bất đẳng thức sau

đây

II Một số bài tập suy trực tiếp từ các hệ thức trên

Bài 1:

Cho tam giác ABCbất kỳ Đặt T=sin2Asin2Bsin2C

CM tam giác ABC nhọn T  2 Tìm điều kiện của T để ABC là tam giác tù, vuông

HDẫn: Dùng công thức hạ bậc, ta có

T 3 (cos2A cos2B cos2C) T 2 2 cos A cos B cosC

2

từ đó ta có :

 T = 2 2 cos A cos B cosC    0 ABC vuông

 T > 2 2 cos A cos B cosC  0   ABC nhọn

 T < 2 2 cos A cos B cosC  0   ABC tù

Bài 2: CMR nếu tam giác ABC nhọn thì tgA  tgB  tgC  3 3

HDẫn: A, B, C nhọn  tgA, tgB, tgC  0 áp dụng BĐT Côsi

tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC mà tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC=T nên T3 T3  T 3 3 ( chú ý rằng T  tgA  tgB  tgC  0 )

dấu "=" xảy ra  tgA = tgB = tgC A = B = C ABC đều

Bài 3: CMR tg2 A  tg2 B  tg2 C  1

HDẫn: tg2A  tg2 B tg2C  tgA.tgB  tgC.tgB tgA.tgC   1

dấu "=" xảy ra  tgA  tgB  tgC

2 2 2  A=B=C ABC đều

III Một số bài tập về bất đẳng thức chứa sin, cosin

trong tam giác

Trong phần này các bài tập dùng ký hiệu f(A), f(B), f(C) hoặc g(A), g(B), g(C) để chỉ hàm số có chứa sin, cosin của đối số A,B,C

Ta có thể phân loại ra một số dạng:

Loại 1: f(A)+f(B)+f(C)  a( a) (a – hằng số)

Ta rút ra cách giải qua các ví dụ:

Bài 4: CMR sin A sin B sin C 3 3

2

HDẫn: (1) T sin A sin B sin C 3 2 3

2

T sin A sin B sin C sin 2 3

3















.

Ta có T=2sin cos sin cos

C

4sin 2 3

3

 đpcm

dấu "=" xảy ra  A=B=C=

3



Bài 5: CMR

2

3 2

sin 2

sin 2 sin A B  C 

HDẫn: T=

6

sin 2

sin 2

sin 2 sin A B C  

2sin A BcosA B 2sinC cosC

Loại 2: f(A).f(B).f(C) ( ) a (a là hằng số)

Bài 6: CMR trong tam giác ABC ta có

8

1 2

sin 2

sin 2

sin A B C  HDẫn:

Cách 1: Vì A, B, C là ba góc của một tam giác nên

0 2 sin , 2

sin

,

2

áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có:

3 sin sin sin

1

A B C

Ta có

2

3 2

sin 2

sin 2

sin A B  C 

 đpcm

Dấu “=” xảy ra  sinA  sinB  sinC  1

2 2 2 2 A= B = C, tam giác ABC đều

Cách 2: Sử dụng biến đổi tơng đơng

sin sin sin 8sin sin sin 1

 4sinA(cosB C  cosB C) 1 







 (2sinA  cosB C)2  sin2 B C  0

Dấu “=” xảy ra  ABC là tam giác đều

Với cách biến đổi đa về tổng các bình phơng ta có thể áp dụng cho một số bất đẳng thức tơng tự:

cosA cosB cosC ; cosA.cosB.cosC ;sin a sin B sin C

Bài 7: CMR: 3

9

cos 3

cos 3

cos 3











 

C B A

HDẫn: Vì C, B, C là ba góc của tam giác theo BĐT Côsi, ta có:

3 3

3

cos 3

cos 3 cos 3

cos 3

cos

3

cos































C B

A C

B

A

Ta có:

9 cos 3 3

cos 3

cos 3 cos A B C  

Thật vậy, ta có T  cosA  cosB cosC  cos 4 cos

 đpcm

Loại 3: f(A).f(B).f(C)>=g(A).g(B).g(C)

Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, cmr:

sin 2 sin 2 sin 2A B B sin sin sinA B C

HDẫn: Ta có 0  sin 2A.sin 2B 1cos2(A  B)  cos2(A  B)

2

1 1 cos2(A   B)  sin C2

2

Tơng tự: 0sin2Csin2Bsin2A

0sin2Asin2C sin2B

Nhân các vế ta  đpcm

Loại 4: Dạng f(A)+f(B)-f(C)>=a(<=a) (a- hằng số).

Bài 9: CMR

2

3 2 cos 2

cos 2

cos A B C 

HDẫn:

0 1 ) (

2

cos

0 2

1 ) cos(

cos 2 2

cos

2

0 2

1 ) 1 2 (cos )

cos(

) cos(

2



































B A

B A C

C

C B

A B

A

Do BĐT luôn đúng  đpcm

Nhận xét: Với nhiều bài tập chứng minh bất đẳng thức có thể

dùng định lý dấu tam thức bậc hai để chứng minh Một số bài tập

HDẫn:

2

1 2

2 sin 2 2

cos 2 cos 2 2

3 cos cos

C B

A







2

2sin 2sin cos

A B

2

2

Do BĐT (*) luôn đúng nên  2sin2C  2sinCcosA B  1

 đpcm

áp dụng các bài toán cơ bản trên ta có một số bài tập sau đây:

Bài tập áp dụng

1) CMR trong tam giác ABC, ta có

1

1) sin sin sin

2

9

2) sin sin sin

4

A B C

2) Cho tam giác ABC nhọn, cmr:

a) cos(A-B) + cos(B-C)+cos(C-A) > cos A + cos B + cos C b) sinA + sinB + sinC > cosA + cosb +cosC

c) tgA.tgB ≥ cotg2 C

2

3) Chứng minh rằng trong mọi tam giác, ta có:

a) cosA cosB.cosC 4 3

sin A sin B sin C

2 cos A cos B cosC

Phần III: Kết luận

Trên đây là một số kinh nghiệm khi tôi giảng dạy phần Bất đẳng thức trong tam giác, với cách phân loại nh vậy học sinh đỡ lúng túng

khi định hớng cách giải cho một số bài về Bất đẳng thức trong tam

giác Với mỗi bài tập này có thể có rất nhiều cách khác nhau để giải,

nhng mỗi cách tạo ra một đờng lối riêng cho từng loại bài, đó là điều

mà mỗi giáo viên cần cố gắng rút ra trong quá trình giảng dạy

Các ví dụ đều là các bài toán rất cơ bản, có tính vận dụng cao trong quá trình chứng minh trong các bài tập về chứng minh bất

đẳng thức trong tam giác Qua đó học sinh sẽ thuận lợi hơn trong việc chứng minh các Bất đẳng thức trong tam giác - Các bài toán th-ờng gặp trong các kỳ thi vào các trth-ờng chuyên nghiệp

Với những gì đã trình bày trên đây đã đợc tôi vận dụng trong quá trình ôn tập cho học sinh, các em đón nhận một cách nhiệt tình

và hứng khởi Bớc đầu giúp các em bớt khó khăn với loại toán này Tôi rất mong muốn đợc sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để có đợc những kinh nghiệm quý báu cho giảng day; cùng tìm ra những phơng pháp giảng dạy tốt hơn